シュタッケルベルグの数量競争（複占市場における動学的数量競争）

同質財を供給する企業間の動学的数量競争

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが数量競争を行う状況をクールノー競争と呼ばれるモデルとして定式化しました。特に、市場の逆需要曲線および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいてクールノー競争が行われる状況を完備情報の静学ゲームとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。生産量の組\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}であるため、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{1}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left(
q_{2}\right)
\end{equation*}となります。

クールノー競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の供給量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}q_{1}^{C}=q_{2}^{C}=\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}を満たします。これをクールノー均衡と呼びます。

加えて、このゲーム\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解けるとともに、その解はクールノー均衡\(\left( q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) \)と一致します。したがって、プレイヤーたちの合理性が共有知識である場合、両企業がクールノー均衡\(\left(q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) \)を実際にプレーすることが理論的に予測されます。

クールノー均衡\(\left(q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) \)のもとでの商品の市場価格は、\begin{eqnarray*}p^{C} &=&p\left( q_{1}^{C}+q_{2}^{C}\right) \\
&=&P\left( \frac{2\left( a-c\right) }{3b}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b} \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}であるため、企業\(1\)の均衡利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) &=&\left( p^{C}-c\right) \cdot
q_{1}^{C} \\
&=&\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)の均衡利得も同様に、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) &=&\left( p^{C}-c\right) \cdot
q_{2}^{C} \\
&=&\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}となります。

では、同様の市場において2つの企業が商品の供給量を同時に決定するのではなく、一方の企業が先に自身の供給量を決定し、それを観察したもう一方の企業が自身の供給量を決定する場合には何が起こるでしょうか。その場合にも均衡は存在するでしょうか。また、均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているのでしょうか。

先に供給量を選択する企業を先導者（leader）と呼び、先導者が選択した供給量を観察した後に自身の供給量を決定する企業を追随者（follower）と呼ぶこととします。追随者は先導者による供給量を観察した上で自社の供給量を決定できるため、後出しジャンケンの理屈で考えると、追随者の方が有利である印象を受けます。また、追随者は先導者に対して「あなたが商品を供給する場合には、対抗措置としてこちらは商品を大量に供給します。その結果、供給過多になってあなたは赤字になってしまいますよ。」と脅しをかけることもできます。実際、追随者は先導者よりも有利であると言えるのでしょうか。後ほど考察します。

同質財の複占市場において行われる動学的な数量競争に関するモデルをシュタッケルベルグの数量競争（Stackelberg quantity competition）やシュタッケルベルグモデル（Stackelberg leadership model）などと呼びます。これはドイツの経済学者ハインリッヒ・フォン・シュタッケルベルグ（Heinrich Freiherr von Stackelberg）が1934年に発表したモデルです。

シュタッケルベルグの数量競争モデルの定式化

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の生産量を決定する状況を想定します。ただし、一方の企業が先に自身の供給量を決定し、それを観察したもう一方の企業が自身の供給量を決定する状況を想定します。

これまでと同様に、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。

逆需要関数\(p\left( q\right) \)によって特徴づけられる商品市場において、費用関数\(c_{1}\left( q_{1}\right) ,c_{2}\left(q_{2}\right) \)によって特徴づけられるコスト構造を持つ2つの企業\(1,2\)が自身の利潤を最大化するように供給量\(q_{1},q_{2}\)をそれぞれ選択する状況を想定します。ただし、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には生産量に関する拘束的合意が成立しないものとします。

完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の供給量\(q_{1},q_{2}\)をそれぞれ選択すると市場において商品の価格が\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡します。つまり、2つの企業が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が操作可能であるのは自身の供給量\(q_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)の供給量\(q_{j}\)を直接操作することはできません。つまり、それぞれの企業は市場の総供給量を完全に操作できるわけではなく、それゆえ商品の市場価格を単独で完全に自由に操作できるわけではありません。

クールノー競争では2つの企業がそれぞれ供給量\(q_{1},q_{2}\)を同時に選択する状況を想定しましたが、以降では、一方の企業が先に自身の供給量を決定し、それを観察したもう一方の企業が自身の供給量を決定する状況を想定します。企業\(1\)を先導者とみなし、企業\(2\)を追随者とみなしても一般性は失われません。先導者が供給量を決定した時点から追随者が供給量を決定するまでのタイムラグが長い場合、その間、先導者は市場を独占することになってしまうため、問題の本質が変わってしまいます。そこで以降では、両者の意思決定の間に存在するタイムラグが十分短い状況を想定します。

企業\(1\)が供給量\(q_{1}\)を選択し、それを観察した企業\(2\)が供給量\(q_{2}\)を選択すると、市場の総供給量は\(q_{1}+q_{2}\)となるため、商品の価格は\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡します。すると、企業\(1\)は収入\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\right) \)であるため、生産量の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による生産量\(q_{2}\)を操作できないため、\(q_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\geq 0\)の値に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(q_{1}\geq 0\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left(
q_{2}\right)
\end{equation*}となります。ただし、企業\(1\)は自身の供給量\(q_{1}\)を決定する段階において相手が選択する供給量\(q_{2}\)を観察できないのに対し、企業\(2\)は相手が選択した供給量\(q_{1}\)を観察した後に自身の供給量\(q_{2}\)を決定します。

完備情報の動学ゲームとしてシュタッケルベルグ競争

シュタッケルベルグ競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に生産量に関する拘束的合意が成立しません。したがってシュタッケルベルグ競争は非協力ゲームです。また、シュタッケルベルグ競争では先導者が先に意思決定を行い、それを観察した追随者が行う動学ゲームです。より正確には、それぞれの企業は以下の順番で意思決定を行います。

1. 先導者である企業\(1\)は自身の供給量\(q_{1}\in \mathbb{R} _{+}\)を選択する。ただし、自身の供給量\(q_{1}\)を決める段階ではライバルの供給量\(q_{2}\)を観察できない。
2. 追随者である企業\(2\)はライバルが選択した供給量\(q_{1}\)を観察した上で、自身の供給量\(q_{2}\in \mathbb{R} _{+}\)を決定する。
3. それぞれの企業が選択した供給量\(\left(q_{1},q_{2}\right) \)をもとにそれぞれの企業\(i\)が得る利潤\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{i}-c_{i}\left( q_{i}\right) \)が決定する。

さらに、市場の逆需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、シュタッケルベルグ競争は完備情報の動学ゲームとして記述されます。

そこで、シュタッケルベルグ競争を以下のような展開型ゲーム\(\Gamma \)としてモデル化します。まず、ゲーム\(\Gamma \)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。企業\(1\)が先導者であり、企業\(2\)が追随者です。ゲーム\(\Gamma \)のその他の要素は以下のゲームの木によって表現されます。

ただし、実線上に存在する手番はそれぞれが単独で情報集合を構成します。また、\(q_{1}\in \mathbb{R} _{+}\)は企業\(1\)が選択する供給量であり、\(q_{2}\in \mathbb{R} _{+}\)は企業\(2\)が選択する供給量です。利潤関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。なお、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。

シュタッケルベルグ均衡（シュタッケルベルグ競争における部分ゲーム完全競争）

シュタッケルベルグ競争における企業\(1\)の純粋戦略を特定するためには、ゲームの初期点から構成される情報集合において企業\(1\)が選択する供給量\(q_{1}\)を特定する必要があります。つまり、企業\(1\)の純粋戦略は\(q_{1}\in \mathbb{R} _{+}\)の値として表現されます。

企業\(2\)の純粋戦略を特定するためには、企業\(1\)が供給量\(q_{1}\)を選択した直後に到達するそれぞれの情報集合において企業\(2\)が選択する供給量\(q_{2}\)を特定する必要があり、それは、企業\(1\)によるそれぞれの供給量\(q_{1}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、それに対する企業\(2\)の反応\(q_{2}\left(q_{1}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を特定する写像\begin{equation*}q_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}として定式化されます。つまり、企業\(2\)の純粋戦略は以上のような写像\(q_{2}\)として表現されます。

シュタッケルベルグ競争における部分ゲーム完全均衡をシュタッケルベルグ均衡（Stackelberg Equilibrium）と呼びます。シュタッケルベルグ競争には以下のようなシュタッケルベルグ均衡が存在します。

命題（シュタッケルベルグ均衡）

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)が与えられているものとする。

ただし、\(q_{1},q_{2}\in \mathbb{R} _{+}\)である。プレイヤー\(i\ \left( =1,2\right) \)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定める。また、関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定める。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(\Gamma \)には純粋戦略部分ゲーム完全均衡が1つだけ存在し、それは、「\(q_{1}=\frac{a-c}{2b}\)を選択する」というプレイヤー\(1\)の純粋戦略と、「プレイヤー\(1\)が\(0\leq q_{1}\leq \frac{a-c}{b}\)を満たす\(q_{1}\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(q_{2}=\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_{1}\)を選択し、プレイヤー\(1\)が\(q_{1}>\frac{a-c}{b}\)を満たす\(q_{1}\)を選択した直後に到達し得る任意の情報集合において\(q_{2}=0\)を選択する」というプレイヤー\(2\)の純粋戦略からなる組である。したがって、均衡経路は「プレイヤー\(1\)が\(q_{1}=\frac{a-c}{2b}\)を選択し、プレイヤー\(2\)が\(q_{2}=\frac{a-c}{4b}\)を選択する」である。

シュタッケルベルグ均衡の解釈

シュタッケルベルグ競争における部分ゲーム完全均衡のもとでの均衡経路は、\begin{equation*}
\left( q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) =\left( \frac{a-c}{2b},\frac{a-c}{4b}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。両者を比較すると、\begin{equation*}
q_{1}^{S}>q_{2}^{S}
\end{equation*}を得ます。つまり、シュタッケルベルグ均衡において先導者は追随者よりも多くの商品を供給するということです。

シュタッケルベルグ均衡において、商品の均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{S}+q_{2}^{S}\right) &=&p\left( \frac{a-c}{2b}+\frac{a-c}{4b}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{3\left( a-c\right) }{4b} \\
&=&\frac{a+3c}{4}
\end{eqnarray*}となるため、シュタッケルベルグ均衡のもとでの均衡経路\(\left(q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) \)において企業\(1\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) &=&\left[ p\left(
q_{1}^{S}+q_{2}^{S}\right) -c\right] \cdot q_{1}^{S} \\
&=&\left( \frac{a+3c}{4}-c\right) \cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{eqnarray*}であり、企業\(2\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) &=&\left[ p\left(
q_{1}^{S}+q_{2}^{S}\right) -c\right] \cdot q_{2}^{S} \\
&=&\left( \frac{a+3c}{4}-c\right) \cdot \frac{a-c}{4b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{16b}
\end{eqnarray*}となります。両者を比較すると、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) >u_{2}\left(
q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、シュタッケルベルグ均衡において先導者は追随者よりも多くの利潤を得ます。

クールノー競争とシュタッケルベルグ競争の結果を以下の表にまとめました。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
& クールノー競争 & & シュタッケルベルグ競争 \\ \hline
企業1の供給量 & \frac{a-c}{3b} & < & \frac{a-c}{2b} \\ \hline
企業2の供給量 & \frac{a-c}{3b} & > & \frac{a-c}{4b} \\ \hline
総供給量 & \frac{2\left( a-c\right) }{3b} & < & \frac{3\left( a-c\right) }{4b} \\ \hline
商品の価格 & \frac{a+2c}{3} & > & \frac{ a+3c}{4} \\ \hline
企業1の利潤 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{ 9b} & < & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
企業2の利潤 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & > & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{16b} \\ \hline
\end{array}$$

2つの競争形態を分析する際に市場の逆需要関数や企業の費用関数に関して同一の仮定を採用しているため、上の表における数値の違いは、シュタッケルベルグ競争において導入された動学的な要素のみに由来しています。

上の表から明らかであるように、クールノー競争の場合と比較して、シュタッケルベルグ競争において企業\(1\)（先導者）の利潤は増加する一方で企業\(2\)（追随者）の利潤は減少します。つまり、その他の条件はそのままで動学的な要素を入れると、それは先導者にとって有利な条件として作用します。シュタッケルベルグ競争では先導者の優位（first mover advantage）が成立するということです。

追随者の脅しには信憑性がない

当初の見立てとは逆に、シュタッケルベルグ競争は先導者にとって有利な条件であり、追随者にとって不利であることが明らかになりました。では、追随者は先導者に対して「あなたが商品を供給する場合には、対抗措置としてこちらは商品を大量に供給します。その結果、供給過多になってあなたは赤字になってしまいますよ。」と脅しをかけることはできないのでしょうか。

仮に、先導者が脅しに屈して商品を供給しなかった場合（\(q_{1}=0\)）、追随者が直面する問題は、\begin{equation*}\max_{q_{2}\in \mathbb{R} _{+}}\ u_{2}\left( 0,q_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q_{2}\in \mathbb{R} _{+}}\ p\left( q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。つまり、追随者は独占企業として振る舞うことになるため、以下の条件\begin{equation*}
MR_{2}\left( q_{2}\right) =MC_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}を満たす供給量\(q_{2}\)のもとで利潤を最大化できます。これを解くと、\begin{equation*}q_{2}=\frac{a-c}{2b}
\end{equation*}となります。したがって、仮に先導者が脅しに屈した場合、追随者にとって最適な行動は\(\frac{a-c}{2b}\)を供給することであり、これを超えて商品を大量に供給することは最適ではありません。

以上の議論より、追随者による先の脅しは信憑性のない脅しであることが明らかになりました。したがって、先導者は追随者による脅しを真に受ける合理的な理由が存在しないことになります。

先導者の優位

シュタッケルベルグ競争では先導者の優位が成立することが明らかになりましたが、そのメカニズムを以下で解説します。

2つの企業が同時に意思決定を行うクールノー競争において企業\(1\)が直面する最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。ここで注意したいのは、企業\(1\)は相手が選択する供給量\(q_{2}\)を事前に観察できないため、\(q_{2}\)の値を所与としながら上の最大化問題を解く必要があるということです。この場合、企業\(1\)の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR_{1}^{C}\left( q_{1}\right) &=&\frac{\partial }{\partial q_{1}}\left[
p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\right] \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot \frac{\partial \left(
q_{1}+q_{2}\right) }{\partial q_{1}}\cdot q_{1}+p\left( q_{1}+q_{2}\right)
\\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q_{1}+p\left( q_{1}+q_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
MR_{1}^{C}\left( q_{1}\right) =\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot
q_{1}+p\left( q_{1}+q_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし、右辺の第1項\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q_{1}\)は企業\(1\)が供給量を\(1\)単位増やす場合の収入の減少量であり、右辺の第\(2\)項\(p\left(q_{1}+q_{2}\right) \)は企業\(1\)が供給量を\(1\)単位増やす場合の収入の増加量に相当します。

一方、シュタッケルベルグ競争において先導者である企業\(1\)は、自身の選択\(q_{1}\)に対する相手企業の最適反応\(b_{2}\left( q_{1}\right) \)を見据えた上での最大化問題\begin{equation*}\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\ p\left( q_{1}+b_{2}\left( q_{1}\right) \right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}に直面します。相手にとって最適な供給量\(q_{2}=b_{2}\left( q_{1}\right) \)は自身の選択\(q_{1}\)に依存して変化するため、シュタッケルベルグ競争の先導者は、相手の供給量\(q_{2}\)を一定の範囲でコントロールできる状況下で自身の最大化問題を解くことができます。ここがクールノー競争との違いです。この場合、企業\(1\)の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR_{1}^{S}\left( q_{1}\right) &=&\frac{\partial }{\partial q_{1}}\left[
p\left( q_{1}+b_{2}\left( q_{1}\right) \right) \cdot q_{1}\right] \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot \frac{\partial \left[
q_{1}+b_{2}\left( q_{1}\right) \right] }{\partial q_{1}}\cdot q_{1}+p\left(
q_{1}+b_{2}\left( q_{1}\right) \right) \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot \left( 1+\frac{db_{2}\left(
q_{1}\right) }{dq_{1}}\right) \cdot q_{1}+p\left( q_{1}+b_{2}\left(
q_{1}\right) \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
MR_{1}^{S}\left( q_{1}\right) =\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot \left( 1+\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}\right) \cdot q_{1}+p\left(
q_{1}+b_{2}\left( q_{1}\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。ただし、右辺の第1項\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot \left( 1+\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}\right) \cdot q_{1}\)は企業\(1\)が供給量を\(1\)単位増やす場合の収入の減少量であり、右辺の第\(2\)項\(p\left( q_{1}+b_{2}\left(q_{1}\right) \right) \)は企業\(1\)が供給量を\(1\)単位増やす場合の収入の増加量に相当します。

数量競争が行われる状況において企業\(2\)の最適反応関数\(b_{2}\)は相手の供給量\(q_{1}\)に関する減少関数であるため、\begin{equation*}\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}<0
\end{equation*}であることに注意してください。実際、線型モデルにおける企業\(2\)の最適反応関数は、\begin{equation*}b_{2}\left( q_{1}\right) =\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_{1}
\end{equation*}であるため、\begin{equation}
\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}=-\frac{1}{2}<0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。したがって、\begin{equation*}
1+\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}<1
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}MR_{1}^{S}\left( q_{1}\right) >MR_{1}^{C}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}を得ます。

先導者である企業\(1\)の限界収入は、クールノー競争の場合と比べて、シュタッケルベルグ競争においてより高くなることが明らかになりました。企業\(1\)の利潤は限界収入と限界費用が一致するような生産量において最大化されるため、この場合には、\begin{equation*}q_{1}^{S}>q_{1}^{C}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、企業\(1\)の供給量はシュタッケルベルグ均衡においてより多くなります。

企業\(2\)の最適反応関数\(b_{2}\)は相手の供給量\(q_{1}\)に関する減少関数であるため、この場合には、\begin{equation*}q_{2}^{S}<q_{2}^{C}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、企業\(2\)の共有量はクールノー均衡においてより多くなります。

クールノー均衡からシュタッケルベルグ均衡へ移行すると企業\(1\)の供給量は増加する一方で企業\(2\)の供給量は減少することが明らかになりました。\(\left( 3\right) \)より、企業\(1\)の供給量が\(1\)単位増加した場合、それに対する企業\(2\)の供給量の減少量は\(1\)未満であるため、この場合には、総供給量について、\begin{equation*}q^{S}>q^{C}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、総供給量はシュタッケルベルグ均衡においてより多くなります。したがって、均衡価格について、\begin{equation*}
p^{S}<p^{C}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、市場均衡価格はクールノー均衡においてより高くなります。以上の結果は先の表の数値と整合的です。

先発者によるコミットメントの重要性

シュタッケルベルグ競争では先導者が先に自身の供給量を決定し、それを観察した追随者が自身の供給量を決定する状況を想定しています。先導者が自身が決めた数量をそのままきちんと供給する場合、先導者はその供給量にコミットしている（commited）と言います。先導者が自身の供給量にコミットするという前提条件は、シュタッケルベルグ競争の分析結果の有効性を担保する上で重要な役割を果たします。逆に言うと、先導者が自身の供給量にコミットしない場合、先の分析通りには事が運びません。具体的には以下の通りです。

先導者が追随者に対して自身の供給量をアナウンスする状況を想定します。ただし、これは口約束に過ぎず、先導者がアナウンス通りに生産するかどうかを追随者は確信できないものとします。つまり、追随者が供給量を決定し、引き返せない状況になった後で先導者が前言を翻して自身の供給量を変更するような事態が起こり得る状況を想定するということです。

シュタッケルベルグ均衡の均衡結果\begin{equation*}
\left( q_{1}^{S},q_{2}^{S}\right) =\left( \frac{a-c}{2b},\frac{a-c}{4b}\right)
\end{equation*}を構成する追随者の均衡数量\(q_{2}^{S}\)を所与とした場合の先導者の利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{q_{1}}\ p\left( q_{1}+q_{2}^{S}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{1}\right)
\end{equation*}を解くと、先導者の最適反応関数\(b_{1}\)が\(q_{2}^{S}\)に対して定める数量\begin{equation*}b_{1}\left( q_{2}^{S}\right) =\frac{3\left( a-c\right) }{8b}
\end{equation*}が得られますが、これはシュタッケルベルグ均衡を構成する数量\(q_{1}^{S}\)とは異なります。したがって、先導者が供給量にコミットせず、事後的に供給量を変更できる場合には、先導者は\(q_{1}^{S}\)を選択しないことになります。

追随者が先導者による以上の動きを見越している場合、追随者は相手があらかじめアナウンスする数量を信用せず、相手が最適反応関数\(b_{1}\)にもとづいて行動するものと予想することになります。追随者もそれに対して自身の最適反応関数\(b_{2}\)にもとづいて行動するため、結局、この場合にはクールノー競争が行われることになります。ただし、先に明らかにしたように、先導者にとって、クールノー競争がもたらす結果はシュタッケルベルグがもたらす結果よりも望ましくありません。

以上より、先導者が自身の生産量を事後的に変更する可能性を相手にちらつかせると、それはかえって自身にとって望ましくない結果、すなわちクールノー均衡をもたらすことが明らかになりました。言い換えると、先導者にとってより望ましい結果、すなわちシュタッケルベルグ均衡を実現するためには、先導者は自身の供給量にコミットする必要があり、なおかつそのことを追随者に知らしめる必要があるということです。

演習問題