複数業種にまたがる独占（範囲の経済や範囲の不経済が成立する場合）

範囲の経済や範囲の不経済が成立する複数の商品を供給する独占企業

2つの異なる商品市場を独占している企業が2つの市場から得られる利潤の和を最大化するために、それぞれの商品の供給量を決定する状況を分析しました。ただし、2つの商品市場は独立しており、2つの商品の生産は独立している状況を想定しました。モデルと結果を簡単に復習します。

商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の市場の逆需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}p_{1}\left( q_{1}\right) &=&a-bq_{1} \\
p_{2}\left( q_{2}\right) &=&a-bq_{2}
\end{eqnarray*}を定め、商品\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。生産計画\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業が2つの市場から得る利潤の合計、すなわち結合利潤は、収入から費用を差し引くことにより得られる、\begin{equation*}p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}であるため、企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right)
\cdot q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。この問題には解が存在するとともに、独占均衡は、\begin{equation*}
\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) =\left( \frac{a+c}{2},\frac{a+c}{2},\frac{a-c}{2b},\frac{a-c}{2b}\right)
\end{equation*}と定まります。独占均衡において独占企業が得る結合利潤は、\begin{equation*}
p_{1}^{m}\cdot q_{1}^{m}+p_{2}^{m}\cdot q_{2}^{m}-c_{1}\left(
q_{1}^{m}\right) -c_{2}\left( q_{2}^{m}\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}です。加えて、独占均衡において以下の条件\begin{eqnarray*}
MR_{1}\left( q_{1}^{m}\right) &=&MC_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \\
MR_{2}\left( q_{2}^{m}\right) &=&MC_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。つまり、独占企業はそれぞれの市場において、限界収入と限界費用が一致するような生産量を選択すれば、2つの市場から得られる利潤の和を最大化できます。言い換えると、2つの商品の市場および生産がそれぞれ独立している場合には、結合利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right)
\cdot q_{2}-c_{1}\left( q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}を解くことと、それぞれの市場における利潤最大化問題\begin{eqnarray*}
&&\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
&&\max_{q_{2}\in \mathbb{R} _{+}}\ p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ解くことは実質的に等しくなるということです。

これまでは2つの商品の生産が独立している状況を想定してきましたが、2つの商品の生産に範囲の経済（economies of scope）や範囲の不経済（diseconomies of scope）が成立する場合には、結果はどのように変わるでしょうか。

複数業種にまたがる独占企業が直面する結合利潤最大化問題

同一の企業が2つの異なる商品市場をともに独占している状況において、2つの市場から得られる利潤の和を最大化するために、それぞれの商品の供給量を決定する状況を想定します。ただし、2つの商品市場は独立している一方で、2つの商品の生産に関しては範囲の経済ないし範囲の不経済が成立するものとします。

まずは2つの市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。

先と同様に、商品\(i\ \left(=1,2\right) \)の市場の逆需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}p_{1}\left( q_{1}\right) &=&a-bq_{1} \\
p_{2}\left( q_{2}\right) &=&a-bq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b>0\)です。つまり、企業が商品\(i\ \left( =1,2\right) \)を\(q_{1}\)だけ供給する場合、商品\(i\)の市場価格は\(p_{i}\left( q_{i}\right) \)で均衡するということです。

このとき、商品\(i\)の市場の需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}q_{1}\left( p_{1}\right) &=&\frac{a-p_{1}}{b} \\
q_{1}\left( p_{2}\right) &=&\frac{a-p_{2}}{b}
\end{eqnarray*}を定めますが、特筆すべきは、それぞれの商品\(i\)の需要関数\(p_{i}\left( p_{i}\right) \)は自身の価格\(p_{i}\)だけを変数として持つ関数であり、もう一方の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)の価格\(p_{j}\)には依存しないという点です。これは、2つの商品市場が独立している状況を反映しています。また、複数の市場を独占することがもたらす効果だけを抽出するために、2つの市場が同一の逆需要関数を共有する状況を想定しています。

続いて、この市場において商品を供給する独占企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。

企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}c\left( q_{1},q_{2}\right) =cq_{1}+cq_{2}+\mu q_{1}q_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(c>0\)かつ\(\mu\in \mathbb{R} \)です。つまり、企業が生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を実行するためには総費用が\(c\left( q_{1},q_{2}\right) \)だけかかるということです。商品を生産しない場合の費用は、\begin{equation*}c\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}ですが、これは固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)において、\begin{eqnarray*}MC_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\frac{\partial c\left(
q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=c+\mu q_{2} \\
MC_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\frac{\partial c\left(
q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{2}}=c+\mu q_{1}
\end{eqnarray*}ですが、これは商品\(i\) \(\left( =1,2\right) \)の限界費用がもう一方の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)の生産量\(q_{j}\)に依存することを意味します。

特筆すべきは、それぞれの商品\(i\)の費用関数\(c_{i}\left( q_{1},q_{2}\right) \)は自身の供給量\(q_{i}\)だけでなくもう一方の商品の価格\(q_{j}\)にも依存しているということです。\(\mu>0\)である場合には、\begin{eqnarray*}\frac{\partial MC_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{2}} &=&\frac{\partial \left( c+\mu q_{2}\right) }{\partial q_{2}}=\mu >0 \\
\frac{\partial MC_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}} &=&\frac{\partial \left( c+\mu q_{1}\right) }{\partial q_{1}}=\mu >0
\end{eqnarray*}となります。つまり、一方の商品を増産すると他方の商品の限界費用が増加するため、このとき\(\left(q_{1},q_{2}\right) \)において2つの商品の生産には範囲の不経済が成立しています。一方、\(\mu <0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\frac{\partial MC_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{2}} &=&\frac{\partial \left( c+\mu q_{2}\right) }{\partial q_{2}}=\mu <0 \\
\frac{\partial MC_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}} &=&\frac{\partial \left( c+\mu q_{1}\right) }{\partial q_{1}}=\mu <0
\end{eqnarray*}となります。つまり、一方の商品を増産すると他方の商品の限界費用が下落するため、このとき\(\left(q_{1},q_{2}\right) \)において2つの商品の生産には範囲の経済が成立しています。さらに、\(\mu =0\)である場合には、任意の\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)において、\begin{equation*}c\left( q_{1},q_{2}\right) =cq_{1}+cq_{2}
\end{equation*}となるため、これは2つの商品の生産が独立しているケースに相当します。

加えて、市場の需要関数を規定する定数\(a,b\)と費用関数を規定する定数\(c,\mu \)の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left\vert \mu \right\vert &<&2b \\
a &>&c
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。以上の仮定は、独占企業の結合利潤最大化問題に解が存在することを保証する役割を果たします。

独占企業が2つの商品の供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を選択すると、それに応じて市場の逆需要関数\(q_{i}\)が定める価格\begin{eqnarray*}&&p_{1}\left( q_{1}\right) \\
&&p_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}においてそれぞれの商品市場が均衡し、独占企業は収入\begin{equation*}
p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot q_{2}
\end{equation*}を得ます。その一方で、独占企業が負担すべき費用は費用関数\(c\)から、\begin{equation*}c\left( q_{1},q_{2}\right)
\end{equation*}と定まるため、供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで独占企業が2つの市場から得る利潤の合計、すなわち結合利潤は、収入から費用を差し引くことにより得られる、\begin{equation*}p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c\left( q_{1},q_{2}\right)
\end{equation*}となります。

独占企業は結合利潤を最大化するような供給量\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を選択するものと仮定します。つまり、独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ p_{1}\left( q_{1}\right) \cdot q_{1}+p_{2}\left( q_{2}\right)
\cdot q_{2}-c\left( q_{1},q_{2}\right)
\end{equation*}となります。この問題に解\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が存在する場合、それを独占数量（monopoly quantily）と呼びます。独占数量\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)が定まれば、市場の逆需要関数\(p_{i}\)からそれぞれの商品の市場均衡価格が、\begin{eqnarray*}p_{1}^{m} &=&p_{1}\left( q_{1}^{m}\right) \\
p_{2}^{m} &=&p_{2}\left( q_{2}^{m}\right)
\end{eqnarray*}と定まります。これらの組\(\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m}\right) \)を独占価格（monopoly price）と呼びます。独占価格と独占数量からなる組\begin{equation*}\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right)
\end{equation*}を独占均衡（monopoly equilibrium）と呼びます。

それぞれの商品市場の逆需要関数\(p_{i}\)と費用関数\(c_{i}\)が先の条件を満たす場合には独占均衡が存在することが保証されます。

2つの商品の生産に範囲の経済ないし範囲の不経済が存在する場合の独占均衡は、\begin{equation*}
\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) =\left( \frac{a\mu
+ab+bc}{2b+\mu },\frac{a\mu +ab+bc}{2b+\mu },\frac{a-c}{2b+\mu },\frac{a-c}{2b+\mu }\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。独占利潤は、\begin{eqnarray*}
&&p_{1}^{m}\cdot q_{1}^{m}+p_{2}^{m}\cdot q_{2}^{m}-c_{1}\left(
q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \\
&=&2\cdot \frac{a\mu +ab+bc}{2b+\mu }\cdot \frac{a-c}{2b+\mu }-2\cdot c\cdot
\frac{a-c}{2b+\mu }-\mu \cdot \left( \frac{a-c}{2b+\mu }\right) ^{2} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b+\mu } \\
&>&0
\end{eqnarray*}です。

比較静学

2つの商品の生産に範囲の経済ないし範囲の不経済が存在する場合の独占均衡は、\begin{equation*}
\left( p_{1}^{m},p_{2}^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) =\left( \frac{a\mu
+ab+bc}{2b+\mu },\frac{a\mu +ab+bc}{2b+\mu },\frac{a-c}{2b+\mu },\frac{a-c}{2b+\mu }\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

任意の\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial MC_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{2}}=\frac{\partial MC_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=\mu
\end{equation*}が成り立つため、パラメータ\(\mu \)は2つの商品の生産に関わる範囲の経済ないし範囲の不経済の度合いを表す指標です。\(\mu >0\)の場合には2つの商品の生産には範囲の不経済が成立し、\(\mu <0\)の場合には2つの商品の生産には範囲の経済が成立し、\(\mu =0\)の場合は2つの商品の生産が独立しているケースに相当します。

商品\(1\)の独占価格をパラメータ\(\left( a,b,c,\mu \right) \)に関する関数\(p_{1}^{m}\left( a,b,c,\mu \right) \)とみなした上で\(\lambda \)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial p_{1}^{m}\left( a,b,c,\mu \right) }{\partial \mu } &=&\frac{\partial }{\partial \mu }\frac{a\mu +ab+bc}{2b+\mu } \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) }{\left( 2b+\mu \right) ^{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}を得ます。商品\(2\)の独占価格についても同様に、\begin{eqnarray*}\frac{\partial p_{2}^{m}\left( a,b,c,\mu \right) }{\partial \mu } &=&\frac{\partial }{\partial \mu }\frac{a\mu +ab+bc}{2b+\mu } \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) }{\left( 2b+\mu \right) ^{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、2つの商品の独占均衡価格は\(\mu \)に関する増加関数です。これは何を意味するのでしょうか。

まずは\(\mu >0\)の場合、すなわち2つの商品の商品の生産には範囲の不経済が成立する場合について考えます。この場合、\(\mu \)の値が大きいほど範囲の不経済の影響が大きくなります。このような状況において一方の商品の価格を上げると、すなわちその商品の供給を絞ると、他方の商品の限界費用が大幅に下落するため、トータルでは利潤が増加します。\(\mu \)が大きいほど独占均衡価格が上昇すること、すなわち独占均衡価格が\(\mu \)に関する増加関数であることの理由は以上の通りです。

続いて\(\mu <0\)の場合、すなわち2つの商品の商品の生産には範囲の経済が成立する場合について考えます。この場合、\(\mu \)の値が小さいほど範囲の経済の影響が大きくなります。このような状況において一方の価格を下げると、すなわちその商品の供給を増やすと、他方の商品の限界費用が大幅に下落するため、トータルでは利潤が増加します。\(\mu \)が小さいほど独占均衡価格が下落すること、すなわち独占均衡価格が\(\mu \)に関する増加関数であることの理由は以上の通りです。