展開型ゲームに混合戦略ナッシュ均衡が存在するための条件

展開型ゲームに混合戦略ナッシュ均衡が存在するための条件

問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであり、それが展開型ゲーム\(\Gamma \)として表現されているものとします。一般に、展開型ゲーム\(\Gamma \)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限りませんが、\(\Gamma \)が有限な完全情報ゲームである場合には、\(\Gamma \)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在することはすでに示した通りです。純粋戦略は特別な混合戦略であり、純粋戦略ナッシュ均衡は混合戦略ナッシュ均衡であるため、先の事実は、\(\Gamma \)が有限な完全情報ゲームである場合には、\(\Gamma \)には広義の混合戦略ナッシュ均衡が存在することを同時に意味します。

実は、展開型ゲーム\(\Gamma \)が完全情報ゲームであるとは限らない有限ゲームである場合にも、\(\Gamma \)には広義の混合戦略ナッシュ均衡が存在することを保証できます。なぜなら、展開型ゲーム\(\Gamma \)が完全情報ゲームでない場合でも、それが有限ゲームであれば戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)が有限ゲームになるため、ナッシュの定理より、その混合拡張\(G^{\ast }\left( \Gamma \right) \)に混合戦略ナッシュ均衡が存在することが保証されるからです。