市場支配力の定義
独占市場において商品は1つの企業によって供給されるため、独占企業による供給量がそのまま市場全体の供給量と一致します。そのため、独占企業が商品の供給量を変化させれば商品の均衡価格も変化します。特に、市場の逆需要曲線が右下がりである場合、独占企業が供給を増やせば価格は下落し、逆に供給を減らせば価格は上昇します。以上の想定のもと、独占均衡であるための必要条件を明らかにしました。モデルおよび結果の復習です。
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たし、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C_{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、生産量を決定する独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}には解が存在するとともに、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たす。
特に、独占数量\(q^{m}\)が内点解である場合には、すなわち\(q^{m}>0\)を満たす場合には、\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A\right) \)が等号で成立します。つまり、内点解であるような独占数量\(q^{m}\)のもとでは限界収入と限界費用が一致します。独占数量\(q^{m}\)が決まれば、市場の逆需要関数\(p\)より、商品の市場価格すなわち独占価格は、\begin{equation*}p^{m}=p\left( q^{m}\right)
\end{equation*}で均衡します。一方、独占数量\(q^{m}\)において独占企業が直面する限界収入は、\begin{equation}MR\left( q^{m}\right) =p^{\prime }\left( q^{m}\right) \cdot q^{m}+p\left(
q^{m}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) &=&p\left( q^{m}\right)
-MR\left( q^{m}\right) \quad \because \left( B\right) \\
&=&-p^{\prime }\left( q^{m}\right) \cdot q^{m}\quad \because \left( 1\right)
\\
&>&0\quad \because \left( d\right) ,\left( A\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p\left( q^{m}\right) >MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を得ます。内点解であるような独占均衡において商品の市場価格は独占企業の限界費用を上回ることが明らかになりました。
完全競争市場において生産者はプライス・テイカーであり、生産者は商品の市場価格と限界費用が一致するような生産量を選択します。一方、独占企業は商品の市場価格が限界費用を上回るような生産量を選択できますが、それは独占企業がプライス・メイカーだからです。つまり、独占均衡において発生する「市場価格と限界費用の乖離」という現象の背景には独占企業の市場支配力があります。このような事情を踏まえた上で、企業が限界費用を上回る市場価格を設定することを可能にする力を市場支配力（market power）や独占力（monopoly power）などと呼びます。企業の市場支配力が大きいほど、その企業は限界費用をより大きく上回る市場価格を設定できるため、市場支配力を測る指標として「市場価格と限界費用の乖離の度合い」を採用するのがもっともらしいと言えます。
ラーナー指数
独占企業による市場支配力を測る最もシンプルな指標は、独占均衡において独占企業が直面する市場均衡と限界費用の差\begin{equation*}
p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}ですが、これをマークアップ（markup）やマージン（margin）などと呼びます。ただ、マークアップの値は貨幣の単位に依存してしまうため、多くの場合、独占企業の市場支配力を測る指標として、マークアップの水準が独占価格に占める割合\begin{equation*}
L=\frac{p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }
\end{equation*}を採用します。これをラーナー指数（Lerner index）と呼びます。これは経済学者であるアバ・ラーナー（Abba Lerner）が1934年に提唱した指標です。
仮に独占企業が完全競争的に振る舞うのであれば、商品の市場価格と限界費用が一致するような生産量、すなわち、\begin{equation*}
p\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を満たす生産量\(q^{m}\)を選択するため、この場合のラーナー指数は、\begin{equation*}L=\frac{p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }=0
\end{equation*}となります。実際には、内点解であるような独占均衡において、\begin{equation*}
p\left( q^{m}\right) >MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つため、これと\(p\left( q^{m}\right) >0\)より、独占企業のラーナー指数は、\begin{equation*}L=\frac{p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }>0
\end{equation*}を満たします。加えて、\begin{equation*}
L=\frac{p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }=1-\frac{MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }
\end{equation*}という変形が可能であるため、独占価格\(p\left( q^{m}\right) \)が限界費用\(MC\left(q^{m}\right) \)から乖離するほど、すなわち独占企業の市場支配力が大きくなるほど\(\frac{MC\left( q^{m}\right) }{p\left( q^{m}\right) }\)の値は小さくなり、したがってラーナー指数は\(1\)へ近づきます。
結論を整理すると、完全競争におけるラーナー指数は\(0\)であり、独占企業のラーナー指数は正であり、なおかつ、独占企業の市場支配力が大きくなるほどラーナー指数は\(1\)へ近づきます。
\begin{array}{cl}
500-10q & \left( if\ 0\leq q\leq 50\right) \\
0 & \left( if\ q>50\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =10q^{2}+100q
\end{equation*}を定めるものとします。利潤最大化を目指す独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}であり、これを解くと以下の独占均衡\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( 400,10\right)
\end{equation*}が得られます（確認してください）。したがって、ラーナー指数は、\begin{eqnarray*}
L &=&\frac{p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) }{p\left(
q^{m}\right) }\quad \because L\text{の定義} \\
&=&\frac{p^{m}-\left( 20q^{m}+100\right) }{p^{m}}\quad \because
p^{m}=p\left( q^{m}\right) ,\ MC\left( q\right) =20q+100 \\
&=&\frac{400-\left( 200+100\right) }{400}\quad \because \left(
p^{m},q^{m}\right) =\left( 400,10\right) \\
&=&0.25
\end{eqnarray*}となります。
ラーナー指数と市場の需要の自己価格弾力性の関係
ラーナー指数として表現される独占企業の市場支配力はどのような要因によって決定されるのでしょうか。独占企業の市場支配力はその市場の構造、とりわけ市場の需要の自己価格弾力性から決定されます。順番に解説します。
需要の自己価格弾力性について復習します。問題としている独占市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格水準\(p\geq 0\)を出発点として価格を\(\Delta p\)だけ変化させると、それに応じて商品の需要は\(q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) \)だけ変化します。価格の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{\Delta p}{p}
\end{equation*}となり、商品の需要の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}
\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{q\left( p\right) }
\end{equation*}となるため、これらの比\begin{equation*}
\frac{\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{q\left( p\right) }}{\frac{\Delta p}{\overline{p}}}=\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left(
p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}をとれば、これは\(p\)を出発点として商品の価格を\(1\)パーセントさせた場合に商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これは割合を用いて定義される指標であるため、商品や所得の単位に依存しません。そこで、これに負の記号をつけた値を、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left(
p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(p\)における商品の需要の自己価格弾力性（ownprice elasticity of demand）や需要の価格弾力性（price elasticity of demand）などと呼びます。多くの場合、商品の価格が上昇するとその商品の需要は減少するため、需要の自己価格弾力性を正の値として定義するためにマイナスの符号をつけて定義します。また、通常、需要の自己価格弾力性\(\varepsilon\left( p\right) \)は問題としている価格水準\(p\)に応じて変化します。
需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(p\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta p\)について、\begin{equation*}q\left( p+\Delta p\right) \approx q\left( p\right) +\frac{dq\left( p\right)
}{dp}\Delta p
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( \overline{p}\right) }\approx \frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot
\frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}という関係が成立するため、\(p\)における需要の自己価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}と定義します。
\begin{array}{cl}
500-10q & \left( if\ 0\leq q\leq 50\right) \\
0 & \left( if\ q>50\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。市場の需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
50-\frac{p}{10} & \left( if\ 0\leq p\leq 500\right) \\
0 & \left( if\ p>500\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、価格\(p\in \mathbb{R} _{+}\)における需要の自己価格弾力性は、\(0\leq p\leq 500\)の場合には、\begin{eqnarray*}\varepsilon \left( p\right) &=&-\frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }\quad \because \varepsilon \left( p\right) \text{の定義} \\
&=&-\frac{d}{dp}\left( 50-\frac{p}{10}\right) \cdot \frac{p}{50-\frac{p}{10}}
\\
&=&\frac{1}{10}\cdot \frac{p}{50-\frac{p}{10}} \\
&=&\frac{p}{500-p}
\end{eqnarray*}となります。
独占企業は右下がりの逆需要曲線に直面するため、独占企業が商品の供給を増やすと商品の市場価格は下落します。同じことを別の形で言うと、独占企業は右下がりの需要曲線に直面するため、独占企業が商品の価格をつり上げると商品の需要は減少します。独占企業は利潤を最大化するために供給を抑えて価格をつり上げようとしますが、価格の上昇に対する需要の減少の度合いが小さいほど、すなわち需要の自己価格弾力性が小さいほど、独占企業はためらいなく価格をつり上げることができます。逆に、価格の上昇に対する需要の減少の度合いが大きいほど、すなわち需要の自己価格弾力性が大きいほど、独占企業は価格のつり上げをためらいます。
独占企業が供給している商品の代替品が存在しない場合、もしくは代替品が限られている場合には、その商品の価格が上昇しても消費者は代替品へ乗り換えられず、その商品をそのまま消費し続けるより他ないため、需要の自己価格弾力性が小さく評価されます。この場合、独占企業はためらいなく価格をつり上げることができます。逆に、独占企業が供給している商品の代替品が存在する場合、その商品の価格が上昇すると消費者は代替品へ乗り換えてしまうため、需要の自己価格弾力性が大きく評価されます。この場合、独占企業は価格のつり上げをためらいます。
ラーナー指数と市場の需要の価格弾力性の間には以下の関係が成立します。
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たし、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C_{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、生産量を決定する独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}には解が存在するとともに、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たす。特に、\(q^{m}>0\)の場合、すなわち内点解であるような独占均衡\begin{equation*}\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( p\left( q^{m}\right) ,q^{m}\right)
\end{equation*}において、以下の関係\begin{equation*}
L=\frac{p^{m}-MC\left( q^{m}\right) }{p^{m}}=\frac{1}{\varepsilon \left(
p^{m}\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{cl}
500-10q & \left( if\ 0\leq q\leq 50\right) \\
0 & \left( if\ q>50\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =10q^{2}+100q
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、独占均衡は、\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( 400,10\right)
\end{equation*}であり、独占均衡におけるラーナー指数は、\begin{equation*}
L=0.25
\end{equation*}です。やはり先に明らかにしたように、価格\(p\in \mathbb{R} _{+}\)における需要の自己価格弾力性は、\(0\leq p\leq 500\)の場合には、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =\frac{p}{500-p}
\end{equation*}であるため、独占価格\(p^{m}\)における需要の自己価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon \left( p^{m}\right) &=&\frac{p^{m}}{500-p^{m}} \\
&=&\frac{400}{500-400} \\
&=&4
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{equation*}
L=\frac{1}{\varepsilon \left( p^{m}\right) }
\end{equation*}という関係が成立していますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
内点解であるような独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)において、ラーナー指数\(L\)と市場の需要の価格弾力性\(\varepsilon \left( p^{m}\right) \)の間には、\begin{equation*}L=\frac{1}{\varepsilon \left( p^{m}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、独占均衡における独占企業のラーナー指数は、独占価格のもとでの市場の需要の価格弾力性の逆数と一致します。これは何を意味しているのでしょうか。
完全競争市場において生産者は商品の市場価格を所与として行動するため、生産者が商品の供給を変化させても商品の市場価格は変化しません。一方、独占企業は右下がりの逆需要曲線に直面するため、独占企業が商品の供給を増やすと商品の市場価格は下落します。独占企業は利潤を最大化するために供給を抑えて価格をつり上げようとしますが、価格の上昇に対する需要の減少の度合いが小さいほど、独占企業はためらいなく価格をつり上げることができます。ラーナー指数\(L\)は価格のつり上げ幅を表し、市場の需要の弾力性\(\varepsilon \left( p^{m}\right) \)は価格の上昇に対する需要の減少の度合いを表します。需要の価格弾力性が小さいほど独占企業はためらいなく価格をつり上げられるためラーナー指数は大きくなり、逆に、需要の価格弾力性が大きいほど独占企業は価格のつり上げをためらうためラーナー指数は小さくなります。ラーナー指数と需要の価格弾力性の間に逆数の関係が成立する背景には以上のメカニズムが存在します。
ある商品に対する需要の価格弾力性が非常に小さいケース、すなわち商品の価格の変動とは関係なく消費者はその商品を需要せざるを得ないケースを想定します。極端な例として\(\varepsilon\rightarrow 0\)とするならば、ラーナー指数は\(L\rightarrow+\infty \)となるため、独占企業の市場支配力は限りなく大きくなります。
逆に、ある商品に対する需要の価格弾力性が非常に大きいケース、すなわち商品の価格がわずかに変動しただけでも消費者は別の商品へ乗り換えてしまうケースを想定します。極端な例として\(\varepsilon \rightarrow +\infty \)とするならば、ラーナー指数は\(L\rightarrow 0\)となるため、独占企業の市場支配力は消失し、完全競争市場と実質的に等しい状況が到来します。
独占均衡における需要の価格弾力性
繰り返しになりますが、内点解であるような独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)において、ラーナー指数\(L\)と需要の価格弾力性\(\varepsilon \left( p^{m}\right) \)の間には、\begin{equation*}L=\frac{1}{\varepsilon \left( p^{m}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。市場の逆需要関数\(p=p\left( q\right) \)のもとでは\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)という関係が成立するため、上の関係を、\begin{equation*}L=\frac{1}{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) }
\end{equation*}と表現することもできます。先に考察したように、独占企業のラーナー指数は\(0\)と\(1\)の間の値をとるため、この事実と上の関係より、\begin{equation*}0<\frac{1}{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) }<1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) >1
\end{equation*}を得ます。つまり、内点解であるような独占均衡において需要の価格弾力性は\(1\)より大きい値をとります。これにはどのような意味があるのでしょうか。
独占市場において\(0<q<\overline{q}\)を満たす数量\(q\)を任意に選んだとき、独占企業の限界収入と、独占企業が供給する商品の需要の自己価格弾力性の間には、\begin{equation}MR\left( q\right) =p\left( q\right) \left[ 1-\frac{1}{\varepsilon \left(
p\left( q\right) \right) }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立します。独占企業が供給量\(q\)を\(0\)から\(\overline{q}\)まで変化させると、それにともない需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\left(q\right) \right) \)は正の無限大\(+\infty \)から\(0\)まで減少し、限界収入\(MR\left( q\right) \)は\(p\left( 0\right) \)から負の無限大\(-\infty \)まで減少します。その途中、自己価格効果が、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\left( q^{\prime }\right) \right) =1
\end{equation*}となるような供給量\(q^{\prime }\)において、\(\left( 1\right) \)より、限界収入が、\begin{equation*}MR\left( q^{\prime }\right) =0
\end{equation*}となります。結果を以下の表にまとめました。
$$\begin{array}{cccccc}\hline
q & 0 & \nearrow & q^{\prime } & \nearrow & \overline{q} \\
\hline
p & \overline{p} & \searrow & p^{\prime } & \searrow & 0 \\
\hline
\varepsilon \left( p\right) & +\infty & \searrow & 1 & \searrow & 0 \\ \hline
MR\left( q\right) & p\left( 0\right) & + & 0 & – & -\infty \\
\hline
\end{array}$$
独占企業は供給量を\(q^{\prime }\)よりも絞ることにより、すなわち価格を\(p^{\prime }\)よりも高い水準に維持することにより、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも大きい状態、すなわち限界収入が正であるような状態を維持できます。つまり、需要の自己価格弾力性が\(1\)より大きい局面では、価格を下げると収入が増加します。市場の需要曲線は右下がりであるため、商品を追加的に販売するためには値下げする必要がありますが、需要の自己価格弾力性が\(1\)より大きい場合、価格を\(1\)パーセント下げると需要が\(1\)パーセントより多く増加するため、収入は増加するということです。
逆に、独占企業が\(q^{\prime }\)よりも多く生産した場合、価格は\(p^{\prime }\)よりも低い水準になり、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも小さい状態、すなわち限界収入が負であるような状態に陥ります。独占企業はそこから生産を減らすことにより、いずれ、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも大きい状態、すなわち限界収入が正であるような状態へ移行できます。加えて、生産を減らすことは費用の減少をもたらします。このような事情を踏まえると、独占企業が\(q^{\prime }\)よりも多くを生産する動機は存在しません。独占数量\(q^{m}\)において、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) >1
\end{equation*}が成立する背景は以上の通りです。
ラーナー指数の推計方法
内点解であるような独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)において、ラーナー指数\(L\)と需要の価格弾力性\(\varepsilon \left( p^{m}\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}L=\frac{1}{\varepsilon \left( p^{m}\right) }
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、ラーナー指数を通じて独占企業の市場支配力を計測するためには需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)を特定する必要があります。ただし、需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(p\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合、\(p\)における需要の自己価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}と定義されます。これをどのように特定すればよいでしょうか。
独占企業が供給する商品の価格\(p\)と需要\(q\)の間に、\begin{equation*}q=\beta _{0}+\beta _{1}p+u
\end{equation*}という線型関係が成立するものと仮定します。これを単回帰モデルと呼びます。ただし、\(\beta _{0}\in \mathbb{R} \)は定数項に相当する定数であり、\(\beta _{1}\in \mathbb{R} \)は回帰係数に相当する定数であり、\(u\)は誤差項に相当する変数です。つまり、価格\(p\)の水準が需要\(q\)の水準に与える影響を分析する際には\(p\)に影響を与えるであろう\(q\)以外の要因を考慮する必要がありますが、そのようなすべての要因を包括的に表す変数が誤差項\(u\)です。
収集するデータは価格と需要の組\(\left( p,q\right) \)ですが、収集したデータの対数値をとって変換すると\(\left( \ln \left( p\right) ,\ln\left( q\right) \right) \)となるため、改めてこれらを変数として採用した場合の単回帰モデルは、\begin{equation}\ln \left( q\right) =\beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p\right) +u \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。両辺を変数\(p\)について微分します。左辺については、合成関数の微分より、\begin{equation*}\frac{d}{dp}\ln \left( q\right) =\frac{1}{q}\cdot \frac{dq}{dp}
\end{equation*}となり、右辺については、\begin{equation*}
\frac{d}{dp}\left[ \beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p\right) +u\right] =\beta
_{1}\cdot \frac{1}{p}
\end{equation*}となりますが、\(\left( 1\right) \)よりこれらは等しいため、\begin{equation*}\frac{1}{q}\cdot \frac{dq}{dp}=\beta _{1}\cdot \frac{1}{p}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\beta _{1}=\frac{dq}{dp}\cdot \frac{p}{q}
\end{equation*}を得ますが、これは需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)に他なりません。
結論を整理すると、収集したデータ\(\left( p,q\right) \)の対数値をとって\(\left( \ln\left( p\right) ,\ln \left( q\right) \right) \)へと変換し、変換後のデータに対して単回帰モデルのもとで回帰分析した場合、得られた回帰係数\(\beta _{1}\)は需要の自己価格弾力性\(\varepsilon\left( p\right) \)を表すということです。
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