生産量に関するカルテルが形成される場合の複占均衡

複占市場におけるカルテル

ある商品の市場が完全競争的である場合、個々の生産者による供給量は市場全体の供給量と比べると微小であるため、個々の生産者が供給量を変更しても市場全体の供給量はほとんど変化せず、したがって商品の均衡価格に影響を与えることはできません。完全競争企業において生産者が直面する市場の逆需要曲線は水平であるということです。この場合、生産者は商品の市場価格を与えられたものとして意思決定を行うプライス・テイカーであり、商品の市場価格と限界費用が一致するような生産量を選択するため、市場の供給曲線は限界費用曲線と一致します。さらに、市場の需要曲線と供給曲線が交差する点において市場は均衡し、均衡において社会的余剰が最大化されます。

一方、商品が1つの企業によって供給される独占市場では、独占企業による商品の供給量がそのまま市場全体の供給量と一致するため、独占企業はプライステイカーではなく、自身が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において価格支配力を持ちます。この場合、独占企業は限界収入と限界費用が一致するような生産量を選択しますが、限界収入曲線は逆需要曲線の下方に位置し、なおかつ逆需要曲線が右下がりであることから、完全競争均衡と比較すると、独占均衡において価格はより高く、供給量はより少なくなります。また、独占均衡において社会的余剰は最大化されません。

一方、本節の分析対象は完全競争市場や独占市場ではなく、同一の商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場（duopoly market）です。2つの企業が供給する商品は機能や品質の面において差がないため、価格が同じ場合には、消費者はどちらの企業からその商品を購入しても構わない状況を想定します。逆に、価格が異なる場合には、価格以外の要素に差はないため、消費者は安いほうを購入することになります。このとき、2つの企業が供給する商品は消費者にとって同質財（homogeneous goods）であると言います。

本節では、複占市場のプレイヤーである2つの企業が共謀して商品の価格や生産量を決定する状況、すなわちカルテル（cartel）を形成する状況を想定します。カルテルを形成する2つの企業はあたかも1つの独占企業として振る舞うことになるため、この場合にも企業はプライス・メイカーであり続けます。

カルテルが形成される複占市場のモデル化

前提として、カルテルが形成される複占市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数が、\begin{equation*}
p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、商品の総供給量が\(q\geq 0\)である場合には、商品の市場価格が、\begin{equation*}p\left( q\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。逆需要関数\(p\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の総供給量\(q\)がある正の値\(\overline{q}\)以上になると商品の均衡価格が\(0\)になるということです。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮すると当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品が市場に供給されない場合の均衡価格が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left(c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、逆需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{q}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left(q\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの逆需要曲線に直面している状況を想定します。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left(d\right) \)を、\begin{equation*}\forall q\in \lbrack 0,\overline{q}):\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす逆需要関数\(p\)のグラフ、すなわち逆需要曲線を以下に描きました。独占企業は逆需要曲線の形状を把握しているものとします。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。

複占市場において商品を供給する企業\(i\ \left(=1,2\right) \)の費用関数を、\begin{equation*}c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で表記します。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\geq 0\)だけ市場に供給する場合、費用が、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) \geq 0
\end{equation*}だけかかるということです。費用関数\(c_{i}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c_{i}\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q_{i}>0:c_{i}\left( q_{i}\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c_{i}\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c_{i}\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、企業の固定費用が非負であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、企業が商品を生産する場合の費用は正であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定であり、費用関数\(c_{i}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dc_{i}}{dq_{i}}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であることを意味します。費用関数\(c_{i}\)の導関数\(\frac{dc_{i}}{dq_{i}}\)を、\begin{equation*}MC_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記することもでき、これを企業\(i\)の限界費用関数（marginal cost function）と呼びます。定義より、任意の\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}MC_{i}\left( q_{i}\right) =\frac{dc_{i}\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}
\end{equation*}となりますが、これを\(q_{i}\)における限界費用（marginal cost）と呼びます。これは、企業\(i\)が商品の供給量を\(q_{i}\)から\(1\)単位増やしたときの費用の変化を表す指標です。こちらの表記を利用すると、条件\(\left( h\right) \)を、\begin{equation*}\forall q_{i}\in \mathbb{R} _{+}:MC_{i}\left( q_{i}\right) >0
\end{equation*}と表現できます。限界費用は常に正であるということです。

以上の条件を満たす限界費用関数\(MC_{i}\)のグラフ、すなわち限界費用曲線を以下に描きました。

市場の逆需要関数\(p\)と企業\(i\)の費用関数\(c_{i}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\exists q>0:p\left( q\right) =MC_{i}\left( q\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、市場の均衡価格が企業の限界費用と一致するような正の生産量が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の限界費用が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、両企業は市場に参入し続けることが可能であることを意味します。

カルテルによる結合利潤最大化問題

先の条件を満たす逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、先の条件を満たす費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられるコスト構造を持つ2つの企業が自身の利潤を最大化するように供給量\(q_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、両企業はカルテルを形成するとともに、カルテルにおいて決定した合意には拘束力があるするものとします。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、彼らが生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)に合意した場合には市場の総供給量が、\begin{equation*}q=q_{1}+q_{2}
\end{equation*}と定まるため、市場において商品の価格が、\begin{equation*}
q\left( q\right) =p\left( q_{1}+q_{2}\right)
\end{equation*}で均衡します。つまり、カルテルが選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において、カルテルの構成員である個々の企業は価格支配力を持ちます。

カルテルが生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を実行すると商品の価格は\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡するため、企業\(1\)は収入\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left(q_{1}\right) \)であるため、生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に、生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。カルテルは両企業が得る利潤の合計\begin{eqnarray*}
&&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) +p\left(
q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right) \\
&=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -c_{1}\left(
q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を最大化するような生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を選択するものとします。つまり、カルテルが解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。これをカルテルによる結合利潤最大化問題（joint profit maximization problem）と呼びます。この問題の解\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が存在する場合、それを複占数量（duopoly quantity）と呼びます。複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が定まれば市場の逆需要関数\(p\)から市場の均衡価格が、\begin{equation*}p^{m}=p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}と定まります。これを複占価格（duopoly price）と呼びます。複占価格と複占数量からなる組\begin{equation*}
\left( p^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}を複占均衡（duopoly equilibrium）と呼びます。

市場の逆需要関数\(p\)とカルテルを構成する企業の費用関数\(c_{i}\)が先の条件を満たす場合には複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が存在することが保証されます。加えて、複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が満たすべき条件が以下のように特定されます。

この命題は、カルテルの結合利潤最大化問題に解が存在することが判明している状況において、解を具体的に特定するために利用されるものであることに注意してください。具体的には、市場の逆需要関数\(p\)および企業の生産関数\(c\)が命題中の条件を満たす場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産計画のみが複占数量の候補になり得るため、そのような供給量をすべて特定した上で、その中で最大の結合利潤をもたらすものを特定すればよいということになります。

ただ、カルテルの結合利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}の目的関数に相当する結合利潤\begin{equation*}
p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -c_{1}\left(
q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}が準凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産計画が複占数量になることが保証されます。

凹関数は準凹関数でもあるため（準凹関数は凹関数であるとは限らない）、市場の逆需要関数\(p\)および企業の費用関数\(c_{1},c_{2}\)が命題中の条件を満たすとともに、独占企業の利潤が凹関数である場合にも、クーン・タッカー条件を満たす生産計画が複占数量であることが保証されます。利潤が準凹関数であることを示すことよりも凹関数であることを示す方が簡単である場合、この事実は有用です。

複占均衡の解釈

カルテルが形成される場合の複占均衡の意味を理解するために限界収入（marginal revenue）と呼ばれる概念を導入します。逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、カルテルが商品を\(q=q_{1}+q_{2}\geq 0\)だけ供給した場合に直面する収入\begin{eqnarray*}R\left( q\right) &=&p\left( q\right) \cdot q \\
&=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を特定する関数\begin{equation*}
R:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をカルテルの収入関数（revenue function）と呼びます。

仮定より逆需要関数\(p\)は微分可能であるため収入関数\(R\)もまた微分可能であり、したがって導関数\(\frac{dR}{dq}\)が存在します。そこで、\(R\)の導関数を\begin{equation*}MR:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これをカルテルの限界収入関数（marginal revenue function）と呼びます。限界収入関数\(MR\)がそれぞれの供給量\(q\geq 0\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &=&\frac{dR\left( q\right) }{dq}\quad \because MR\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dq}\left[ p\left( q\right) \cdot q\right] \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) \cdot \frac{dq}{dq}\quad \because \text{関数の積の微分} \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) \cdot 1 \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MR\left( q\right) =\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\end{equation*}ですが、これを\(q\)における限界収入（marginalrevenue）と呼びます。これは、カルテルが商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やした場合の収入の変化を表す指標です。

限界収入\(MR\left( q\right) \)は2つの項から構成されますが、それぞれ何を表しているのでしょうか。仮定より市場の逆需要関数\(p\)は狭義の単調減少関数であるため、\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)はカルテルが商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やした場合の商品の市場価格の下落幅に相当します。商品の価格が\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)だけ下落することは、カルテルがそれまで供給していた\(q\)単位の商品すべての価格が一律で\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)だけ下落することを意味するため、それによって収入は\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\)だけ減少します。つまり、限界収入\(MR\left( q\right) \)の第1項\begin{equation*}\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q
\end{equation*}は、カルテルが商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やす場合の収入の減少量に相当します。一方、カルテルが商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やせば、その\(1\)単位の商品から価格\(p\left( q\right) \)に相当する収入が新たに得られるため、限界収入\(MR\left( q\right) \)の第2項\begin{equation*}p\left( q\right)
\end{equation*}は、カルテルが商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やす場合の収入の増加量に相当します。

供給量\(q\)の変化にともない限界収入\(MR\left( q\right) \)はどのように変化するのでしょうか。供給量が\(0\)の場合の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR\left( 0\right) &=&\frac{dp\left( 0\right) }{dq}\cdot 0+p\left( 0\right)
\quad \because MR\text{の定義} \\
&=&p\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であり、これは供給量が\(0\)の場合の商品の市場価格と一致します。この段階では生産を行っていないため、生産を増やして収入は減少せず、増加するだけです。一方、供給量が\(q>0\)の場合の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\quad \because MR\text{の定義} \\
&<&0+p\left( q\right) \quad \because p>0\text{かつ}\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0 \\
&=&p\left( q\right)
\end{eqnarray*}であり、これは商品の市場価格を下回ります。限界収入の定義より、両者の差は、\begin{equation*}
MR\left( q\right) -p\left( q\right) =\left\vert \frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\right\vert
\end{equation*}となります。

以上を踏まえた上で、逆需要関数\(p\)と限界収入関数\(MR\)のグラフ、すなわち逆需要曲線と限界収入曲線を描くと以下のようになります。供給量\(q\)が\(0\)の場合に両者は交わりますが、供給量\(q\)が正の場合には限界収入曲線は逆需要曲線の下方に位置します。両者の高さの差は\(\left\vert \frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\right\vert \)です。

限界収入および限界費用の概念を用いると、先の命題を以下のように表現できます。

特に、複占数量が、\begin{equation*}
q_{1}^{m}>0\wedge q_{2}^{m}>0
\end{equation*}を満たす場合、すなわち\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の内点である場合、これを内点解（inner solution）と呼びます。この場合、条件\(\left( B_{1}\right),\left( B_{2}\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) =MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right)
=MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A_{1}\right) ,\left( A_{2}\right) \)が等号で成立します。つまり、複占均衡が内点解である場合、均衡においてカルテルの限界収入と両企業の限界費用が一致します。

演習問題