展開型ゲームにおける混合戦略

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。

プレイヤー\(1\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{1}=\left\{ \left\{ x_{0}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) \\
&=&\left\{ a_{11},a_{12}\right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(a_{11}\)は「情報集合\(\left\{x_{0}\right\} \)において行動\(a_{11}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(a_{12}\)は「情報集合\(\left\{ x_{0}\right\} \)において行動\(a_{12}\)を選ぶ」という純粋戦略です。したがって、プレイヤー\(1\)の混合戦略とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall j\in \left\{ 1,2\right\} :\sigma _{1}\left(
a_{1j}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sigma _{1}\left( a_{11}\right) +\sigma _{1}\left(
a_{12}\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす確率関数\(\sigma_{1}:S_{1}\rightarrow \mathbb{R} \)として定義されます。ただし、\(\sigma _{1}\left( s_{1j}\right) \)はプレイヤー\(1\)が混合戦略\(\sigma _{1}\)のもとで純粋戦略\(s_{1j}\)を選ぶ確率です。例えば、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( a_{11}\right) ,\sigma _{1}\left(
a_{12}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}のもとでは、2つの純粋戦略は等しい確率で選ばれます。また、以下の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( a_{11}\right) ,\sigma _{1}\left(
a_{12}\right) \right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}のもとでは純粋戦略\(a_{11}\)が確率\(1\)で選ばれるため、これは純粋戦略\(a_{11}\)と実質的に同じです。また、例えば、\begin{equation*}\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( a_{11}\right) ,\sigma _{1}\left(
a_{12}\right) \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}と定義される\(\sigma _{1}\)は条件\(\left( b\right) \)を満たしていないため、これは混合戦略ではありません。一方、プレイヤー\(2\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{2}=\left\{ \left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\}
\right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) \times A\left( \left\{
x_{2}\right\} \right) \\
&=&\left\{ a_{21},a_{22}\right\} \times \left\{ a_{21},a_{22}\right\} \\
&=&\left\{ \left( a_{21},a_{21}\right) ,\left( a_{21},a_{22}\right) ,\left(
a_{22},a_{21}\right) ,\left( a_{22},a_{22}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( a_{21},a_{21}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選び、情報集合\(\left\{ x_{2}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選ぶ」という純粋戦略です。他についても同様に考えます。したがって、プレイヤー\(2\)の混合戦略とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall j,k\in \left\{ 1,2\right\} :\sigma _{2}\left(
\left( a_{2j},a_{2k}\right) \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sigma _{2}\left( \left( a_{21},a_{21}\right) \right)
+\sigma _{2}\left( \left( a_{21},a_{22}\right) \right) +\sigma _{2}\left(
\left( a_{22},a_{21}\right) \right) +\sigma _{2}\left( \left(
a_{22},a_{22}\right) \right) =1
\end{eqnarray*}を満たす確率関数\(\sigma_{2}:S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として定義されます。ただし、\(\sigma _{2}\left( \left(a_{2j},a_{2k}\right) \right) \)はプレイヤー\(2\)が混合戦略\(\sigma _{2}\)のもとで純粋戦略\(\left(a_{2j},a_{2k}\right) \)を選ぶ確率です。

プレイヤー\(i\)が2個の純粋戦略を持つ場合、すなわち純粋戦略集合が、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ s_{i1},s_{i2}\right\}
\end{equation*}である場合の混合戦略集合\(\Delta \left( S_{i}\right) \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) \leq 1 \\
&&\left( b\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i2}\right) \leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) +\sigma _{i}\left(
s_{i2}\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす2次元ベクトル\begin{equation*}
\left( \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) ,\sigma _{i}\left( s_{i2}\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}からなる集合です。これは下図において実線で描かれた線分として表現されます。ただし、端点を含みます。言い換えると、この線分上にある点はそれぞれ異なる混合戦略に対応しています。一般に、このような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を\(\mathbf{1}\)次元の基本単体（standard \(1\)simplex）と呼びます。2つの純粋戦略を持つプレイヤーの混合戦略集合は1次元の基本単体であるということです。

プレイヤー\(i\)が3個の純粋戦略を持つ場合、すなわち純粋戦略集合が、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ s_{i1},s_{i2},s_{i3}\right\}
\end{equation*}である場合の混合戦略集合\(\Delta \left( S_{i}\right) \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) \leq 1 \\
&&\left( b\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i2}\right) \leq 1 \\
&&\left( c\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i3}\right) \leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) +\sigma _{i}\left(
s_{i2}\right) +\sigma _{i}\left( s_{i3}\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす3次元ベクトル\begin{equation*}
\left( \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) ,\sigma _{i}\left( s_{i2}\right)
,\sigma _{i}\left( s_{i3}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}からなる集合です。これは下図においてグレーで描かれた領域として表現されます。ただし、境界を含みます。言い換えると、この領域上にある点はそれぞれ異なる混合戦略に対応しています。一般に、このような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合を\(\mathbf{2}\)次元の基本単体（standard \(2\)simplex）と呼びます。3つの純粋戦略を持つプレイヤーの混合戦略集合は2次元の基本単体であるということです。

2人のプレイヤー\(1,2\)が\(500\)円硬貨を1枚ずつ持っています。まず、プレイヤー\(1\)は相手に見られないようにしながら、表か裏のどちらか一方の面を上にして自分の硬貨を置きます。続いて、プレイヤー\(2\)もまた表か裏のどちらか一方の面を上にして自分の硬貨を置きます。結果を観察し、2枚の硬貨の面が一致する場合にはプレイヤー\(1\)が硬貨を2枚とも得られる一方で、2枚の硬貨の面が異なる場合にはプレイヤー\(2\)が硬貨を2枚とも得られます。プレイヤーが得る金額を利得とみなします。以上の状況は以下のような展開型ゲームとして表現されます。

以下の問いに答えてください。

1. このゲームにおけるそれぞれのプレイヤーの純粋戦略集合を特定してください。
2. プレイヤー\(1\)はすべての純粋戦略を等しい確率で選ぼうと考えています。これを混合戦略として定式化してください。
3. プレイヤー\(1\)が上述の混合戦略を採用するとき、プレイヤー\(2\)のそれぞれの純粋戦略がプレイヤー\(2\)にもたらす利得の期待値を求めてください。
4. プレイヤー\(2\)もまた表と裏を等しい確率で選ぼうと考えています。これを混合戦略として定式化してください。
5. プレイヤー\(1,2\)が上述の混合戦略を採用するとき、両者が直面する利得の期待値を求めてください。

2人の子供\(1,2\)がプレイヤーです。目の前に2枚のクッキーがあります。まず、子供\(1\)は以下の3つの選択肢の中から1つを相手に提案します。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{自分が2枚のクッキーを独り占めする} \\
&&\left( b\right) \ \text{2人でクッキーを1枚ずつ分ける} \\
&&\left( c\right) \ \text{相手にクッキーを2枚ともあげる}
\end{eqnarray*}続いて、子供\(2\)が提案を受け入れるかどうか決定します。子供\(2\)が相手の提案を受け入れる場合には、提案通りにクッキーを2人でわけます。子供\(2\)が相手の提案を受け入れない場合には、2人ともクッキーをもらえません。自分が得るクッキーの枚数を利得とみなします。以上の状況は以下のような展開型ゲームとして表現されます。

ただし、\begin{eqnarray*}
a_{11} &=&\text{自分が2枚のクッキーを独り占めする。} \\
a_{12} &=&\text{2人でクッキーを1枚ずつ分ける} \\
a_{13} &=&\text{相手にクッキーを2枚ともあげる} \\
a_{21} &=&\text{相手からの提案を受け入れる} \\
a_{22} &=&\text{相手からの提案を受け入れない}
\end{eqnarray*}です。以下の問いに答えてください。

1. このゲームにおけるそれぞれのプレイヤーの純粋戦略集合を特定してください。
2. プレイヤー\(1\)はすべての純粋戦略を等しい確率で選ぼうと考えています。これを混合戦略として定式化してください。
3. プレイヤー\(1\)が上述の混合戦略を採用する一方で、プレイヤー\(2\)が常に相手からの提案を受け入れる場合、それがプレイヤー\(2\)にもたらす利得の期待値を求めてください。