WIIS

完備情報の動学ゲーム

信憑性のない脅し(から脅し)を含む純粋戦略ナッシュ均衡

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

信憑性のない脅しを含む純粋戦略ナッシュ均衡

問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであるとともに、それが展開型ゲーム\begin{equation*}
\Gamma =\left( I\cup \left\{ 0\right\} ,A,X,>,a,\mathcal{H},i,p,\left\{
u_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\cup \left\{ 0\right\} \)は自然に相当するプレイヤー\(0\)を含めたプレイヤー集合、\(A\)は行動集合、\(\left( X,>\right) \)はゲームの木、\(a:X\backslash \left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A\)はそれぞれの手番へ到達する直前に選択される行動を特定する写像、\(\mathcal{H}\)は情報分割、\(i:\mathcal{H}\rightarrow I\cup \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像、\(p:\mathcal{H}_{0}\times A\rightarrow \left[0,1\right] \)は自然による意思決定を記述する確率分布、\(u_{i}:Z\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

展開型ゲーム\(\Gamma \)におけるプレイヤー\(i\)の純粋戦略とは、ゲームにおいて彼が直面し得るそれぞれの情報集合\(H\in \mathcal{H}_{i}\)に対して、そこで彼が選択する行動\(s_{i}\left( H\right) \in A_{i}\)を1つずつ指定する写像\begin{equation*}s_{i}:\mathcal{H}_{i}\rightarrow A_{i}
\end{equation*}として定式化されます。展開型ゲーム\(\Gamma \)においてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する状況を想定し、その戦略的状況を\(\Gamma \)の戦略型\begin{equation*}G\left( \Gamma \right) =\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{
U_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述します。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合、\(U_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。

展開型ゲーム\(\Gamma \)の戦略型\(G\left( \Gamma \right) \)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)に対する広義の最適反応であることとは、\begin{equation*}\forall s_{i}\in S_{i}:U_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right) \geq
U_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right)_{i\in I}\)が広義の純粋戦略ナッシュ均衡であることとは、それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}^{\ast }\)に対する広義の最適反応であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall s_{i}\in S_{i}:U_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}^{\ast }\right) \geq U_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

本来、展開型ゲーム\(\Gamma \)はプレイヤーたちが順番に意思決定を行う動学ゲームを記述するモデルです。ただ、プレイヤーたちが展開型ゲーム\(\Gamma \)において純粋戦略を選択することは、自身が直面し得るそれぞれの情報集合においてどの行動を選択するか、その包括的な行動計画をあらかじめ立てた上でゲームに臨むことを意味します。展開型ゲーム\(\Gamma \)の開始時点においてプレイヤーたちはそのような行動計画を表明します。ゲームの開始後には先の行動計画を変更できず、自身が先に表明した行動計画にもとづいて意思決定を行います。つまり、展開型ゲームにおいてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する状況は、プレイヤーたちが純粋戦略を同時に表明する静学ゲームと解釈できるため、そこでの戦略的状況を戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)として表現できるということです。

ただ、展開型ゲーム\(\Gamma \)はプレイヤーたちが順番に意思決定を行う動学的側面を正確に記述するモデルであるため、それを静学ゲームの分析ツールである戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)へ変換してしまうと、行動の順番を考慮しながら行われるプレイヤーの意思決定を丁寧に分析できなくなってしまう可能性があります。具体例から話を始めます。

例(参入ゲーム)
ある商品が1つの独占企業(以降では「既存企業」と呼びます)によって供給されており、その企業は利潤\(10\)を得ているものとします。別の企業(以降では「新規企業」と呼びます)がその市場への参入を検討しています。参入すれば利益を得られる可能性がありますが、参入のためには初期投資が必要であり、なおかつその費用は事後的に回収不可能であるものとします(初期投資はサンクコスト)。まず、新規企業が市場へ「参入する」か「参入しない」かのどちらか一方を選択します。既存企業は新規企業の行動を観察した上で、相手が参入してきた場合にはそれに「対抗する」か「対抗しない」かのどちらか一方を選択します。既存企業が対抗する場合には熾烈な競争が行われるため、既存企業の利潤は\(3\)へ下落します。抵抗を受けた新規企業は投資を回収できるほど十分な収入を得られず赤字になり、利潤\(-1\)を得ます。既存企業が相手の参入に対抗しない場合、既存企業の利潤は\(5\)へ下落するに留まります。新規企業も既存企業と同水準の収入を得られますが、初期投資を考慮する必要があるため、この場合の新規企業の利潤は\(3\)です。一方、新規企業が参入してこない場合には既存企業は市場を独占し続けて引き続き利潤\(10\)を確保します。新規企業が参入しない場合には投資も行わないため、この場合の新規企業の利潤は\(0\)です。以上の状況は展開型ゲーム\(\Gamma \)であり、それは以下のゲームの木として表現されます。

図:参入ゲーム
図:参入ゲーム

ただし、プレイヤー\(1\)は新規企業であり、プレイヤー\(2\)は既存企業です。プレイヤーは自身が直面する利得と利潤を同一視するものとみなします。プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{参入する}\right) \right\}
\end{eqnarray*}であり、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( \text{対抗する}\right) ,\left(
\text{対抗しない}\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。この展開型ゲーム\(\Gamma \)の戦略型\(G\left( \Gamma\right) \)は以下の利得行列によって表現されます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & \left( \text{対抗する}\right) & \left( \text{対抗しない}\right) \\ \hline
\left( \text{参入しない}\right) & 0^{\ast },10^{\ast } & 0,10^{\ast } \\ \hline
\left( \text{参入する}\right) & -1,3 & 3^{\ast },5^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

上の表ではプレイヤーが広義の最適反応を選択した場合に直面する期待利得に印\(\ast \)をつけています。表から明らかであるように、\begin{eqnarray*}&&\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \\
&&\left( \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{対抗する}\right) \right)
\end{eqnarray*}はともに広義の最適反応からなる組であるため、これらは広義の純粋戦略ナッシュ均衡です。

参入ゲームにおいてプレイヤーたちが純粋戦略を採用する状況を想定する場合、ゲームには2つの純粋戦略ナッシュ均衡が存在することが明らかになりました。まずは、以下の純粋戦略ナッシュ均衡\begin{equation}
\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。ナッシュ均衡は最適反応からなる組であるため、これは、既存企業が対抗してこないことを前提とした場合には新規企業にとって参入が最適反応であり、同時に、新規企業が参入してくることを前提とした場合には既存企業にとって対抗しないことが最適反応であることを意味します。

純粋戦略の組\(\left( 1\right) \)はナッシュ均衡の定義を形式的に満たしているだけではなく、実態としても、これは真実味のある均衡です。このナッシュ均衡が想定している状況とは、既存企業が新規企業に対して「参入してきても対抗はしないよ」と宣言し、新規企業がその宣言を真に受けて「参入する」というものです。実際、新規企業は、自身が参入する場合に相手が対抗してこないことを確信できます。なぜなら、そうすることが既存企業にとっても最善の選択だからです。同じことをテクニカルに表現すると、ナッシュ均衡\(\left( 1\right) \)の部分ゲーム\(\Gamma\left( x_{1}\right) \)への制限は、\begin{equation*}\left( \text{対抗しない}\right)
\end{equation*}であり、これは部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡であるため、新規企業は既存企業の宣言を真に受ける根拠があり、したがって、\(\left( 1\right) \)は実態としても真実味のある均衡です。

続いて、もう一方の純粋戦略ナッシュ均衡\begin{equation}
\left( \left( \text{参入しない}\right) ,\left(
\text{対抗する}\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}について考えます。ナッシュ均衡は最適反応からなる組であるため、これは、既存企業が対抗してくることを前提とした場合には新規企業にとって参入しないことが最適反応であり、同時に、新規企業が参入してこないことを前提とした場合には既存企業にとって対抗することが最適反応であることを意味します。

純粋戦略の組\(\left( 2\right) \)はナッシュ均衡の定義を形式的に満たしている一方で、実態としては、これは真実味のない均衡です。このナッシュ均衡が想定している状況とは、既存企業が新規企業に対して「参入してくるなら対抗するぞ」と脅しをかけ、新規企業がその脅しを真に受けて「参入しない」というものです。ただ、新規企業は、相手のそのような脅しを真に受ける合理的な理由はありません。なぜなら、新規企業が実際に参入する場合には既存企業にとって対抗しないことが最適反応であるため、その場合に既存企業が対抗してくるはずがないからです。同じことをテクニカルに表現すると、ナッシュ均衡\(\left( 2\right) \)の部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)への制限は、\begin{equation*}\left( \text{対抗する}\right)
\end{equation*}であり、これは部分ゲーム\(\Gamma \left( x_{1}\right) \)における純粋戦略ナッシュ均衡ではないため、新規企業は既存企業の脅しを真に受ける根拠がなく、したがって、\(\left( 2\right) \)は実態としても真実味のない均衡です。このような意味において、既存企業による「相手が参入してくる場合には対抗する」という純粋戦略は信憑性のない脅し(non-credible threat)やから脅し(empty threat)と呼ばれます。

信憑性のない脅しであるような純粋戦略は非現実的であるため、信憑性のない脅しを均衡戦略として含む均衡もまた非現実的です。ただ、先の例が示唆するように、展開型ゲームにおける均衡概念として純粋戦略ナッシュ均衡を採用する限りにおいて、信憑性のない脅しを排除できるとは限りません。展開型ゲームにおける均衡概念として、純粋戦略ナッシュ均衡には改善の余地があります。

 

純粋戦略ナッシュ均衡が信憑性のない脅しを排除できない理由

純粋戦略ナッシュ均衡はなぜ信憑性のない脅しを排除できないのでしょうか。先のゲームを再掲します。

例(参入ゲーム)
以下のゲームの木として表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。

図:参入ゲーム
図:参入ゲーム

それぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}
S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) =\left\{ \left( \text{参入しない}\right) ,\left( \text{参入する}\right) \right\} \\
S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) =\left\{ \left( \text{対抗する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right\}
\end{eqnarray*}であり、この展開型ゲーム\(\Gamma \)の戦略型\(G\left(\Gamma \right) \)は以下の利得行列によって表現されます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & \left( \text{対抗する}\right) & \left( \text{対抗しない}\right) \\ \hline
\left( \text{参入しない}\right) & 0^{\ast },10^{\ast } & 0,10^{\ast } \\ \hline
\left( \text{参入する}\right) & -1,3 & 3^{\ast },5^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

以下の純粋戦略の組\begin{eqnarray}
&&\left( \left( \text{参入する}\right) ,\left( \text{対抗しない}\right) \right) \quad \cdots (1) \\
&&\left( \left( \text{参入しない}\right)
,\left( \text{対抗する}\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}はともに広義の純粋戦略ナッシュ均衡ですが、均衡\(\left( 2\right) \)を構成する均衡戦略である「対抗する」は信憑性のない脅しです。

純粋戦略ナッシュ均衡は戦略型ゲーム\(G\left(\Gamma \right) \)における最適反応からなる組であるため、信憑性のない脅しである「対抗する」を均衡戦略として持つ均衡\begin{equation*}\left( \left( \text{参入しない}\right) ,\left(
\text{対抗する}\right) \right)
\end{equation*}を排除するためには、\(G\left( \Gamma \right) \)において「対抗する」が最適反応になり得る事態を排除する必要があります。しかし、それは不可能です。実際、新規企業が「参入しない」ことを前提とした場合、ゲームは頂点\(z_{1}\)へ到達して既存企業の利得が\(10\)になることが確定し、ゲームは情報集合\(\left\{x_{1}\right\} \)へは到達しません。到達し得ない情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において既存企業がどちらの戦略を選ぼうが意味はなく、どちらを選んだ場合でも利得は\(10\)であるため、結局、既存企業による「対抗する」と「対抗しない」の双方が相手の「参入しない」に対する最適反応になります。その結果、信憑性のない脅しである「対抗する」もまた必然的に「参入しない」の最適反応になってしまいます。

このような問題が生じるのは、展開型ゲーム\(\Gamma \)を戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)へ変換すると、ゲームのルールに関する情報が欠落してしまうからです。展開型ゲーム\(\Gamma \)はプレイヤーが順番に意思決定を行うというゲームの動学的側面を正確に記述するモデルであるため、それを戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)へ変換してしまうと、行動の順番を考慮しながら行われるプレイヤーの意思決定を丁寧に分析できなくなってしまいます。実際、展開型ゲーム\(\Gamma \)を戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma \right) \)へ変換することはできても、戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma\right) \)からもとの展開型ゲーム\(\Gamma \)を一意的に復元できるとは限りません。したがって、戦略型ゲーム\(G\left( \Gamma\right) \)にもとづいた均衡概念である純粋戦略ナッシュ均衡の中には、もとの展開型ゲーム\(\Gamma \)において非現実的な信憑性のない脅しを含む均衡が含まれてしまいます。信憑性のない脅しを排除するためには、部分ゲーム完全均衡と呼ばれる新たな均衡概念を採用する必要があります。

 

信憑性のない脅しは純粋戦略ナッシュ均衡の均衡戦略になるとは限らない

純粋戦略ナッシュ均衡の中には信憑性のない脅しであるような均衡戦略を持つものが存在し得ることが明らかになりました。その一方で、信憑性のない脅しは常に純粋戦略ナッシュ均衡の均衡戦略になるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(均衡戦略ではない信憑性のない脅し)
2人のプレイヤーが登場人物です。テーブルの上に金額\(1\)の賞金が置かれています。プレイヤー\(1\)は「賞金を全額もらう」か「保留する」かのどちらか一方を選びます。プレイヤー\(1\)が賞金を全額もらう場合にはゲームが終了します。プレイヤー\(1\)が保留する場合には、テーブルの上の賞金が\(4\)へ増額されます。その上で、プレイヤー\(2\)は「賞金を全額もらう」か「賞金を二等分する」かのどちらか一方を選び、ゲームは終了します。以上の状況は展開型ゲーム\(\Gamma \)であり、それは以下のゲームの木として表現されます。

図:展開型ゲーム
図:展開型ゲーム

ただし、行動\(a_{11}\)はプレイヤー\(1\)が「賞金を全額もらう」ことに、行動\(a_{12}\)はプレイヤー\(2\)が「保留する」ことにそれぞれ対応します。また、行動\(a_{21}\)はプレイヤー\(2\)が「賞金を全額もらう」ことに、行動\(a_{22}\)はプレイヤー\(2\)が「賞金を二等分」することにそれぞれ対応します。また、獲得賞金と利潤を同一視しています。それぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) =\left\{
a_{11},a_{12}\right\} \\
S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) =\left\{
a_{21},a_{22}\right\}
\end{eqnarray*}であり、純粋戦略ナッシュ均衡は、\begin{equation*}
\left( a_{11},a_{21}\right)
\end{equation*}だけです。その一方で、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(a_{22}\)は信憑性のない脅しです(演習問題)。

 

演習問題

問題(信憑性のない脅し)
以下のゲームの木として表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。

図:展開型ゲーム
図:展開型ゲーム

純粋戦略ナッシュ均衡を求めてください。また、信憑性のない脅しであるような純粋戦略は存在するでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録