信憑性のない脅しを信憑性のある脅しへ転化する動機
問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであるとともに、それが展開型ゲーム\begin{equation*}
\Gamma =\left( I\cup \left\{ 0\right\} ,A,X,>,a,\mathcal{H},i,p,\left\{
u_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\cup \left\{ 0\right\} \)は自然に相当するプレイヤー\(0\)を含めたプレイヤー集合、\(A\)は行動集合、\(\left( X,>\right) \)はゲームの木、\(a:X\backslash \left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A\)はそれぞれの手番へ到達する直前に選択される行動を特定する写像、\(\mathcal{H}\)は情報分割、\(i:\mathcal{H}\rightarrow I\cup \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像、\(p:\mathcal{H}_{0}\times A\rightarrow \left[0,1\right] \)は自然による意思決定を記述する確率分布、\(u_{i}:Z\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
展開型ゲーム\(\Gamma \)におけるプレイヤー\(i\)の純粋戦略とは、ゲームにおいて彼が直面し得るそれぞれの情報集合\(H\in \mathcal{H}_{i}\)に対して、そこで彼が選択する行動\(s_{i}\left( H\right) \in A_{i}\)を1つずつ指定する写像\begin{equation*}s_{i}:\mathcal{H}_{i}\rightarrow A_{i}
\end{equation*}として定式化されます。展開型ゲーム\(\Gamma \)においてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する場合に直面する戦略的状況は\(\Gamma \)の戦略型\begin{equation*}G\left( \Gamma \right) =\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{
U_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合、\(U_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。同様の想定のもと、部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)という\(\Gamma \)の局所的な局面においてプレイヤーたちが直面する戦略的状況は\(\Gamma \left( x\right) \)の戦略型\begin{equation*}G\left( \Gamma \left( x\right) \right) =\left( I,\left\{ S_{i}^{x}\right\}
_{i\in I},\left\{ U_{i}^{x}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}^{x}\)はプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)の部分ゲーム\(\Gamma\left( x\right) \)への制限、\(U_{i}^{x}:S_{I}^{x}:\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数\(U_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)の部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)への制限です。
展開型ゲーム\(\Gamma \)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)に対する広義の最適反応であることとは、\(\Gamma \)の戦略型\(G\left( \Gamma \right) \)において、\begin{equation*}\forall s_{i}\in S_{i}:U_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right) \geq
U_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right)_{i\in I}\)が展開型ゲーム\(\Gamma \)における広義の純粋戦略ナッシュ均衡であることとは、それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}^{\ast }\)に対する広義の最適反応になっていること、すなわち、\(\Gamma \)の戦略型\(G\left( \Gamma \right) \)において、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall s_{i}\in S_{i}:U_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}^{\ast }\right) \geq U_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成立していることを意味します。
展開型ゲーム\(\Gamma \)におけるプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}^{\ast }\)が広義の純粋戦略部分ゲーム完全均衡であることとは、\(\Gamma \)の部分ゲーム\(\Gamma \left(x\right) \)を任意に選んだとき、\(s_{I}^{\ast }\)の\(\Gamma \left( x\right) \)への制限\(s_{I}^{\ast x}\in S_{I}^{\ast x}\)が\(\Gamma\left( x\right) \)における広義の純粋戦略ナッシュ均衡になっていること、すなわち、\(\Gamma \)の任意の部分ゲーム\(\Gamma \left(x\right) \)の戦略型\(G\left( \Gamma \left( x\right)\right) \)において、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall s_{i}^{x}\in S_{i}^{x}:U_{i}^{x}\left( s_{i}^{\ast
x},s_{-i}^{\ast x}\right) \geq U_{i}^{x}\left( s_{i}^{x},s_{-i}^{\ast
x}\right)
\end{equation*}が成立していることを意味します。
展開型ゲームにおける均衡概念として純粋戦略ナッシュ均衡を採用する場合、信憑性のない脅しを均衡戦略として含む均衡を排除できるとは限りません。信憑性のない脅しは非現実的であるため、信憑性のない脅しを均衡戦略として含む均衡もまた非現実的です。一方、展開型ゲームにおける均衡概念として純粋戦略部分ゲーム完全均衡を採用すれば、信憑性のない脅しを含む純粋戦略の組は均衡として判定されません。
ただし、プレイヤ\(1\)は新規企業であり、プレイヤー\(2\)は既存企業です。プレイヤーは自身が直面する利得と利潤を同一視するものとみなします。プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{参入する}\right) \right\}
\end{eqnarray*}であり、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( \text{対抗する}\right) ,\left(
\text{対抗しない}\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。この展開型ゲーム\(\Gamma \)の戦略型\(G\left( \Gamma\right) \)は以下の利得行列によって表現されます。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & \left( \text{対抗する}\right) & \left( \text{対抗しない}\right) \\ \hline
\left( \text{参入しない}\right) & 0^{\ast },10^{\ast } & 0,10^{\ast } \\ \hline
\left( \text{参入する}\right) & -1,3 & 3^{\ast },5^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
上の表ではプレイヤーが広義の最適反応を選択した場合に直面する期待利得に印\(\ast \)をつけています。表から明らかであるように、\begin{eqnarray*}&&\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \\
&&\left( \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{対抗する}\right) \right)
\end{eqnarray*}はともに広義の最適反応からなる組であるため、これらは\(\Gamma \)における純粋戦略ナッシュ均衡です。一方の均衡\begin{equation*}\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right)
\end{equation*}はナッシュ均衡の定義を形式的に満たしているだけではなく、実態としても、これは真実味のある均衡です。この均衡が想定している状況とは、既存企業が新規企業に対して「参入してきても対抗はしないよ」と宣言し、新規企業がその宣言を真に受けて「参入する」というものです。実際、新規企業は、自身が参入する場合に相手が対抗してこないことを確信できます。なぜなら、そうすることが既存企業にとっても最善の選択だからです。同じことをテクニカルに表現すると、ナッシュ均衡\(\left( 1\right) \)の部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)への制限は、\begin{equation*}\left( \text{対抗しない}\right)
\end{equation*}であり、これは部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡であるため、新規企業は既存企業の宣言を真に受ける根拠があり、したがって、\(\left( 1\right) \)は実態としても真実味のある均衡です。他に部分ゲームは存在しないため、以上の事実は、この均衡は\(\Gamma \)における純粋戦略部分ゲーム完全均衡でもあることを意味します。もう一方の均衡\begin{equation*}\left( \left( \text{参入しない}\right) ,\left(
\text{対抗する}\right) \right)
\end{equation*}はナッシュ均衡の定義を形式的に満たしている一方で、実態としては、これは真実味のない均衡です。このナッシュ均衡が想定している状況とは、既存企業が新規企業に対して「参入してくるなら対抗するぞ」と脅しをかけ、新規企業がその脅しを真に受けて「参入しない」というものです。ただ、新規企業は、相手のそのような脅しを真に受ける合理的な理由はありません。なぜなら、新規企業が実際に参入する場合には既存企業にとって対抗しないことが最適反応であるため、その場合に既存企業が対抗してくるはずがないからです。同じことをテクニカルに表現すると、ナッシュ均衡\(\left( 2\right) \)の部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)への制限は、\begin{equation*}\left( \text{対抗する}\right)
\end{equation*}であり、これは部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡ではないため、新規企業は既存企業の脅しを真に受ける根拠がなく、したがって、\(\left( 2\right) \)は実態としても真実味のない均衡です。このような意味において、既存企業による「相手が参入してくる場合には対抗する」という純粋戦略は信憑性のない脅しです。また、このような部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)が存在することは、この均衡が\(\Gamma \)における純粋戦略部分ゲーム完全均衡ではないことを意味します。
上の例における純粋戦略部分ゲーム完全均衡は、\begin{equation}
\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、この場合の均衡経路は\(x_{0}\rightarrow x_{1}\rightarrow z_{3}\)であり、均衡において既存企業が得る利得は、\begin{equation*}u_{2}\left( z_{3}\right) =5
\end{equation*}です。一方、信憑性のない脅しである「対抗する」を均衡戦略として含む純粋戦略ナッシュ均衡は、\begin{equation}
\left( \left( \text{参入しない}\right) ,\left(
\text{対抗する}\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、この場合の均衡経路は\(x_{0}\rightarrow z_{1}\)となり、均衡において既存企業が得る利得は、\begin{equation*}u_{2}\left( z_{1}\right) =10
\end{equation*}です。つまり、既存企業にとっては\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)よりも望ましい均衡ですが、既存企業による「相手が参入してくる場合には対抗する」という純粋戦略は信憑性のない脅しであり、したがって新規企業はそのような脅しを真に受ける合理的な理由はありません。つまり、信憑性のない脅しは参入阻止効果を持たないため、新規企業は市場へ参入してきます。その結果、既存企業にとって最善の均衡である\(\left( 2\right) \)は実現せず、次善の均衡である\(\left( 1\right) \)が実現します。
既存企業が自身にとって望ましい結果を実現するためには、「参入してくる場合には対抗するぞ」という純粋戦略に説得力を持たせる必要があります。つまり、信憑性のない脅しを信憑性のある脅し（credible threat）へ転化する必要があるということです。「参入してくる場合には対抗するぞ」という脅しを相手が真に受けるに足るだけの合理的な根拠を与えることに成功すれば、新規企業は参入をためらい、その結果、既存企業は独占を維持できます。では、そのようなことは可能なのでしょうか。それを可能にし得る手段の1つがコミットメント（commitment）です。順番に解説します。
コミットメント問題とコミットメントデバイス
一般に、コミットメントとは、「固い決意や責任に裏付けられた約束」に相当する概念ですが、ゲーム理論において「コミットメント」と言うとき、それは単なる約束の意味に留まりません。
プレイヤーが特定の行動を選択することを他のプレイヤーに信じさせようとしている状況を想定します。多くの場合、単なる口約束では、相手はその約束を信じてくれません。そこで、プレイヤーは何らかの形で自身の選択肢を意図的に狭めることにより、約束以外の行動を選択できない状況や、もしくは約束を破った場合に自身がより不利になる状況を意図的に作り出し、約束に信憑性を持たせようとします。この場合、プレイヤーは約束した行動にコミットしている（committed）と言います。
信憑性のない脅しであるような戦略は、そのままでは相手に信じてもらえません。そこで、自身の選択肢をあえて狭めることによりその戦略にコミットすることでゲームの利得構造を変化させ、信憑性のない脅しを信憑性のある脅しへ転化することに成功すれば、結果として、自身にとってより望ましい結果を導くことができます。したがって、どのような形で自身を約束にコミットするかが重要になります。このような問題をコミットメント問題（commitment problems）と呼びます。また、コミットメントを実現するためにプレイヤーが採用する仕組みや工夫をコミットメントデバイス（commitment device）と呼びます。
ただし、プレイヤ\(1\)は新規企業であり、プレイヤー\(2\)は既存企業です。それぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) =\left\{ \left( \text{参入しない}\right) ,\left( \text{参入する}\right) \right\} \\
S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) =\left\{ \left( \text{対抗する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。先に示したように、以下の純粋戦略の組\begin{eqnarray}
&&\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \quad \cdots (1) \\
&&\left( \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{対抗する}\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}はともに\(\Gamma \)における純粋戦略ナッシュ均衡です。既存企業にとって\(\left( 1\right) \)よりも\(\left(2\right) \)のほうが望ましい均衡ですが、「対抗する」は信憑性のない脅しであるため参入阻止効果を持たず、新規企業は市場へ参入してきます。したがって、このままでは\(\left( 2\right) \)ではなく\(\left(1\right) \)が実現してしまいます。\(\left( 2\right) \)を実現させるためには、信憑性のない脅しである「対抗する」を信憑性のある脅しへ転化する必要があります。つまり、部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡が、\begin{equation*}\left( \text{対抗する}\right)
\end{equation*}になるように利得構造を変更し、そのことを新規企業に認識させる必要があります。そこで、既存企業は以下の形で「対抗する」にコミットします。新規企業が市場への参入を検討していることを察知した既存企業は、参入してきてもチャンスがないことを相手に知らしめるために対抗措置として生産設備を増強し、その旨を公表します。投資費用は回収不可能です。さて、新規企業が参入してくる場合、既存企業にとって、増強した生産設備は相手と戦う上で有用です。一方、相手が参入してこない場合や、相手が参入してきても対抗しない場合には、増強した生産設備は遊休化してしまうため、投資費用はそのまま損失になってしまいます。したがって、投資費用が\(3\)である場合、ゲーム\(\Gamma \)は以下の形へ改変されます。
投資費用は回収不可能であるため、既存企業は退路を断っており、したがって新規企業もまたゲーム\(\Gamma \)が上の形へ変化したことを認識します。新たなゲームの部分ゲーム\(\Gamma \left(x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡は、\begin{equation*}\left( \text{対抗する}\right)
\end{equation*}であるため、既存企業は「生産設備の増強」というコミットメントデバイスを通じて「対抗する」ことにコミットすることにより、信憑性のない脅しを信憑性のある脅しへ転化することに成功します。新たなゲームにおける純粋戦略部分ゲーム完全均衡は、\begin{equation*}
\left( \left( \text{参入しない}\right) ,\left(
\text{対抗する}\right) \right)
\end{equation*}であるため（確認してください）、既存企業はコミットメントを通じて自身にとって最も望ましい結果を実現することに成功します。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】