価格に関するカルテルが形成される場合の複占均衡

価格決定を通じたカルテルの結合利潤最大化

同質財が2つの企業によって供給されている複占市場において企業どうしが生産量に関するカルテルを形成する状況を想定した上で、複占均衡であるための必要条件を明らかにしました。モデルおよび結果の復習です。

特に、複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が内点解である場合には、すなわち\(q_{1}^{m}>0\)かつ\(q_{2}^{m}>0\)を満たす場合には、\(\left( B_{1}\right) ,\left(B_{2}\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) =MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right)
=MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A_{1}\right) ,\left( A_{2}\right) \)が等号で成立します。つまり、複占均衡が内点解である場合、均衡においてカルテルの限界収入と両企業の限界費用が一致します。

では、同様の市場においてカルテルが商品の供給量ではなく価格に関する合意を形成する場合には何が起こるでしょうか。その場合の複占均衡はどのような性質を備えているでしょうか。まずは、カルテルによる価格決定を通じた結合利潤最大化問題を定式化します。

先の命題中の条件を満たす市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の定義域を\(\left[ 0,\overline{q}\right] \)へと縮小すると値域は\(\left[ 0,\overline{p}\right] \)になるとともに、得られた関数\begin{equation*}p:\left[ 0,\overline{q}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{p}\right] \end{equation*}は狭義単調減少関数になるため、その逆関数\begin{equation*}
p^{-1}:\left[ 0,\overline{p}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{q}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p^{-1}\left( p\right) & \left( if\ 0\leq p\leq \overline{p}\right) \\
0 & \left( if\ p>\overline{p}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める市場の需要関数\begin{equation*}
q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定義します。つまり、カルテルが商品の価格を\(p\geq 0\)と定めた場合に、市場の需要は、\begin{equation*}q\left( p\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。需要関数\(q\)は逆需要関数\(p\)と同様に以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{p}>0,\ \forall p>0:\left[ p\geq
\overline{p}\Rightarrow q\left( p\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{q}>0:q\left( 0\right) =\overline{q} \\
&&\left( c\right) \ q\text{は}\left[ 0,\overline{p}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{p})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ q\text{は}[0,\overline{p})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の価格\(p\)がある正の値\(\overline{p}\)以上になると商品の均衡数量が\(0\)になるということです。消費者の欲望や購買力には限りがあるため、これは当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品の価格がゼロである場合の需要が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{p}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は価格\(p\)が上昇するほど市場の需要\(q\left( p\right) \)が下落するということです。つまり、カルテルが右下がりの需要曲線に直面しているということです。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left( d\right) \)を、\begin{equation*}\forall p\in \left[ 0,\overline{p}\right) :\frac{dq\left( p\right) }{dp}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす需要関数\(p\)のグラフ、すなわち需要曲線を以下に描きました。関数\(q\)の変数である価格\(p\)が縦軸になっていることに注意してください。カルテルは需要関数\(q\)の形状を把握しているものとします。

逆関数の定義より、価格と数量の組\(\left( p,q\right)\in \left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}p=p\left( q\right) \Leftrightarrow q=q\left( p\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。つまり、市場への供給量が\(q\)であるときの均衡価格が\(p\)であることと、価格が\(p\)であるときの市場の需要が\(q\)であることは必要十分であるということです。したがって、\(\left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)上の価格と数量の組\(\left( p,q\right) \)を議論の対象とする場合、逆需要関数\(q\)と需要関数\(p\)のどちらを利用しても一般性は失われません。以降では必要に応じて両者を使い分けます。

カルテルが商品の価格\(p\)を選択すると、それに対して市場の需要関数\(q\)が定める数量\begin{equation*}q\left( p\right)
\end{equation*}において商品市場が均衡します。カルテルは需要関数\(q\)の形状を把握しているため、この均衡数量\(q\left( p\right) \)を把握しています。そこで、以下の条件\begin{equation*}q\left( p\right) =q_{1}+q_{2}
\end{equation*}を満たす何らかの生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を実行すれば、企業\(1\)は収入\(q\left( p\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\right) \)であるため、生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業1が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p\cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に、生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業2が得る利潤は、\begin{equation*}p\cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。カルテルは両企業が得る利潤の合計\begin{eqnarray*}
p\cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) +p\cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
&=&p\cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left(
q_{2}\right) \\
&=&p\cdot q\left( p\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left(
q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を最大化するような価格\(p\)および生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を選択するものとします。つまり、カルテルが解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( p,q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}}\ p\cdot q\left( p\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left(
q_{2}\right) \quad s.t.\quad q\left( p\right) =q_{1}+q_{2}
\end{equation*}となります。この問題の解に相当する価格\(p^{m}\)が存在する場合、それを複占価格（duopoly price）と呼びます。複占価格\(p^{m}\)が定まれば市場の需要関数\(q\)から市場の需要が、\begin{equation*}q^{m}=q\left( p^{m}\right)
\end{equation*}と定まります。これを複占数量（duopoly quantity）と呼びます。その上で、カルテルは以下の条件\begin{equation*}
q\left( p^{m}\right) =q_{1}^{m}+q_{2}^{m}
\end{equation*}を満たす何らかの生産計画\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を実行することにより市場の需要に応じます。独占価格と複占数量からなる組\begin{equation*}\left( p^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}を複占均衡（duopoly equilibrium）と呼びます。

数量に関するカルテルが形成される場合の均衡との関係

価格に関する合意を形成するカルテルが解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{\left( p,q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}}\ p\cdot q\left( p\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left(
q_{2}\right) \quad s.t.\quad q\left( p\right) =q_{1}+q_{2}
\end{equation*}と定式化されることが明らかになりました。

\(p\in \left[ 0,\overline{p}\right] \)を満たす価格のもとでの需要を\(q=q\left( p\right) \)と表記するのであれば、\begin{equation*}\left( p,q_{1}+q_{2}\right) \in \left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \end{equation*}が成り立つため、需要関数と逆需要関数の関係より、\begin{equation}
q_{1}+q_{2}=q\left( p\right) \Leftrightarrow p=p\left( q_{1}+q_{2}\right)
\quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちます。したがって、価格に関する合意を形成するカルテルの結合利潤を、\begin{equation*}
p\cdot q\left( p\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
=p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -c_{1}\left(
q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、\(p\in \left[ 0,\overline{p}\right] \)を満たす価格を対象とする場合には、価格に関する合意を形成するカルテルの結合利潤最大化問題\begin{equation}\max_{\left( p,q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}}\ p\cdot q\left( p\right) -c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left(
q_{2}\right) \quad s.t.\quad q\left( p\right) =q_{1}+q_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}について考えるかわりに、供給量に関する合意を形成するカルテルの結合利潤最大化問題\begin{equation}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を解いた上で、得られた解\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)に対して\(p^{m}=p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \)をとれば、この価格\(p^{m}\)および数量\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)がもとの問題\(\left( 2\right) \)の解になることが保証されます。つまり、カルテルが価格を決定する場合の利潤最大化問題\(\left( 2\right) \)を、カルテルが供給量を決定する場合の利潤最大化問題\(\left( 3\right) \)に読み替えることができるということです。

逆需要関数\(p\)と費用関数\(c_{1},c_{2}\)が冒頭の命題が要求する条件を満たすのであれば、問題\(\left( 3\right) \)の解である複占数量\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)において、\begin{eqnarray*}&&\left( A_{1}\right) \ MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \leq
MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \\
&&\left( A_{2}\right) \ MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \leq
MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right) \\
&&\left( B_{1}\right) \ q_{1}^{m}\left[ MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right)
-MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \right] =0 \\
&&\left( B_{2}\right) \ q_{2}^{m}\left[ MR\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right)
-MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ここから複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を明らかにした上で、その場合の均衡価格\(p^{m}=p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \)をとれば、これはもとの問題\(\left( 2\right) \)の解になります。つまり、カルテルが価格の決定を通じて結合利潤を最大化することと、供給量の決定を通じて結合利潤を最大化することは実質的に同じであり、内点解においてカルテルの限界収入と両企業の限界費用が一致します。

演習問題