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不完全競争市場の理論

独占市場の問題:死荷重(ハーバーガーの三角形)

目次

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独占がもたらす死荷重

独占市場において商品は1つの企業によって供給されるため、独占企業による供給量がそのまま市場全体の供給量と一致します。そのため、独占企業が商品の供給量を変化させれば商品の均衡価格も変化します。特に、市場の逆需要曲線が右下がりである場合、独占企業が供給を増やせば価格は下落し、逆に供給を減らせば価格は上昇します。以上の想定のもと、独占均衡であるための必要条件を明らかにしました。モデルおよび結果の復習です。

命題(独占均衡であるための必要条件)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たし、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、生産量を決定する独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}には解が存在するとともに、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たす。

特に、独占数量\(q^{m}\)が内点解である場合には、すなわち\(q^{m}>0\)を満たす場合には、\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A\right) \)が等号で成立します。つまり、内点解であるような独占数量\(q^{m}\)のもとでは限界収入と限界費用が一致します。

図:独占均衡
図:独占均衡

以上の主張を上に図示しました。逆需要曲線\(p\left( q\right) \)と限界費用曲線\(MC\left( q\right) \)の交点\(\left( p^{\ast},q^{\ast }\right) \)が完全競争均衡であり、逆需要曲線\(p\left( q\right) \)と限界収入曲線\(MR\left( q\right) \)の交点における数量\(q^{m}\)およびそれに対応する価格\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)からなる組\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)が独占均衡です。

では、独占均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。効率性の尺度として社会的余剰を採用します。独占数量\(q^{m}\)が決まれば、市場の逆需要関数\(p\)より、商品の市場価格すなわち独占価格が、\begin{equation*}p^{m}=p\left( q^{m}\right)
\end{equation*}で均衡します。一方、独占数量\(q^{m}\)において独占企業が直面する限界収入は、\begin{equation}MR\left( q^{m}\right) =\frac{dp\left( q^{m}\right) }{dq}\cdot q^{m}+p\left(
q^{m}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
p\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) &=&p\left( q^{m}\right)
-MR\left( q^{m}\right) \quad \because \left( B\right) \\
&=&-\frac{dp\left( q^{m}\right) }{dq}\cdot q^{m}\quad \because \left(
1\right) \\
&>&0\quad \because \left( d\right) ,\left( A\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q^{m}\right) >MC\left( q^{m}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。つまり、独占均衡における商品の市場均衡価格は独占企業の限界費用を上回ります。これは何を意味するのでしょうか。

一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格は企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。一方、独占均衡において商品の価格は限界費用を上回るため社会的余剰は最大化されません。以上が\(\left( 2\right) \)の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを定量的に確認します。

図:独占均衡における社会的余剰
図:独占均衡における社会的余剰

独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)における消費者余剰は、\begin{equation*}CS^{m}=\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -p^{m}\right] dq
\end{equation*}であり、これは上図の青い領域に相当します。一方、独占均衡における生産者余剰は、\begin{equation*}
PS^{m}=\int_{0}^{q^{m}}\left[ p^{m}-MC\left( q\right) \right] dq
\end{equation*}であり、これは上図の緑の領域に相当します。したがって、独占均衡における社会的余剰は、\begin{eqnarray*}
TS^{m} &=&CS^{m}+PS^{m} \\
&=&\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -p^{m}\right] dq+\int_{0}^{q^{m}}\left[ p^{m}-MC\left( q\right) \right] dq \\
&=&\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -MC\left( q\right) \right] dq
\end{eqnarray*}であり、これは上図の青い領域と緑の領域の和に相当します。

独占均衡において達成される社会的余剰が明らかになりました。では、同様の市場において、同様の費用関数を持つ多数の企業が競争を行う場合の社会的余剰はどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。

図:完全競争均衡における社会的余剰
図:完全競争均衡における社会的余剰

完全競争均衡において市場の均衡価格は企業の限界費用と一致するため、完全競争均衡は\(\left( p^{\ast },q^{\ast }\right) \)となります。したがって、完全競争均衡における消費者余剰は、\begin{equation*}CS^{\ast }=\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq
\end{equation*}であり、これは上図の青い領域に相当します。一方、完全競争均衡における生産者余剰は、\begin{equation*}
PS^{\ast }=\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq
\end{equation*}であり、これは上図の緑の領域に相当します。したがって、独占均衡における社会的余剰は、\begin{eqnarray*}
TS^{\ast } &=&CS^{\ast }+PS^{\ast } \\
&=&\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq+\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq \\
&=&\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left( q\right) \right] dq
\end{eqnarray*}であり、これは上図の青い領域と緑の領域の和に相当します。

図:独占がもたらす死荷重
図:独占がもたらす死荷重

独占均衡における社会的余剰\(TS^{m}\)と完全競争均衡における社会的余剰\(TS^{\ast }\)を比較すると、\begin{eqnarray*}TS^{\ast }-TS^{m} &=&\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left(
q\right) \right] dq-\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -MC\left(
q\right) \right] dq \\
&=&\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left( q\right) \right] dq\quad \because q^{m}<q^{\ast } \\
&>&0\quad \because \forall q\in \lbrack 0,q^{\ast }):p\left( q\right)
>MC\left( q\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
TS^{\ast }>TS^{m}
\end{equation*}を得ます。つまり、独占市場において社会的余剰は最大化されません。独占がもたらす社会的余剰の損失\begin{equation*}
TS^{\ast }-TS^{m}=\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left(
q\right) \right] dq>0
\end{equation*}は上図のグレーの領域に相当しますが、これを死荷重(deadweight loss)や厚生損失(welfare loss)またはハーバーガーの三角形(Harberger’s triangle)などと呼びます。

命題(独占がもたらす死荷重)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たし、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、生産量を決定する独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}には解が存在するとともに、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たす。特に、\(q^{m}>0\)の場合に発生する死荷重は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( b\right) \ p\left( q^{\ast }\right) =MC\left( q^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(q^{m}\)および\(q^{\ast }\)を用いて、\begin{equation*}\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left( q\right) \right] dq
\end{equation*}と表される。

例(線形モデルにおける死荷重)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。独占企業が\(q\)だけ生産したときに得る利潤は、\begin{eqnarray*}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right) &=&\left( a-bq\right) q-cq \\
&=&-bq^{2}+\left( a-c\right) q
\end{eqnarray*}となります。したがって、独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{q\in \mathbb{R} _{+}}\left[ -bq^{2}+\left( a-c\right) q\right] \end{equation*}となります。これを解くことにより、独占均衡が、\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( \frac{a+c}{2},\frac{a-c}{2b}\right)
\end{equation*}として得られます。これは内点解です。一方、完全競争均衡は、\begin{equation*}
\left( p^{\ast },q^{\ast }\right) =\left( c,\frac{a-c}{b}\right)
\end{equation*}であるため、独占均衡において発生する死荷重は、\begin{eqnarray*}
\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -MC\left( q\right) \right] dq &=&\int_{\frac{a-c}{2b}}^{\frac{a-c}{b}}\left( a-bq-c\right) dq \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。

 

死荷重の要素分解

生産者余剰は利潤と固定費用の和と一致しますが、完全競争数量\(q^{\ast }\)と独占数量\(q^{m}\)において固定費用は一定であるため、独占企業の利潤を最大化する独占数量\(q^{m}\)において生産者余剰は最大化されます。つまり、商品の供給量が\(q^{\ast }\)から\(q^{m}\)へ移行すると生産者余剰は増加します。実際、独占均衡における生産者余剰\(PS^{m}\)と完全競争企業における生産者余剰\(PS^{\ast }\)を比較すると、\begin{eqnarray*}PS^{m}-PS^{\ast } &=&\int_{0}^{q^{m}}\left[ p^{m}-MC\left( q\right) \right] dq-\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq \\
&=&\int_{0}^{q^{m}}\left[ p^{m}-MC\left( q\right) \right] dq-\left\{
\int_{0}^{q^{m}}\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq+\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq\right\} \quad \because q^{m}<q^{\ast } \\
&=&\int_{0}^{q^{m}}\left( p^{m}-p^{\ast }\right) dq-\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}
\left[ p^{\ast }-MC\left( q\right) \right] dq \\
&=&\left[ \left( p^{m}-p^{\ast }\right) q\right] _{0}^{q^{m}}-\left[ p^{\ast
}q-c\left( q\right) \right] _{q^{m}}^{q^{\ast }} \\
&=&\left( p^{m}-p^{\ast }\right) q^{m}-\left[ p^{\ast }q^{\ast }-c\left(
q^{\ast }\right) \right] +\left[ p^{\ast }q^{m}-c\left( q^{m}\right) \right] \\
&=&p^{m}q^{m}-p^{\ast }q^{\ast }+c\left( q^{\ast }\right) -c\left(
q^{m}\right) \\
&=&\left[ p^{m}q^{m}-c\left( q^{m}\right) \right] -\left[ p^{\ast }q^{\ast
}-c\left( q^{\ast }\right) \right] \\
&>&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
PS^{m}>PS^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。それにも関わらず、供給量が\(q^{\ast }\)から\(q^{m}\)へ移行すると死荷重が発生することは、そのような移行により、消費者余剰が生産者余剰の増加分よりも大幅に減少することを意味します。実際、独占均衡における消費者余剰\(CS^{m}\)と完全競争企業における消費者余剰\(CS^{\ast }\)を比較すると、\begin{eqnarray*}CS^{\ast }-CS^{m} &=&\int_{0}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq-\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -p^{m}\right] dq \\
&=&\left\{ \int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq+\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq\right\} -\int_{0}^{q^{m}}\left[ p\left( q\right) -p^{m}\right] dq\quad
\because q^{m}<q^{\ast } \\
&=&\int_{0}^{q^{m}}\left( p^{m}-p^{\ast }\right) dq+\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}
\left[ p\left( q\right) -p^{\ast }\right] dq \\
&>&0+0\quad \because p^{m}>p^{\ast },\ \forall q\in \left[ 0,q^{\ast }\right] :p\left( q\right) \geq p^{\ast } \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
CS^{\ast }>CS^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。独占が生み出す生産者余剰の増加量\(PS^{m}-PS^{\ast }\)は、独占がもたらす消費者余剰の減少量\(CS^{\ast}-CS^{m}\)を補うほどには大きくないため、その差が死荷重\(TS^{\ast }-TS^{m}\)という厚生の損失として現れるということです。

例(線形モデルにおける死荷重)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。完全競争均衡と独占均衡のそれぞれの場合における消費者余剰、生産者余剰、総余剰、そして死荷重は以下の通りです。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
& 消費者余剰 & 生産者余剰 & 総余剰 & 死荷重 \\ \hline
完全競争均衡 & \dfrac{\left( a-c\right)^{2}}{2b} & 0 & \dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & 0 \\ \hline
独占均衡 & \dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} & \dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b} & \dfrac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b}& \dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

表から明らかであるように、完全競争均衡から独占均衡へ以降すると消費者余剰は減少する一方で生産者余剰は増加します。生産者余剰の増加分\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-0=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}
\end{equation*}は消費者余剰の減少分\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}-\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}=\frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{equation*}よりも小さいため、トータルで総余剰は減少します。総余剰の減少量は、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}-\frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{equation*}であり、これが死荷重に相当します(演習問題)。

 

演習問題

問題(線型モデルにおける死荷重)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。完全競争均衡と独占均衡のそれぞれの場合における消費者余剰、生産者余剰、総余剰、そして死荷重を求めてください。
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問題(独占がもたらす死荷重)
市場の逆需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =500-10q
\end{equation*}を定めるとともに、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =10q^{2}+100q
\end{equation*}を定めるものとします。独占均衡において発生する死荷重を求めてください。

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問題(独占がもたらす超過利潤)
独占市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たし、独占企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C_{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、生産量を決定する独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}には解が存在するとともに、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たします。特に、\(q^{m}>0\)の場合の独占均衡における生産者余剰\(PS^{m}\)と完全競争企業における生産者余剰\(PS^{\ast }\)の差は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( b\right) \ p\left( q^{\ast }\right) =MC\left( q^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(q^{m}\)および\(q^{\ast }\)を用いて、\begin{equation*}PS^{m}-PS^{\ast }=\int_{q^{m}}^{q^{\ast }}\left[ MC\left( q\right) -MR\left(
q\right) \right] dq
\end{equation*}として表すことが出来ることを示すとともに、その意味を説明してください。

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