製品差別化が行われている場合のベルトラン競争

ベルトランのパラドクスの解消

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが価格競争を行う状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして定式化しました。特に、市場の逆需要曲線（需要曲線）および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいてベルトラン競争が行われる状況を完備情報の静学ゲームとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。ただし、\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。したがって、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。

ベルトラン競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たします。これをベルトラン均衡と呼びます。

完全競争市場では市場の均衡価格は限界費用と一致するとともに均衡において社会的余剰が最大化されます。一方、独占市場や複占市場における均衡価格は限界費用を上回るため、それらの市場において社会的余剰は最大化されません。ただ、複占市場においてベルトラン競争すなわち価格競争が行われる場合には、完全競争市場と同様に、市場の均衡価格は限界費用と一致するため、ベルトラン均衡において社会的余剰は最大化されます。不完全競争市場であっても、そこでベルトラン競争が行われる場合には完全競争市場と同様の結論が得られるという現象を指してベルトランのパラドクス（Bertrand paradox）と呼びます。

ベルトランのパラドクスは現実の経済を上手く描写できているでしょうか。ベルトランのパラドクスによると、ある商品が1つの企業（もしくはカルテル）によって独占的に供給されている状態から、1つの企業だけが加わり2企業間で価格競争が行われるようになると、商品の市場価格は独占価格から完全競争価格（限界費用）にまで急速に下落します。しかし、いくつかの実証研究が示すように、また私たちが日常的に経験しているように、現実の経済においては、複占市場や寡占市場において企業は限界費用を上回る価格をつけ、正の利潤を獲得していることを踏まえると、ベルトランのパラドクスは現実を上手く記述できていないと言えそうです。

こうした指摘を踏まえた上で、議論の前提となっているベルトラン競争のモデルをより現実に近づけることで、ベルトランのパラドクスを解消しようとする一連の研究が存在します。今回はそのような研究の中でも、2つの企業が生産する商品が同質財ではない状況を想定したモデルについて解説します。

価格差別化のベルトラン競争のモデル化

2つの企業が異なる商品を供給しているとともに、各々が自社製品の市場を独占している状況を想定します。ただし、2つの商品市場の需要はお互いに関連しているものとします。企業は自身が得る利潤を最大化するために、自社製品の価格を決定するものとします。

2つの企業をそれぞれ\(1,2\)と呼び、企業\(1\)が供給する商品を\(1\)と呼び、企業\(2\)が供給する商品を\(2\)と呼びます。まずは2つの市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。

企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が供給する商品\(i\)の市場の逆需要関数\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}p_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&a-bq_{1}-gq_{2} \\
p_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&a-bq_{2}-gq_{1}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b>0\)かつ\(g\in \mathbb{R} \)かつ\(\left\vert g\right\vert <b\)です。つまり、企業\(1\)が商品\(1\)を\(q_{1}\)だけ供給し、企業\(2\)が商品\(2\)を\(q_{2}\)だけ供給する場合には、商品\(i\)の市場価格が\(p_{i}\left(q_{1},q_{2}\right) \)で均衡するということです。

特筆すべきは、それぞれの商品\(i\)の逆需要関数\(p_{i}\left( q_{1},q_{2}\right) \)は自身の数量\(q_{i}\)だけでなくもう一方の商品\(j\ \left(\not=i\right) \)の数量\(q_{j}\)にも依存しているということです。このとき、商品\(i\)の市場の需要関数\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\alpha -\beta p_{1}+\gamma p_{2} \\
q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\alpha -\beta p_{2}+\gamma p_{1}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{eqnarray*}
\alpha &=&\frac{a\left( b-g\right) }{b^{2}-g^{2}} \\
\beta &=&\frac{b}{b^{2}-g^{2}} \\
\gamma &=&\frac{g}{b^{2}-g^{2}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\(g>0\)である場合には\(\gamma >0\)であり、\begin{equation*}\frac{\partial q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}=\frac{\partial q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}}=\gamma >0
\end{equation*}となるため、\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)において2つの商品は代替関係にあります。一方、\(g<0\)である場合には\(\gamma <0\)であり、\begin{equation*}\frac{\partial q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}=\frac{\partial q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}}=\gamma <0
\end{equation*}となるため、\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)において2つの商品は補完関係にあります。さらに、\(g=0\)である場合には\(\gamma =0\)であり、任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)において、\begin{eqnarray*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\alpha -\beta p_{1} \\
q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\alpha -\beta p_{2}
\end{eqnarray*}となるため、これは2つの商品の市場が独立しているケースに相当します。

続いて、この市場において商品を供給する独占企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。

企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(c>0\)です。つまり、企業が商品\(i\ \left( =1,2\right) \)を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合には費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)だけかかるということです。商品\(i\)を生産しない場合の費用は、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( 0\right) &=&0 \\
c_{2}\left( 0\right) &=&0
\end{eqnarray*}ですが、これはいずれの商品についても固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{dc_{1}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&c \\
\frac{dc_{2}\left( q_{2}\right) }{dq_{2}} &=&c
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、いずれの商品についても生産量に依存しない限界費用を持つことを意味します。

加えて、市場の逆需要関数を規定する定数\(a\)と限界費用\(c\)の間には以下の関係\begin{equation*}a>c
\end{equation*}が成り立つものとします。

企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を選択すると商品\(1\)の需要は\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)で均衡するため、企業\(1\)は収入\(p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を得ます。その一方で、商品\(1\)を\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \)であるため、価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)もとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\left( \alpha -\beta p_{1}+\gamma
p_{2}\right) -c\left( \alpha -\beta p_{1}+\gamma p_{2}\right) \\
&=&\left( p_{1}-c\right) \left( \alpha -\beta p_{1}+\gamma p_{2}\right) \\
&=&-\beta p_{1}^{2}+\left( \alpha +\beta c\right) p_{1}+\gamma
p_{1}p_{2}-\gamma cp_{2}-\alpha c
\end{eqnarray*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による価格\(p_{2}\)を操作できないため、\(p_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)の値に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ -\beta p_{1}^{2}+\left( \alpha +\beta c\right)
p_{1}+\gamma p_{1}p_{2}-\gamma cp_{2}-\alpha c
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(p_{1}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ -\beta p_{2}^{2}+\left( \alpha +\beta c\right)
p_{2}+\gamma p_{1}p_{2}-\gamma cp_{1}-\alpha c
\end{equation*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\alpha &=&\frac{a\left( b-g\right) }{b^{2}-g^{2}} \\
\beta &=&\frac{b}{b^{2}-g^{2}} \\
\gamma &=&\frac{g}{b^{2}-g^{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(a,b,c>0\)かつ\(g\in \mathbb{R} \)かつ\(\left\vert g\right\vert <b\)かつ\(a>c\)です。

製品差別化のベルトラン競争の線型モデルにおけるナッシュ均衡（ベルトラン均衡）

製品差別化のベルトラン競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に価格に関する拘束的合意が成立しません。したがってベルトラン競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の価格を観察できない状態で自身の価格を決定するのであればベルトラン競争は静学ゲームです。また、市場の逆需要関数、需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、ベルトラン競争は完備情報の静学ゲームとして記述されます。

そこで、ベルトラン競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&-\beta p_{1}^{2}+\left( \alpha +\beta
c\right) p_{1}+\gamma p_{1}p_{2}-\gamma cp_{2}-\alpha c \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&-\beta p_{2}^{2}+\left( \alpha +\beta
c\right) p_{2}+\gamma p_{1}p_{2}-\gamma cp_{1}-\alpha c
\end{eqnarray*}を定めるということです。ただし、\begin{eqnarray*}
\alpha &=&\frac{a\left( b-g\right) }{b^{2}-g^{2}} \\
\beta &=&\frac{b}{b^{2}-g^{2}} \\
\gamma &=&\frac{g}{b^{2}-g^{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(a,b,c>0\)かつ\(g\in \mathbb{R} \)かつ\(\left\vert g\right\vert <b\)かつ\(a>c\)です。

このゲームは以下のようなナッシュ均衡、すなわちクールノー均衡が存在します。

製品差別化のベルトラン競争におけるベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast},p_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=\frac{\alpha +\beta c}{2\beta -\gamma }=\frac{a\left( b-g\right) +bc}{2b-g}
\end{equation*}であることが明らかになりました。これと限界費用を比較すると、\begin{eqnarray*}
\frac{a\left( b-g\right) +bc}{2b-g}-c &=&\frac{\left( a-c\right) \left(
b-g\right) }{2b-g} \\
&>&0\quad \because a>c\text{かつ}\left\vert g\right\vert <b
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{a\left( b-g\right) +bc}{2b-g}>c
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
p_{1}^{\ast } &>&c \\
p_{2}^{\ast } &>&c
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、製品差別化が行われている場合にはベルトランのパラドクスが解消されることが明らかになりました。

商品\(1\)の均衡数量は、\begin{eqnarray*}q_{1}^{\ast } &=&q_{1}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \\
&=&\alpha -\beta p_{1}^{\ast }+\gamma p_{2}^{\ast } \\
&=&\alpha -\beta \cdot \frac{\alpha +\beta c}{2\beta -\gamma }+\gamma \cdot
\frac{\alpha +\beta c}{2\beta -\gamma } \\
&=&\frac{\beta \left( \alpha -c\beta +c\gamma \right) }{2\beta -\gamma } \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) }{b\left( b+g\right) +\left( b^{2}-g^{2}\right) }\quad \because \alpha ,\beta ,\gamma \text{の定義} \\
&>&0
\end{eqnarray*}です。商品\(2\)の均衡数量も同様に、\begin{eqnarray*}q_{1}^{\ast } &=&\frac{\beta \left( \alpha -c\beta +c\gamma \right) }{2\beta
-\gamma } \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) }{b\left( b+g\right) +\left( b^{2}-g^{2}\right) }
\\
&>&0
\end{eqnarray*}です。企業\(1\)の均衡利潤は、\begin{eqnarray*}p_{1}^{\ast }\cdot q_{1}^{\ast }-c_{1}\left( q_{1}^{\ast }\right)
&=&p_{1}^{\ast }\cdot q_{1}^{\ast }-c\cdot q_{1}^{\ast } \\
&=&\frac{\alpha +\beta c}{2\beta -\gamma }\cdot \frac{\beta \left( \alpha
-c\beta +c\gamma \right) }{2\beta -\gamma }-c\cdot \frac{\beta \left( \alpha
-c\beta +c\gamma \right) }{2\beta -\gamma } \\
&=&\frac{\beta \left( \alpha -c\beta +c\gamma \right) ^{2}}{\left( \gamma
-2\beta \right) ^{2}} \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) ^{2}\left( b-g\right) }{\left(
b^{3}+g^{3}\right) +3b\left( b^{2}-g^{2}\right) }\quad \because \alpha
,\beta ,\gamma \text{の定義} \\
&>&0
\end{eqnarray*}であり、企業\(2\)の均衡利潤もまた、\begin{eqnarray*}p_{1}^{\ast }\cdot q_{1}^{\ast }-c_{1}\left( q_{1}^{\ast }\right) &=&\frac{\beta \left( \alpha -c\beta +c\gamma \right) ^{2}}{\left( \gamma -2\beta
\right) ^{2}} \\
&=&\frac{b\left( a-c\right) ^{2}\left( b-g\right) }{\left(
b^{3}+g^{3}\right) +3b\left( b^{2}-g^{2}\right) } \\
&>&0
\end{eqnarray*}です。

製品差別化のベルトラン競争における戦略的代替性と戦略的補完性

製品差別化のベルトラン競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)において、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の最適反応関数\(b_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が相手の価格\(p_{j}\geq 0\)に対して定める最適反応は、\begin{eqnarray*}b_{1}\left( p_{2}\right) &=&\frac{\alpha +\beta c+\gamma p_{2}}{2\beta } \\
b_{2}\left( p_{1}\right) &=&\frac{\alpha +\beta c+\gamma p_{1}}{2\beta }
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。したがって、\begin{eqnarray*}
\frac{db_{1}\left( p_{2}\right) }{dp_{2}} &=&\frac{\gamma }{2\beta }=\frac{g}{2b} \\
\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&\frac{\gamma }{2\beta }=\frac{g}{2b}
\end{eqnarray*}を得ます。これは何を表すのでしょうか。

任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}=\frac{\partial q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}}=\gamma =\frac{g}{b^{2}-g^{2}}
\end{equation*}が成り立つため、パラメータ\(g\)は2つの商品の代替ないし補完の度合いを表す指標です。\(g>0\)の場合には2つの商品は代替関係であるとともに、\(g\)の値が\(b\)へ向かって上昇するほど代替関係が強くなります。\(g<0\)の場合には2つの商品は補完関係にあるとともに、\(g\)の値が\(-b\)へ向かって下落するほど補完関係は強くなります。\(g=0\)の場合は2つの商品が独立しているケースに相当します。

まずは\(g>0\)の場合、すなわち2つの商品が代替関係にある場合について考えます。この場合には、\begin{eqnarray*}\frac{db_{1}\left( p_{2}\right) }{dp_{2}} &=&\frac{g}{2b}>0 \\
\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&\frac{g}{2b}>0
\end{eqnarray*}となるため、両企業の最適反応関数は競争相手の供給量に関する増加関数であり、したがって戦略的補完性が成立しています。つまり、相手が価格を上げるほど自分も価格を上げたほうが良く、逆に相手が価格を下げるほど自分も価格を下げたほうが良いということです。

続いて\(g<0\)の場合、すなわち2つの商品が補完関係にある場合について考えます。この場合には、\begin{eqnarray*}\frac{db_{1}\left( p_{2}\right) }{dp_{2}} &=&\frac{g}{2b}<0 \\
\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&\frac{g}{2b}<0
\end{eqnarray*}となるため、両企業の最適反応関数は競争相手の供給量に関する減少関数であり、したがって戦略的代替性が成立しています。つまり、相手が価格を上げるほど自分は価格を下げたほうが良く、逆に相手が価格を下げるほど自分は価格を上げたほうが良いということです。