展開型ゲームの縮約ゲーム
問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであり、それが展開型ゲーム\begin{equation*}
\Gamma =\left( I\cup \left\{ 0\right\} ,X,>,A,a,\mathcal{H},i,p,\left\{
u_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\cup \left\{ 0\right\} \)は自然を含めたプレイヤー集合、\(\left( X,>\right) \)はゲームの木、\(A\)は行動集合、\(a:X\backslash \left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A\)はそれぞれのノードへ到達する直前に選択される行動を特定する写像、\(\mathcal{H}\)は情報分割、\(i:\mathcal{H}\rightarrow I\cup \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像、\(p:\mathcal{H}_{0}\times A\rightarrow \left[0,1\right] \)は自然による意思決定を記述する確率分布、\(u_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の利得関数です。
展開型ゲーム\(\Gamma \)の部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)を任意に選びます。部分ゲームもまた展開ゲームであるため、そこでのプレイヤーの意思決定を純粋戦略や混合戦略、または行動戦略などとして表現できます。そこで、部分ゲーム\(\Gamma \left(x\right) \)におけるプレイヤー\(i\)の混合戦略集合を\(\Delta \left( S_{i}^{x}\right) \)で、行動戦略集合を\(B_{i}^{x}\)で表記するのであれば、部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)においてプレイヤー\(i\)が選び得るすべての戦略からなる集合を、\begin{equation*}\Sigma _{i}^{x}=\Delta \left( S_{i}^{x}\right) \cup B_{i}^{x}
\end{equation*}と表現できます。純粋戦略は特別な混合戦略であるため、\(\Sigma_{i}^{x}\)の中にはプレイヤー\(i\)が部分ゲーム\(\Gamma \left(x\right) \)において選び得るすべての純粋戦略もまた含まれていることに注意してください。
部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)においてプレイヤーたちが選択する戦略\(\gamma_{I}^{x}\in \Sigma _{i}^{x}\)を指定すれば、部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)においてそれぞれのプレイヤーが直面する期待利得を算出できるため、もとのゲーム\(\Gamma \)において部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)を1つの頂点とみなし、その頂点においてそれぞれのプレイヤーが得る利得として先の期待利得を採用すれば、もとのゲーム\(\Gamma \)を簡略化した新たな展開型ゲームが得られます。このようにして得られる展開型ゲームを\(\Gamma \left( x\right) \)と\(\gamma _{I}^{x}\)のもとでの\(\Gamma \)の縮約ゲーム(truncated game)と呼び、これを、\begin{equation*}\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) =\left( I^{x|\gamma _{I}^{x}}\cup
\left\{ 0\right\} ,X^{x|\gamma _{I}^{x}},>^{x|\gamma _{I}^{x}},A^{x|\gamma
_{I}^{x}},a^{x|\gamma _{I}^{x}},\mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}},i^{x|\gamma
_{I}^{x}},p^{x|\gamma _{I}^{x}},\left\{ u_{i}^{x|\gamma _{I}^{x}}\right\}
_{i\in I^{x}}\right)
\end{equation*}で表記します。展開型ゲーム\(\Gamma \)の縮約ゲームがどのようなものになるかは、部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)の選び方と、その部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)においてプレイヤーたちが選択する戦略\(\gamma _{I}^{x}\)の選び方の双方に依存します。
手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)において、プレイヤーたちが選ぶ純粋戦略からなる組\(s_{I}^{x_{1}}=\left(s_{1}^{x_{1}},s_{2}^{x_{1}}\right) \)が、\begin{eqnarray*}s_{1}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) &=&a_{11} \\
s_{2}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) &=&a_{21}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の想定のもとでは、部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)において確率\(1\)で頂点\(z_{1}\)へ到達するため、それぞれのプレイヤーが直面する期待利得は、\begin{eqnarray*}U_{1}^{x_{1}}\left( s_{I}^{x_{1}}\right) &=&2 \\
U_{2}^{x_{1}}\left( s_{I}^{x_{1}}\right) &=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)と\(s_{I}^{x_{1}}\)のもとでの\(\Gamma \)の縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)は以下のゲームの木で表される展開型ゲームとなります。
以下では縮約ゲームを厳密に定義します。
縮約ゲームのプレイヤー
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)のプレイヤー集合\(I^{x|\gamma _{I}^{x}}\)は、部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)やそこで採用される戦略\(\gamma _{I}^{x}\)の選び方とは関係なく、もとのゲーム\(\Gamma \)のプレイヤー集合\(I\)と一致するものと定めます。つまり、\begin{equation*}I^{x|\gamma _{I}^{x}}=I
\end{equation*}であるということです。したがって、自然がプレイヤーに含まれる場合のプレイヤー集合は、\begin{equation*}
I^{x|\gamma _{I}^{x}}\cup \left\{ 0\right\} =I\cup \left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。このような事情を踏まえた上で、\(I^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を\(I\)と表記してもよいものと定めます。
部分ゲームにおける意思決定の順番(ゲームの木)
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)のゲームの木\(\left(X^{x|\gamma _{I}^{x}},>^{x|\gamma _{I}^{x}}\right) \)を以下のように定めます。
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)のノード集合\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\)は、もとのゲーム\(\Gamma \)のノード集合から、問題としている部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)の初期点\(x\)以外のすべてのノードを除くことで得られる集合と定めます。つまり、\begin{equation*}X^{x|\gamma _{I}^{x}}=\left( X\backslash X^{x}\right) \cup \left\{ x\right\}
\end{equation*}であるということです。縮約ゲーム\(\Gamma \left(x|\gamma _{I}^{x}\right) \)では部分ゲーム\(\Gamma \left( x\right) \)の初期点を頂点とみなします。したがって、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)の頂点集合は、\begin{equation*}Z^{x|\gamma _{I}^{x}}=\left( Z\cap X^{x|\gamma _{I}^{x}}\right) \cup \left\{
x\right\}
\end{equation*}となります。
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)のノード集合\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\)上に定義された前後関係\(>^{x|\gamma _{I}^{x}}\)は、もとのゲーム\(\Gamma \)におけるノード集合\(X\)上の前後関係\(>\)を\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\)上に縮小したものと定めます。つまり、任意のノード\(x^{\prime },x^{\prime\prime }\in X^{x|\gamma _{I}^{x}}\)に対して、\begin{equation*}x^{\prime }>^{x|\gamma _{I}^{x}}x^{\prime \prime }\Leftrightarrow x^{\prime
}>x^{\prime \prime }
\end{equation*}を満たすものとして\(>^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を定義するということです。このような事情を踏まえた上で、\(>^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を\(>\)と表記してもよいものと定めます。
繰り返しになりますが、手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)において、プレイヤーたちが選ぶ純粋戦略からなる組\(s_{I}^{x_{1}}=\left( s_{1}^{x_{1}},s_{2}^{x_{1}}\right) \)が、\begin{eqnarray*}s_{1}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) &=&a_{11} \\
s_{2}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) &=&a_{21}
\end{eqnarray*}を満たす場合、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)は以下のゲームの木で表される展開型ゲームとなります。
この縮約ゲーム\(\Gamma \left(x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)のノード集合と頂点集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}} &=&\left\{
x_{0},x_{1},x_{5},x_{6},z_{5},z_{6},z_{7},z_{8}\right\} \\
Z^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}} &=&\left\{ x_{1},z_{5},z_{6},z_{7},z_{8}\right\}
\end{eqnarray*}となります。縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)の前後関係\(>^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\)は、上図においてノードどうしを結ぶ有向線分(上から下へ伸びているものとみなす)として表現されています。
縮約ゲームにおける行動
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)の行動集合\(A^{x|\gamma_{I}^{x}}\)は、部分ゲーム\(\Gamma\left( x\right) \)やそこで採用される戦略\(\gamma _{I}^{x}\)の選び方とは関係なく、もとのゲーム\(\Gamma \)の行動集合\(A\)と一致するものと定めます。つまり、\begin{equation*}A^{x|\gamma _{I}^{x}}=A
\end{equation*}であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(A^{x|\gamma_{I}^{x}}\)を\(A\)と表記してもよいものと定めます。
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)においてそれぞれのノードへ到達する直前に選択される行動を特定する写像\(a^{x|\gamma _{I}^{x}}:X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash \left\{ x_{0}\right\}\rightarrow A^{x|\gamma _{I}^{x}}\)は、もとのゲーム\(\Gamma \)においてそれぞれのノードへ到達する直前に選択される行動を特定する\(a:X\backslash \left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A\)の定義域を\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash \left\{ x_{0}\right\} \)上に縮小したものと定めます。つまり、任意のノード\(x^{\prime }\in X^{x|\gamma_{I}^{x}}\backslash \left\{ x_{0}\right\} \)に対して、\begin{equation*}a^{x|\gamma _{I}^{x}}\left( x^{\prime }\right) =a\left( x^{\prime }\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(a^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を定義するということです。このような事情を踏まえた上で、\(a^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を\(a\)と表記してもよいものと定めます。
繰り返しになりますが、手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)において、プレイヤーたちが選ぶ純粋戦略からなる組\(s_{I}^{x_{1}}=\left( s_{1}^{x_{1}},s_{2}^{x_{1}}\right) \)が、\begin{eqnarray*}s_{1}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) &=&a_{11} \\
s_{2}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) &=&a_{21}
\end{eqnarray*}を満たす場合、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)は以下のゲームの木で表される展開型ゲームとなります。
写像\(a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}:X^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\backslash\left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\)は、\begin{eqnarray*}a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{1}\right) &=&a_{01} \\
a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{2}\right) &=&a_{02} \\
a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{5}\right) &=&a_{13} \\
a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{6}\right) &=&a_{14} \\
a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( z_{5}\right) &=&a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left(
z_{7}\right) =a_{23} \\
a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( z_{6}\right) &=&a^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left(
z_{8}\right) =a_{24}
\end{eqnarray*}を満たします。
縮約ゲームにおける情報(情報集合)
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)の手番集合は\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash Z^{x|\gamma _{I}^{x}}\)であるため、もとのゲーム\(\Gamma \)の情報集合\(H\in \mathcal{H}\)を任意に選んだとき、この情報集合\(H\)に含まれる手番の中でも縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)の手番でもあるようなものからなる集合を\(H^{x|\gamma _{I}^{x}}\)と表記するのであれば、これは、\begin{equation*}H^{x|\gamma _{I}^{x}}=H\cap \left( X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash
Z^{x|\gamma _{I}^{x}}\right)
\end{equation*}となります。縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)では、もとのゲーム\(\Gamma \)における情報集合\(H\)を\(H^{x|\gamma _{I}^{x}}\)へと縮小します。したがって、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)の情報分割\(\mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}}\)は、\begin{eqnarray*}\mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}} &=&\left\{ H^{x|\gamma _{I}^{x}}\ |\ H\in
\mathcal{H}\right\} \backslash \left\{ \phi \right\} \\
&=&\left\{ H\cap \left( X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash Z^{x|\gamma
_{I}^{x}}\right) \ |\ H\in \mathcal{H}\right\} \backslash \left\{ \phi
\right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、もとのゲーム\(\Gamma \)におけるある情報集合\(H\in \mathcal{H}\)が縮約ゲーム\(\Gamma\left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)の手番集合\(X^{x|\gamma _{I}^{x}}\backslash Z^{x|\gamma _{I}^{x}}\)と交わらない可能性があるため(\(H\cap \left( X^{x|\gamma_{I}^{x}}\backslash Z^{x|\gamma _{I}^{x}}\right) =\phi \)となる可能性)、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)が空集合であるような情報集合を持つ可能性を排除するために、上の定義では情報分割\(\mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}}\)の中から空集合を除いています。
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)のそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像\(i^{x|\gamma_{I}^{x}}:\mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}}\rightarrow I^{x|\gamma
_{I}^{x}}\cup \left\{ 0\right\} \)は、もとのゲーム\(\Gamma \)においてそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像\(i:\mathcal{H}\rightarrow I\cup \left\{0\right\} \)の定義域を\(\mathcal{H}^{x|\gamma_{I}^{x}}\)上に縮小したものと定めます。つまり、任意の情報集合\(H^{x|\gamma_{I}^{x}}\in \mathcal{H}^{x|\gamma _{I}^{x}}\)に対して、\begin{equation*}i^{x|\gamma _{I}^{x}}\left( H^{x|\gamma _{I}^{x}}\right) =i\left( H\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(i^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を定義するということです。このような事情を踏まえた上で、\(i^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を\(i\)と表記してもよいものと定めます。
繰り返しになりますが、手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)において、プレイヤーたちが選ぶ純粋戦略からなる組\(s_{I}^{x_{1}}=\left( s_{1}^{x_{1}},s_{2}^{x_{1}}\right) \)が、\begin{eqnarray*}s_{1}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) &=&a_{11} \\
s_{2}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) &=&a_{21}
\end{eqnarray*}を満たす場合、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)は以下のゲームの木で表される展開型ゲームとなります。
この縮約ゲーム\(\Gamma \left(x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)の情報分割は、\begin{equation*}\mathcal{H}^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}=\left\{ \left\{ x_{0}\right\} ,\left\{
x_{2}\right\} ,\left\{ x_{5},x_{6}\right\} \right\}
\end{equation*}であり、写像\(i^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}:\mathcal{H}^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\rightarrow I\)は、\begin{eqnarray*}i^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) &=&0 \\
i^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( \left\{ x_{2}\right\} \right) &=&1 \\
i^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( \left\{ x_{5},x_{6}\right\} \right) &=&2
\end{eqnarray*}を満たします。
縮約ゲームにおける自然による行動
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)における自然による意思決定を記述する確率分布\(p^{x|\gamma _{I}^{x}}:\mathcal{H}_{0}^{x|\gamma _{I}^{x}}\times A^{x|\gamma _{I}^{x}}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は、もとのゲーム\(\Gamma \)における自然による意思決定を記述する確率分布\(p:\mathcal{H}_{0}\times A\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の定義域を\(\mathcal{H}_{0}^{x|\gamma _{I}^{x}}\times A^{x|\gamma _{I}^{x}}\)に縮小したものと定めます。つまり、自然が意思決定を行う情報集合\(H\in \mathcal{H}_{0}^{x|\gamma _{I}^{x}}\)と行動\(a\in A^{x|\gamma _{I}^{x}}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}p^{x|\gamma _{I}^{x}}\left( H,a\right) =p\left( H,a\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(p^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を定義するということです。このような事情を踏まえた上で、\(p^{x|\gamma _{I}^{x}}\)を\(p\)と表記してもよいものと定めます。
縮約ゲームにおける結果と利得
縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma_{I}^{x}\right) \)の頂点集合は、\begin{equation*}Z^{x|\gamma _{I}^{x}}=\left( Z\cap X^{x|\gamma _{I}^{x}}\right) \cup \left\{
x\right\}
\end{equation*}ですが、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)におけるプレイヤー\(i\in I^{x|\gamma _{I}^{x}}\)の利得関数\(u_{i}^{x|\gamma _{I}^{x}}:Z^{x|\gamma_{I}^{x}}\rightarrow \mathbb{R} \)は、もとのゲーム\(\Gamma \)においても頂点であったそれぞれの頂点\(z\in Z\cap X^{x|\gamma _{I}^{x}}\)に対しては、\begin{equation*}u_{i}^{x|\gamma _{I}^{x}}\left( z\right) =u_{i}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(u_{i}\)はもとのゲーム\(\Gamma \)におけるプレイヤー\(i\)の利得関数です。一方、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x|\gamma _{I}^{x}\right) \)に対して新たに頂点になった\(x\)に対しては、\begin{equation*}u_{i}^{x|\gamma _{I}^{x}}\left( z\right) =F_{i}^{x}\left( \gamma
_{I}^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(F_{i}^{x}\left( \gamma_{I}^{x}\right) \)は部分ゲーム\(\Gamma\left( x\right) \)においてプレイヤーたちが戦略の組\(\gamma _{I}^{x}\)を選んだ場合にプレイヤー\(i\)が直面する期待利得であり、具体的には、\begin{equation*}F_{i}^{x}\left( \gamma _{I}^{x}\right) =\sum_{z\in Z^{x}}\left[ P\left(
z|\gamma _{I}^{x}\right) \cdot u_{i}\left( z\right) \right]
\end{equation*}となります。
繰り返しになりますが、手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)において、プレイヤーたちが選ぶ純粋戦略からなる組\(s_{I}^{x_{1}}=\left( s_{1}^{x_{1}},s_{2}^{x_{1}}\right) \)が、\begin{eqnarray*}s_{1}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) &=&a_{11} \\
s_{2}^{x_{1}}\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) &=&a_{21}
\end{eqnarray*}を満たす場合、縮約ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)は以下のゲームの木で表される展開型ゲームとなります。
この縮約ゲーム\(\Gamma \left(x_{1}|s_{I}^{x_{1}}\right) \)におけるそれぞれのプレイヤー\(i\ \left(=1,2\right) \)の利得関数は、それぞれの頂点\(z\in \left\{z_{5},z_{6},z_{7},z_{8}\right\} \)に対して、\begin{equation*}u_{i}^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( z_{5}\right) =u_{i}\left( z\right)
\end{equation*}を定める一方で、頂点\(x_{1}\)に関しては、部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)においてプレイヤーたちが\(s_{I}^{x_{1}}\)を選ぶ場合には確率\(1\)で頂点\(z_{1}\)へ到達することから、\begin{eqnarray*}u_{1}^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{1}\right) &=&2 \\
u_{2}^{x_{1}|s_{I}^{x_{1}}}\left( x_{1}\right) &=&1
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
手番\(x_{1}\)を初期点とする部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)において部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)におけるそれぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1}^{x_{1}} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) =\left\{
a_{11},a_{12}\right\} \\
S_{2}^{x_{2}} &=&S\left( \left\{ x_{3},x_{4}\right\} \right) =\left\{
a_{21},a_{22}\right\}
\end{eqnarray*}です。部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)におけるプレイヤーたちの混合戦略からなる組は、\begin{equation*}\sigma _{I}^{x_{1}}=\left( \sigma _{1}^{x_{1}},\sigma _{2}^{x_{1}}\right)
\end{equation*}と表記されますが、これが、\begin{eqnarray*}
\sigma _{1}^{x_{1}} &=&\left( \sigma _{1}^{x_{1}}\left( a_{11}\right)
,\sigma _{1}^{x_{1}}\left( a_{12}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
\sigma _{2}^{x_{1}} &=&\left( \sigma _{2}^{x_{1}}\left( a_{21}\right)
,\sigma _{2}^{x_{1}}\left( a_{22}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)および\(\sigma _{I}^{x_{1}}\)のもとでの\(\Gamma \)の縮約ゲーム\(\Gamma \left(x_{1}|\sigma _{I}^{x_{1}}\right) \)をゲームの木として表現してください。
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