複数業種にまたがる独占（市場と生産がそれぞれ独立している場合）

複数の市場を独占する独占企業

これまでは1つの商品が1つの企業によって供給される独占市場を想定した上で、そのような市場における独占企業の意思決定を分析してきました。市場の需要曲線および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおける独占均衡について簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。

独占企業が生産量\(q\in \mathbb{R} _{+}\)を選択した場合に得る利潤は、\begin{equation*}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}であるため、独占企業が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p\in \mathbb{R} _{+}}\ p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}となります。この問題には解が存在し、独占均衡は、\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( \frac{a+c}{2},\frac{a-c}{2b}\right)
\end{equation*}となります。モデルの仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であるため、\begin{eqnarray*}p^{m} &>&0 \\
q^{m} &>&0
\end{eqnarray*}です。つまり、独占数量\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)は内点解です。独占利潤は、\begin{eqnarray*}p^{m}\cdot q^{m}-c\left( q^{m}\right) &=&\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a-c}{2b}-c\cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b} \\
&>&0
\end{eqnarray*}です。独占数量\(q^{m}\)における限界収入は、\begin{eqnarray*}MR\left( q^{m}\right) &=&\left. \frac{d\left[ p\left( q\right) \cdot q\right] }{dq}\right\vert _{q=q^{m}} \\
&=&\left. \frac{d\left( a-bq\right) q}{dq}\right\vert _{q=q^{m}} \\
&=&\left. a-2bq\right\vert _{q=q^{m}} \\
&=&a-2b\cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&c
\end{eqnarray*}である一方で、独占数量\(q^{m}\)における限界費用は、\begin{eqnarray*}MC\left( q^{m}\right) &=&\left. \frac{dc\left( q\right) }{dq}\right\vert
_{q=q^{m}} \\
&=&\left. \frac{dcq}{dq}\right\vert _{q=q^{m}} \\
&=&\left. c\right\vert _{q=q^{m}} \\
&=&c
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、独占市場の線型モデルにおいて、独占企業が直面する利潤最大化問題の解\(\left(p^{m},q^{m}\right) \)は内点解であるとともに、その解において、商品の限界収入と限界費用が一致することが明らかになりました。

では、同一の企業が複数の商品市場を独占している場合、その企業はどのような意思決定を行うのでしょうか。

ある企業が2つの商品市場を独占しているものとします。企業はどちらの市場においてもプライス・メイカーとして振る舞うことができます。企業は2つの市場から得られる利潤の和を最大化するものとします。議論の出発点として、まずは、以下の2つを仮定します。

1つ目は、2つの商品市場は独立しているということです。つまり、一方の商品市場における価格ないし需要の変化は、他方の商品市場の価格ないし需要に影響を与えないものとします。

2つ目は、2つの商品の生産は独立しているということです。つまり、一方の商品の生産費用の変化は、他方の商品の生産費用に影響を与えないものとします。

複数業種にまたがる独占企業が直面する結合利潤最大化問題

同一の企業が2つの異なる商品市場を独占している状況において、2つの市場から得られる利潤の和を最大化するために、それぞれの商品の供給量を決定する状況を想定します。ただし、2つの商品市場は独立しており、2つの商品の生産は独立しているものとします。

まずは2つの市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。

商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の市場の逆需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}p_{1}\left( q_{1}\right) &=&a-bq_{1} \\
p_{2}\left( q_{2}\right) &=&a-bq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b>0\)です。企業が商品\(i\ \left( =1,2\right) \)を\(q_{i}\)だけ供給すると商品\(i\)の市場価格は\(p_{i}\left( q_{i}\right) \)で均衡するということです。

このとき、商品\(i\)の市場の需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}q_{1}\left( p_{1}\right) &=&\frac{a-p_{1}}{b} \\
q_{1}\left( p_{2}\right) &=&\frac{a-p_{2}}{b}
\end{eqnarray*}を定めますが、特筆すべきは、それぞれの商品\(i\)の需要関数\(p_{i}\left( p_{i}\right) \)は自身の価格\(p_{i}\)だけを変数として持つ関数であり、もう一方の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)の価格\(p_{j}\)には依存しないという点です。これは、2つの商品市場が独立している状況を反映しています。また、複数の市場を独占することがもたらす効果だけを抽出するために、2つの市場が同一の逆需要関数を共有する状況を想定しています。

続いて、この市場において商品を供給する独占企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。

商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(c>0\)です。つまり、企業が商品\(i\)を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合には費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)だけかかるということです。商品\(i\)を生産しない場合の費用は、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( 0\right) &=&0 \\
c_{2}\left( 0\right) &=&0
\end{eqnarray*}ですが、これはいずれの商品についても固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{dc_{1}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&c \\
\frac{dc_{2}\left( q_{2}\right) }{dq_{2}} &=&c
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、いずれの商品についても生産量に依存しない限界費用を持つことを意味します。

特筆すべきは、それぞれの商品\(i\)の費用関数\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)は自身の供給量\(q_{i}\)だけを変数として持つ関数であり、もう一方の商品\(j\ \left(\not=i\right) \)の供給量\(q_{j}\)には依存しないという点です。これは、2つの商品の生産が独立している状況を反映しています。また、複数の市場を独占することがもたらす効果だけを抽出するために、2つの商品の生産関数が同一である状況を想定しています。

加えて、市場の需要曲線を規定する定数\(a\)と限界費用\(c\)の間には以下の関係\begin{equation*}a>c
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の仮定のもとでは、\begin{eqnarray*}
\exists \frac{a-c}{b} &>&0:p_{1}\left( \frac{a-c}{b}\right) =MC_{1}\left(
\frac{a-c}{b}\right) \\
\exists \frac{a-c}{b} &>&0:p_{2}\left( \frac{a-c}{b}\right) =MC_{2}\left(
\frac{a-c}{b}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、それぞれの市場において均衡価格と限界費用が一致するような正の供給量\(\frac{a-c}{b}\)が存在するということです。一般に、完全競争市場では市場の均衡価格と企業の限界費用が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこれらの市場が独占市場ではなく完全競争市場である場合においても、それぞれの市場に参入することが最適であることを意味します。

独占企業が2つの商品の供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を選択すると、それに応じて市場の逆需要関数\(p_{i}\)が定める価格\begin{eqnarray*}&&p_{1}\left( q_{1}\right) \\
&&p_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}においてそれぞれの商品市場が均衡し、独占企業は収入\begin{equation*}
p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot q_{2}
\end{equation*}を得ます。その一方で、独占企業が負担すべき費用は費用関数\(c_{i}\)から、\begin{equation*}c_{1}\left( q_{1}\right) +c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}と定まるため、供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで独占企業が2つの市場から得る利潤の合計、すなわち結合利潤は、収入から費用を差し引くことにより得られる、\begin{equation*}p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。

独占企業は結合利潤を最大化するような供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を選択するものと仮定します。つまり、独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right)
\cdot q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。この問題の解\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が存在する場合、それを独占数量（monopoly quantily）と呼びます。独占数量\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が定まれば、市場の逆需要関数\(p_{i}\)からそれぞれの商品の均衡価格が、\begin{eqnarray*}p_{1}^{m} &=&p_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \\
p_{2}^{m} &=&p_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{eqnarray*}と定まります。これらの組\(\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m}\right) \)を独占価格（monopoly price）と呼びます。独占価格と独占数量からなる組\begin{equation*}\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}を独占均衡（monopoly equilibrium）と呼びます。

それぞれの商品市場の逆需要関数\(p_{i}\)と費用関数\(c_{i}\)が先の条件を満たす場合には独占均衡が存在することが保証されます。

独占均衡の解釈

2つの商品の市場および生産はそれぞれ独立している線型モデルにおいて、独占企業が直面する結合利潤最大化問題の解は、\begin{equation*}
\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) =\left( \frac{a+c}{2},\frac{a+c}{2},\frac{a-c}{2b},\frac{a-c}{2b}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。モデルの仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であるため、\begin{eqnarray*}p_{1}^{m} &>&0 \\
p_{2}^{m} &>&0 \\
q_{1}^{m} &>&0 \\
q_{2}^{m} &>&0
\end{eqnarray*}です。つまり、独占均衡\(\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)は内点解です。独占均衡において独占企業が得る結合利潤は、\begin{eqnarray*}&&p_{1}^{m}\cdot q_{1}^{m}+p_{2}^{m}\cdot q_{2}^{m}-c_{1}\left(
q_{1}^{m}\right) -c_{2}\left( q_{2}^{m}\right) \\
&=&\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a-c}{2b}+\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a-c}{2b}-c\cdot \frac{a-c}{2b}-c\cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}です。

独占数量\(q_{1}^{m}\)における商品\(1\)に関する限界収入は、\begin{eqnarray*}MR_{1}\left( q_{1}^{m}\right) &=&\left. \frac{d\left( a-bq_{1}\right) q_{1}}{dq_{1}}\right\vert _{q_{1}=q_{1}^{m}} \\
&=&\left. a-2bq_{1}\right\vert _{q_{1}=q_{1}^{m}} \\
&=&a-2b\cdot q_{1}^{m} \\
&=&a-2b\cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&c
\end{eqnarray*}である一方で、独占数量\(q_{1}^{m}\)における商品\(1\)に関する限界費用は、\begin{eqnarray*}MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right) &=&\left. \frac{dc_{1}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}\right\vert _{q_{1}=q_{1}^{m}} \\
&=&\left. \frac{dcq_{1}}{dq_{1}}\right\vert _{q_{1}=q_{1}^{m}} \\
&=&\left. c\right\vert _{q_{1}=q_{1}^{m}} \\
&=&c
\end{eqnarray*}であるため、独占数量\(q_{1}^{m}\)において、\begin{equation*}MR_{1}\left( q_{1}^{m}\right) =MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right)
\end{equation*}が成立します。商品\(2\)の市場においても同様に、\begin{equation*}MR_{2}\left( q_{2}^{m}\right) =MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以上より、2つの商品の市場および生産がそれぞれ独立している線型モデルにおいて、独占企業が直面する結合利潤最大化問題の解は内点解であるとともに、その解において、それぞれの商品に関する限界収入と限界費用が一致することが明らかになりました。

仮定より2つの商品の市場および生産はそれぞれ独立しているため、独占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が満たすべき2つの条件\begin{eqnarray*}MR_{1}\left( q_{1}^{m}\right) &=&MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \\
MR_{2}\left( q_{2}^{m}\right) &=&MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{eqnarray*}もまた独立していることに注意してください。つまり、独占企業はそれぞれの市場において、限界収入と限界費用が一致するような生産量を実現する価格を選択すれば、結果として、2つの市場から得られる利潤の和を最大化できます。言い換えると、2つの商品の市場および生産がそれぞれ独立している場合には、結合利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right)
\cdot q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}を解くことと、それぞれの市場における利潤最大化問題\begin{eqnarray*}
&&\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
&&\max_{q_{2}\in \mathbb{R} _{+}}\ p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ解くことは実質的に等しくなるということです。

2つの市場が独立していないケースや、2つの商品の生産が独立していないケースについては場を改めて解説します。