生産力に制約がある企業間のベルトラン競争（ベルトラン・エッジワースモデル）

ベルトランのパラドクスの解消

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが価格競争を行う状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして定式化しました。特に、市場の逆需要曲線（需要曲線）および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいてベルトラン競争が行われる状況を完備情報の静学ゲームとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。ただし、\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。したがって、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。

ベルトラン競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たします。これをベルトラン均衡と呼びます。

完全競争市場では市場の均衡価格は限界費用と一致するとともに均衡において社会的余剰が最大化されます。一方、独占市場や複占市場における均衡価格は限界費用を上回るため、それらの市場において社会的余剰は最大化されません。ただ、複占市場においてベルトラン競争すなわち価格競争が行われる場合には、完全競争市場と同様に、市場の均衡価格は限界費用と一致するため、ベルトラン均衡において社会的余剰は最大化されます。不完全競争市場であっても、そこでベルトラン競争が行われる場合には完全競争市場と同様の結論が得られるという現象を指してベルトランのパラドクス（Bertrand paradox）と呼びます。

ベルトランのパラドクスは現実の経済を上手く描写できているでしょうか。ベルトランのパラドクスによると、ある商品が1つの企業（もしくはカルテル）によって独占的に供給されている状態から、1つの企業だけが加わり2企業間で価格競争が行われるようになると、商品の市場価格は独占価格から完全競争価格（限界費用）にまで急速に下落します。しかし、いくつかの実証研究が示すように、また私たちが日常的に経験しているように、現実の経済においては、複占市場や寡占市場において企業は限界費用を上回る価格をつけ、正の利潤を獲得していることを踏まえると、ベルトランのパラドクスは現実を上手く記述できていないと言えそうです。

こうした指摘を踏まえた上で、議論の前提となっているベルトラン競争のモデルをより現実に近づけることで、ベルトランのパラドクスを解消しようとする一連の研究が存在します。今回はそのような研究の中でも、企業の生産能力に着目したベルトラン・エッジワースモデル（Bertrand-Edgeworth model）について解説します。

ベルトラン・エッジワースモデル

ベルトラン競争ではより安い価格を提示した企業が需要を総取りしますが、このような想定を可能にするためには、個々の企業は市場需要のすべてに応えるほど十分な生産能力を持ち合わせており、獲得した需要に応じて生産量を柔軟に変更できる必要があります。これまでは、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの供給量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものと仮定してきましたが、以上の仮定は、企業は一定の限界費用で商品をいくらでも生産できることを意味します。

現実には、企業の生産能力には限界があります。特に、生産設備や労働力、原料などの生産要素を自由に再配置できない短期において、企業は供給量を無制限かつ柔軟に変化させることはできません。そこで、企業の生産能力に限界がある状況を明示的にモデルに組みこんだ上で、新たなモデルにおいてベルトラン競争が行われる場合に何が起こるかを分析します。

それぞれの企業の生産量\(q_{1},q_{2}\)には共通の上限\(k\)があるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}q_{1} &\in &\left[ 0,k\right] \\
q_{2} &\in &\left[ 0,k\right] \end{eqnarray*}であるということです。それにあわせて、企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cq_{i} & \left( if\ 0\leq q_{i}\leq k\right) \\
+\infty & \left( if\ k<q_{i}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものと仮定します。つまり、企業\(i\)に要求される生産量\(q_{i}\)が生産能力の上限\(k\)以下であればこれまで通り一定の限界費用\(c\)のもとで生産できますが、生産量\(q_{i}\)が上限\(k\)を超える場合には生産費用が無限大になってしまうため、そのような数量\(q_{i}\)を供給することは実質的に不可能であるということです。

両企業はこの市場において同質財を供給していますが、販売価格は各々が独自に決定します。では、両企業がそれぞれ価格を提示したとき、それに対してそれぞれの企業が得る需要はどのように決まるでしょうか。

両企業が提示する価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、そのときに企業\(1\)が得る需要を\(q_{1}\left(p_{1},p_{2}\right) \)で表記します。まずは、\begin{equation*}p_{1}<p_{2}
\end{equation*}の場合について考えます。この場合、企業\(1\)がより安い価格を提示しているため、企業\(1\)は自身が提示した価格\(p_{1}\)のもとでの市場の需要\(q\left( p_{1}\right) \)を総取りします。企業\(1\)の生産能力が\(q\left( p_{1}\right) \)をすべて満たせるほど十分大きい場合（\(k\geq q\left( p_{1}\right) \)）には企業\(1\)の供給量は\(q\left( p_{1}\right) \)である一方で、企業\(1\)の生産能力が\(q\left( p_{1}\right) \)を満たせるほど十分大きくない場合には（\(k<q\left( p_{1}\right) \)）には企業\(1\)の供給量は\(k\)です。したがって、この場合には、\begin{equation*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\min \left\{ q\left( p_{1}\right) ,k\right\}
\end{equation*}となります。

続いて、両企業が提示する価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)が、\begin{equation*}p_{1}>p_{2}
\end{equation*}を満たす場合について考えます。この場合、企業\(2\)がより安い価格を提示しているため、企業\(2\)は自身が提示した価格\(p_{2}\)のもとでの市場の需要\(q\left(p_{2}\right) \)を総取りします。企業\(2\)の生産能力が\(q\left( p_{2}\right) \)をすべて満たせるほど十分大きい場合（\(k\geq q\left( p_{2}\right) \)）には企業\(2\)の供給量は\(q\left(p_{2}\right) \)であるため、企業\(1\)が得る需要はゼロです。一方、企業\(2\)の生産能力が\(q\left( p_{2}\right) \)をすべて満たせるほど十分大きくない場合（\(k<q\left( p_{2}\right) \)）には、実際に供給できるのは\(k\)までです。したがって、この場合には企業\(1\)にも需要が残されている可能性があります。これを残余需要（residual demand）と呼びます。企業\(1\)が提示する価格\(p_{1}\)が\(k<q\left( p_{1}\right) \)を満たす場合には、消費者はまず企業\(2\)から価格\(p_{2}\)で商品を\(k\)だけ購入した上で、それよりも高い価格\(p_{1}\)で企業\(1\)から商品を\(q\left(p_{1}\right) -k\)だけ追加購入するものと仮定します。以上のような割り当てルールを効率的割り当て（efficient rationing）と呼びます。企業\(1\)がこの追加的な需要にすべて応えられる場合（\(k\geq q\left( p_{1}\right) -k\)すなわち\(k\geq \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\)）には\(q\left( p_{1}\right) -k\)だけ供給し、そうではない場合（\(k<q\left( p_{1}\right) -k\)すなわち\(k<\frac{q\left(p_{1}\right) }{2}\)）には\(k\)だけ供給します。したがって、この場合の供給量は、\begin{equation*}\min \left\{ q\left( p_{1}\right) -k,k\right\}
\end{equation*}となります。逆に、企業\(1\)が提示する価格\(p_{1}\)が\(k\geq q\left( p_{1}\right) \)を満たす場合には、企業\(1\)の残余需要は存在しません。したがって、この場合の供給量は、\begin{equation*}0
\end{equation*}となります。以上を総合すると、この場合には、\begin{equation*}
q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\max \left\{ 0,\min \left\{ q\left(
p_{1}\right) -k,k\right\} \right\}
\end{equation*}となります。

最後に、両企業が提示する価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)が、\begin{equation*}p_{1}=p_{2}
\end{equation*}を満たす場合について考えます。この場合、両企業が等しい価格を提示しているため、市場の均衡価格は\(p_{1}\)と一致し、市場の総需要は\(q\left( p_{1}\right) \)と一致しますが、この総需要は等分する形で両企業に割り当てられるものとします。つまり、企業\(1\)の取り分は、\begin{equation*}\frac{q\left( p_{1}\right) }{2}
\end{equation*}です。企業\(1\)がこの追加的な需要にすべて応えられる場合（\(k\geq \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\)）には\(\frac{q\left(p_{1}\right) }{2}\)だけ供給し、そうではない場合（\(k<\frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\)）には\(k\)だけ供給します。したがって、この場合には、\begin{equation*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\min \left\{ \frac{q\left( p_{1}\right) }{2},k\right\}
\end{equation*}となります。

以上を踏まえると、両企業が提示する価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、そのときに企業\(1\)が得る需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を特定する関数を\(q_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表記するのであれば、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\min \left\{ q\left( p_{1}\right) ,k\right\} & \left( if\quad
p_{1}<p_{2}\right) \\
\max \left\{ 0,\min \left\{ q\left( p_{1}\right) -k,k\right\} \right\} &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right) \\
\min \left\{ \dfrac{q\left( p_{1}\right) }{2},k\right\} & \left( if\quad
p_{1}=p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。同様に、企業\(2\)が得る需要を特定する関数\(q_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\min \left\{ q\left( p_{2}\right) ,k\right\} & \left( if\quad
p_{2}<p_{1}\right) \\
\max \left\{ 0,\min \left\{ q\left( p_{2}\right) -k,k\right\} \right\} &
\left( if\quad p_{2}>p_{1}\right) \\
\min \left\{ \dfrac{q\left( p_{2}\right) }{2},k\right\} & \left( if\quad
p_{1}=p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は市場の需要曲線です。

以上を踏まえた上で、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。以上の想定のもとで行われるベルトラン競争をベルトラン・エッジワースモデル（Bertrand-Edgeworth model）と呼びます。

ベルトラン・エッジワースの線型モデルにおけるナッシュ均衡（ベルトラン均衡）

ベルトラン・エッジワースの線型モデルにおいて、企業の生産能力が十分低い場合のベルトラン均衡は以下の通りです。

ベルトラン・エッジワースの線型モデルにおいて、両企業の生産能力の上限\(k\)が、\begin{equation*}k\leq \frac{a-c}{3b}
\end{equation*}を満たすほど十分小さい場合には、以下の価格の組\begin{equation*}
\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) =\left( a-2bk,a-2bk\right)
\end{equation*}がベルトラン均衡になることが明らかになりました。均衡において両企業は等しい価格を提示しているため、市場の均衡価格は、\begin{equation*}
p^{\ast }=a-2bk
\end{equation*}と定まります。生産能力の制約がない場合の均衡価格\(c\)と比較すると、\begin{eqnarray*}p^{\ast }-c &=&\left( a-2bk\right) -c \\
&\geq &\left( a-2b\cdot \frac{a-c}{3b}\right) -c\quad \because k\leq \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{a-c}{3} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p^{\ast }>c
\end{equation*}となるため、生産能力に制約がある場合のベルトラン均衡価格は、生産能力に制約がない場合の均衡価格を上回ります。また、均衡における市場の総需要は、\begin{eqnarray*}
q\left( p^{\ast }\right) &=&\frac{a-p^{\ast }}{b} \\
&=&\frac{a-\left( a-2bk\right) }{b} \\
&=&2k
\end{eqnarray*}であり、均衡においてそれぞれの企業が獲得する需要は、\begin{eqnarray*}
q_{i}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) &=&\min \left\{ \dfrac{a-p_{i}^{\ast }}{2b},k\right\} \\
&=&\min \left\{ \dfrac{a-\left( a-2bk\right) }{2b},k\right\} \\
&=&\min \left\{ k,k\right\} \\
&=&k
\end{eqnarray*}です。つまり、生産能力に制約がある場合のベルトラン均衡において2つの企業はともに自身の能力の限界まで商品を生産します。その結果、それぞれの企業が獲得する利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{i}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) &=&p_{1}^{\ast }\cdot
q_{i}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) -c_{i}\left( p_{1}^{\ast
},p_{2}^{\ast }\right) \\
&=&\left( a-2bk\right) k-ck \\
&=&\left( a-2bk-c\right) k \\
&\geq &\left( a-2b\cdot \frac{a-c}{3b}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\quad \because k\leq \frac{a-c}{3b} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}となり、企業は正の利潤を獲得できます。

演習問題