複占市場
ある商品の市場が完全競争的である場合、個々の生産者による供給量は市場全体の供給量と比べると微小であるため、個々の生産者が供給量を変更しても市場全体の供給量はほとんど変化せず、したがって商品の均衡価格に影響を与えることはできません。完全競争企業において生産者が直面する市場の逆需要曲線は水平であるということです。この場合、生産者は商品の市場価格を与えられたものとして意思決定を行うプライス・テイカーであり、商品の市場価格と限界費用が一致するような生産量を選択するため、市場の供給曲線は限界費用曲線と一致します。さらに、市場の需要曲線と供給曲線が交差する点において市場は均衡し、均衡において社会的余剰が最大化されます。
一方、商品が1つの企業によって供給される独占市場では、独占企業による商品の供給量がそのまま市場全体の供給量と一致するため、独占企業はプライステイカーではなく、自身が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において価格支配力を持ちます。この場合、独占企業は限界収入と限界費用が一致するような生産量を選択しますが、限界収入曲線は逆需要曲線の下方に位置し、なおかつ逆需要曲線が右下がりであることから、完全競争均衡と比較すると、独占均衡において価格はより高く、供給量はより少なくなります。また、独占均衡において社会的余剰は最大化されません。
一方、本節の分析対象は完全競争市場や独占市場ではなく、同一の商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場（duopoly market）です。2つの企業が供給する商品は機能や品質の面において差がないため、価格が同じ場合には、消費者はどちらの企業からその商品を購入しても構わない状況を想定します。逆に、価格が異なる場合には、価格以外の要素に差はないため、消費者は安いほうを購入することになります。このとき、2つの企業が供給する商品は消費者にとって同質財（homogeneous goods）であると言います。
同質財を供給する2つの企業が共謀してカルテルを形成する場合、彼らはあたかも1つの独占企業として振る舞うことになります。一方、本節では企業どうしがカルテルを形成できない状況を想定しますが、それでもなお、複占企業はプライス・メイカーであり続けます。なぜなら、複占市場には2つの企業の他に競争相手がいないため、両企業による商品の供給量の和がそのまま市場全体の供給量と一致するからです。その一方で、複占市場においてそれぞれの企業は商品の価格を完全にコントロールできません。なぜなら、一方の企業は自らの供給量を変化させることを通じて商品の価格を変化させることができますが、同時に競争相手による供給量もまた商品の価格に影響を与えるからです。
複占市場における数量競争（クールノー競争）
同質財を供給する2つの企業が競争する場合、競争の形態として以下の2つが考えられます。
1つ目は、両企業が自社製品の価格を決定する価格競争です。同質財市場を想定しているため、この場合、消費者はより安い価格を設定した企業から商品を購入することになります。したがって、両企業が提示した価格のうちの安い方がそのまま市場価格になり、その価格のもとでの市場需要のすべてを安い価格を提示した企業が総取りすることになります。このような競争をベルトラン競争（Bertrand competition）と呼びます。
2つ目は、両企業が自社製品の供給量を決定する数量競争です。同質財市場を想定しているため、この場合、消費者はどちらの企業から商品を購入しても構わないことになります。したがって、両企業による供給量の和が市場全体の供給量になり、それに対応する市場価格のもとで各社は自身が選択した供給量に等しい数量を販売することになります。このような競争をクールノー競争（Cournot competition）と呼びます。
本節の対象はクールノー競争です。ベルトラン競争や、クールノー競争とベルトラン競争の中間的な競争形態については場を改めて解説します。
2つの企業の間でベルトラン競争とクールノー競争のどちらが行われるかは市場条件に依存します。ベルトラン競争ではより安い価格を提示した企業が需要を総取りしますが、このような想定を可能にするためには、個々の企業は市場需要のすべてに応えるほど十分な生産能力を持ち合わせており、獲得した需要に応じて生産量を柔軟に変更できる必要があります。一方、個々の企業の生産能力に制約がある場合には、競争相手よりも安価かつ大量に販売することがそもそも不可能であるため、企業は限られた生産能力の枠内で数量競争を行うことになります。
クールノー競争のモデル化
前提として、クールノー競争が行われる市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数が、\begin{equation*}
p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、商品の総供給量が\(q\geq 0\)である場合には、商品の市場価格が、\begin{equation*}p\left( q\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。逆需要関数\(p\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。
条件\(\left( a\right) \)は、商品の総供給量\(q\)がある正の値\(\overline{q}\)以上になると商品の均衡価格が\(0\)になるということです。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮すると当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品が市場に供給されない場合の均衡価格が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left(c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、逆需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{q}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left(q\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの逆需要曲線に直面している状況を想定します。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left(d\right) \)を、\begin{equation*}\forall q\in \lbrack 0,\overline{q}):\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0
\end{equation*}と表現することもできます。
以上の条件を満たす逆需要関数\(p\)のグラフ、すなわち逆需要曲線を以下に描きました。独占企業は逆需要曲線の形状を把握しているものとします。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、逆需要曲線は右下がりの直線であるということです。このとき、\begin{equation*}
\exists \frac{a}{b}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq \frac{a}{b}\Rightarrow
p\left( q\right) =0\right] \end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
p\left( 0\right) =a>0
\end{equation*}となります。\(p\)は線型関数であるため\(\left[ 0,\frac{a}{b}\right] \)上で連続であるとともに\(\left[ 0,\frac{a}{b}\right) \)上で\(C^{1}\)級です。また、\(p\)は\(\left[ 0,\frac{a}{b}\right) \)上で狭義単調減少です。以上より、この逆需要関数\(p\)は先の\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの諸条件を満たすことが明らかになりました。
続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。独占市場とは異なり複占市場では2つの企業が競争を行いますが、その事実が及ぼす影響だけを抽出するために、まずは、2つの企業が同一の生産技術を持っている状況を想定します。後ほど、両企業の技術力に差がある状況を分析します。
企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の技術は費用関数\begin{equation*}c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}によって特徴づけられるものとします。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\geq 0\)だけ市場に供給する場合、費用が、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) \geq 0
\end{equation*}だけかかるということです。費用関数\(c_{i}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c_{i}\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q_{i}>0:c_{i}\left( q_{i}\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c_{i}\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c_{i}\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。
条件\(\left( a\right) \)は、企業の固定費用が非負であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、企業が商品を生産する場合の費用は正であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定であり、費用関数\(c_{i}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dc_{i}}{dq_{i}}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であることを意味します。費用関数\(c_{i}\)の導関数\(\frac{dc_{i}}{dq_{i}}\)を、\begin{equation*}MC_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記することもでき、これを限界費用関数（marginal cost mathrmtion）と呼びます。定義より、任意の\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}MC_{i}\left( q_{i}\right) =\frac{dc_{i}\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}
\end{equation*}となりますが、これを\(q_{i}\)における限界費用（marginal cost）と呼びます。これは、企業が商品の供給量を\(q_{i}\)から\(1\)単位増やしたときの費用の変化を表す指標です。こちらの表記を利用すると、条件\(\left( h\right) \)を、\begin{equation*}\forall q_{i}\in \mathbb{R} _{+}:MC_{i}\left( q_{i}\right) >0
\end{equation*}と表現できます。限界費用は常に正であるということです。
以上の条件を満たす限界費用関数\(MC_{i}\)のグラフ、すなわち限界費用曲線を以下に描きました。
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}と表されるものとします。つまり、2つの企業は同一の費用関数を持つとともに、費用曲線は右上がりの直線であるということです。固定費用は、\begin{eqnarray*}
c_{1}\left( 0\right) &=&0\geq 0 \\
c_{2}\left( 0\right) &=&0\geq 0
\end{eqnarray*}であるとともに、任意の\(q_{i}>0\)について、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1}>0 \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}>0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(c_{i}\)は線型関数であるため\(\mathbb{R} _{+}\)上で\(C^{1}\)級です。また、\(c_{i}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加関数です。以上より、この費用関数\(c_{i}\)は先の\(\left( e\right) \)から\(\left( h\right) \)までの諸条件を満たすことが明らかになりました。
市場の逆需要関数\(p\)と企業\(i\)の費用関数\(c_{i}\)の間には、以下の関係\begin{equation*}\exists q^{\ast }>0:p\left( q^{\ast }\right) =MC_{i}\left( q^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、市場の均衡価格が企業の限界費用と一致するような正の生産量が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の限界費用が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、企業にとって商品を生産することが最適であることを意味します。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)です。加えて、\begin{equation*}a>c
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\exists \frac{a-c}{b} &>&0:p\left( \frac{a-c}{b}\right) =MC_{1}\left( \frac{a-c}{b}\right) =c \\
\exists \frac{a-c}{b} &>&0:p\left( \frac{a-c}{b}\right) =MC_{2}\left( \frac{a-c}{b}\right) =c
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
先の条件を満たす逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、先の条件を満たす費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられるコスト構造を持つ2つの企業が自身の利潤を最大化するように供給量\(q_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には生産量に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手の生産量を観察できない状態で自身の生産量を決定しなければならない状況を想定します。
繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の供給量\(q_{1},q_{2}\)をそれぞれ選択すると市場の総供給量は\(q_{1}+q_{2}\)となるため、市場において商品の価格が、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right)
\end{equation*}で均衡します。つまり、複占企業が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left(=1,2\right) \)が操作可能であるのは自身の供給量\(q_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)の供給量\(q_{j}\)を直接操作することはできません。つまり、複占企業は市場の総供給量を完全に操作できるわけではなく、それゆえ商品の市場価格を完全に自由に操作できるわけではありません。
企業\(1,2\)がそれぞれ供給量\(q_{1},q_{2}\)を選択すると商品の価格は\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡するため、企業\(1\)は収入\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left(q_{1}\right) \)であるため、生産量の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による生産量\(q_{2}\)を操作できないため、\(q_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\)の値に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(q_{1}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left(
q_{2}\right)
\end{equation*}です。
このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。同質財の複占市場における数量競争に関するこのモデルをクールノー競争（Cournot competition）と呼びます。クールノー競争はフランスの経済学者であり数学者でもあったアントワーヌ・オーギュスタン・クールノー（Antoine Augustin Cournot）が1838年に発表したモデルです。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。つまり、市場の逆需要曲線と独占企業の費用曲線がともに直線であるということです。このようなモデルを線型モデル（linear model）と呼びます。生産量の組\(\left(q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\(0\leq q_{1}+q_{2}\leq \frac{a}{b}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left[
a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] q_{1}-cq_{1} \\
&=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{eqnarray*}である一方で、\(q_{1}+q_{2}>\frac{a}{b}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) &=&0\cdot
q_{1}-cq_{1} \\
&=&-cq_{1}
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)の利潤についても同様です。企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{1}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left(
q_{2}\right)
\end{equation*}となります。
完備情報の静学ゲームとしてクールノー競争
クールノー競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に生産量に関する拘束的合意が成立しません。したがってクールノー競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の供給量を観察できない状態で自身の供給量を決定するのであればクールノー競争は静学ゲームです。また、市場の逆需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、クールノー競争は完備情報の静学ゲームとして記述されます。
そこで、クールノー競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の供給量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めるということです。ただし、\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の逆需要関数であり、\(c_{1},c_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は企業の費用関数です。
\end{equation*}であり、企業\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}であり、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、関数\(c_{1},c_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。
クールノー競争の線型モデルにおけるナッシュ均衡（クールノー均衡）
クールノー競争におけるナッシュ均衡をクールノー均衡（Cournot Equilibrium）と呼びます。クールノー競争の線型モデルにおけるクールノー均衡は以下の通りです。
q_{1}-c\left( q_{1}\right) \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c\left( q_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、関数\(c_{1},c_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&cq_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&cq_{2}
\end{eqnarray*}を定める。\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast}\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}を満たす。
クールノー競争の線型モデルにおける支配される戦略の逐次消去による解
クールノー競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}であることが明らかになりましたが、実は、このゲーム\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解くこともできます。一般に、戦略型ゲームが有限ゲームであり、なおかつ純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができる場合、その解は問題としているゲームの唯一の純粋戦略ナッシュ均衡であることが保証されます。ただ、クールノー競争を描写する戦略型ゲーム\(G\)におけるプレイヤーの純粋戦略集合\(\mathbb{R} _{+}\)は有限集合ではなく、したがって\(G\)は有限ゲームではないため、先の事実をそのまま適用できません。そこで、ゲーム\(G\)に対して実際に逐次消去を適用し、その解がナッシュ均衡と一致することを確認します。
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)は狭義の純粋戦略ナッシュ均衡と一致する。すなわち、\begin{equation*}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}が成り立つ。
一般に、戦略型ゲーム\(G\)が狭義支配される戦略の逐次消去によって解ける場合、プレイヤーたちが合理的であることに加えて、プレイヤーたちの合理性が共有知識であれば、プレイヤーたちが実際にその解をプレーすることが保証されます。上の命題より、クールノー競争は狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、それはクールノー均衡\begin{equation*}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{a-c}{3b},\frac{a-c}{3b}\right)
\end{equation*}と一致します。したがって、両企業が合理的であり、両企業の合理性が共有知識であれば、クールノー均衡が実際にプレーされる根拠として十分です。
クールノー競争における支配戦略均衡
クールノー競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)において、クールノー均衡\begin{equation*}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{a-c}{3b},\frac{a-c}{3b}\right)
\end{equation*}は狭義の純粋戦略ナッシュ均衡であるだけでなく、狭義支配される戦略の逐次消去の解でもあります。では、クールノー均衡は狭義の支配戦略均衡であるとまで言えるのでしょうか。
クールノー均衡が狭義の支配戦略均衡である場合、クールノー均衡が実際にプレーされることを保証するためにはプレイヤーが合理的であれば十分であり、プレイヤーたちの合理性が共有知識であることまで仮定する必要がなく、より望ましいということになります。ただ、実際には、クールノー均衡は狭義支配戦略均衡ではありません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を所与とした場合、それに対してプレイヤー\(1\)のクールノー均衡戦略\begin{equation*}s_{1}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}がプレイヤー\(1\)にもたらす利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( s_{1}^{\ast },0\right) &=&u_{1}\left( \frac{a-c}{3b},0\right)
\quad \because s_{1}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \\
&=&\left[ a-b\left( \frac{a-c}{3b}+0\right) -c\right] \cdot \frac{a-c}{3b}\quad \because u_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{2}{9}\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{b}
\end{eqnarray*}であるのに対し、クールノー均衡戦略\(s_{1}^{\ast}\)とは異なる純粋戦略\begin{equation*}s_{1}=\frac{a-c}{2b}
\end{equation*}がプレイヤー\(1\)にもたらす利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( \frac{a-c}{2b},0\right) &=&\left[ a-b\left( \frac{a-c}{2b}+0\right) -c\right] \cdot \frac{a-c}{2b}\quad \because u_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{4}\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{b}
\end{eqnarray*}です。仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であるため\begin{equation*}\frac{1}{4}\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{b}>\frac{2}{9}\frac{\left(
a-c\right) ^{2}}{b}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u_{1}\left( \frac{a-c}{2b},0\right) >u_{1}\left( q_{1}^{\ast },0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、プレイヤー\(1\)にとって\(q_{1}^{\ast }\)は狭義の支配戦略ではないため、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)は狭義の支配戦略均衡ではありません。
クールノー均衡は狭義支配される戦略の逐次消去の解である一方で、狭義支配戦略均衡ではないことが明らかになりました。したがって、クールノー均衡が実際にプレーされることの根拠としては、プレイヤーたちの合理性に加えて、合理性が共有知識であるという仮定が必要です。
クールノー均衡利潤
クールノー競争の線型モデルにおけるクールノー均衡は、\begin{equation*}
\left( q_{1}^{C},q_{2}^{C}\right) =\left( \frac{a-c}{3b},\frac{a-c}{3b}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって、クールノー均衡のもとでの総供給量は、\begin{eqnarray*}
q^{C} &=&q_{1}^{C}+q_{1}^{C} \\
&=&\frac{a-c}{3b}+\frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{2\left( a-c\right) }{3b}
\end{eqnarray*}であり、クールノー均衡のもとでの市場均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p^{C} &=&p\left( q^{C}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b} \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}となります。クールノー均衡において企業\(1\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}p^{C}\cdot q_{1}^{C}-c_{1}\left( q_{1}^{C}\right) &=&\frac{a+2c}{3}\cdot
\frac{a-c}{3b}-c\cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}であり、企業\(2\)が得る利潤もまた、\begin{eqnarray*}p^{C}\cdot q_{2}^{C}-c_{2}\left( q_{2}^{C}\right) &=&\frac{a+2c}{3}\cdot
\frac{a-c}{3b}-c\cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}です。モデルの仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であるため、これらはいずれも正です。
$$\begin{array}{cc}
\hline
& クールノー競争 \\ \hline
企業1の供給量 & \frac{a-c}{3b} \\
\hline
企業2の供給量 & \frac{a-c}{3b} \\
\hline
総供給量 & \frac{2\left( a-c\right) }{3b} \\ \hline
商品の価格 & \frac{a+2c}{3} \\ \hline
企業1の利潤 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
企業2の利潤 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
\end{array}$$
クールノー競争における戦略的代替性
クールノー競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)において、企業\(1\)の最適反応関数\(b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が相手の供給量\(q_{2}\in \lbrack 0,\frac{a}{b})\)に対して定める最適反応は、\begin{equation*}b_{1}\left( q_{2}\right) =\frac{a-bq_{2}-c}{2b}
\end{equation*}であることが明らかになりました。導関数\(\frac{db_{1}}{dq_{2}}\)はそれぞれの\(q_{2}\in \left( 0,\frac{a}{b}\right) \)に対して、\begin{equation*}\frac{db_{1}\left( q_{2}\right) }{dq_{2}}=-\frac{1}{2}<0
\end{equation*}を定めます。つまり、企業\(1\)の最適反応関数\(b_{1}\)は相手の供給量\(q_{2}\)に関する減少関数であるため、相手が増産するほど自身は減産したほうが良く、逆に相手が減産するほど自身は増産したほうが良いという構造になっています。相手とは逆の行動をしたほうが良いということです。
企業\(2\)についても同様です。企業\(2\)の狭義の最適反応関数\(b_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が相手の供給量\(q_{1}\in \lbrack 0,\frac{a}{b})\)に対して定める最適反応は、\begin{equation*}b_{2}\left( q_{1}\right) =\frac{a-bq_{1}-c}{2b}
\end{equation*}であるため、導関数\(\frac{db_{2}}{dq_{1}}\)はそれぞれの\(q_{1}\in \left( 0,\frac{a}{b}\right) \)に対して、\begin{equation*}\frac{db_{2}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}}=-\frac{1}{2}<0
\end{equation*}を定めます。つまり、企業\(2\)の最適反応関数\(b_{2}\)は相手の供給量\(q_{1}\)に関する減少関数であるため、相手が増産するほど自身は減産したほうが良く、逆に相手が減産するほど自身は増産したほうが良いという構造になっています。相手とは逆の行動をしたほうが良いということです。
以上の議論から明らかになったように、クールノー競争においては、各企業は相手とは逆の行動をしたほうが良い構造になっています。このような状態を指して、クールノー競争では戦略的代替性（strategic substitutes）が成立していると言います。相手が増産する場合、総供給量が増加するため市場価格は下落します。その状況において自社が生産量を一定に保った場合、収入が減少する一方で費用は一定であるため、利潤が減少してしまいます。一方、自社が生産量を減らした場合、総供給量が減少するため市場価格は上昇し、同時に費用も減少するため、利潤は増加します。クールノー競争において戦略的代替性が成立する背景にはこのようなメカニズムが存在します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この市場は複占市場であり、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&30q_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&30q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両企業がクールノー競争を行う場合、クールノー均衡を求めてください。ただし、両企業とも自身が得る利潤を最大化するものとします。
\end{equation*}を定めるものとします。この市場は複占市場であり、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&q_{1}^{2} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&q_{2}^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両企業がクールノー競争を行う場合、クールノー均衡を求めてください。ただし、両企業とも自身が得る利潤を最大化するものとします。
\end{equation*}を定めるものとします。この市場は複占市場であり、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&30q_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&q_{2}^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両企業がクールノー競争を行う場合、クールノー均衡を求めてください。ただし、両企業とも自身が得る利潤を最大化するものとします。
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。加えて、2つの企業\(1,2\)は共通の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を持っており、これはそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとします。さらに、\begin{equation*}
\exists q^{\ast }>0:p\left( q^{\ast }\right) =c
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の状況において2つの企業がクールノー競争を行う場合、その状況を表す戦略型ゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在するとともに、それは以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ q_{1}^{\ast }>0\wedge q_{2}^{\ast }>0 \\
&&\left( B\right) \ \frac{dp\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) }{dq}\cdot \frac{\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) }{2}+p\left(
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) =c
\end{eqnarray*}を満たすことを示してください。
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