教材一覧
教材一覧
教材検索
STATIC GAME OF COMPLETE INFORMATION

狭義の支配戦略均衡

目次

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

狭義の支配戦略均衡

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。復習になりますが、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が狭義の支配戦略であることとは、\begin{equation*}\forall s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall
s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right) >u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは、他のプレイヤーたちが選ぶ戦略とは関係なく、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}^{\ast }\)を選ぶことにより常に自身の利得を最大化できることを意味します。さて、プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast}\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\)が狭義の支配戦略になっているならば、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast
}\right\} ,\ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(s_{I}^{\ast }\)を\(G\)の狭義の支配戦略均衡(strictly dominant strategy equilibrium)と呼びます。

例(狭義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義の支配戦略均衡

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は狭義の支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は狭義の支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は狭義の支配戦略の組であるため、これは狭義の支配戦略均衡です。

 

狭義の支配戦略均衡は存在するとは限らない

それぞれのプレイヤーは狭義の支配戦略を持つとは限りません。したがって、ゲームには狭義の支配戦略均衡は存在するとは限らないということになります。

例(狭義の支配純粋均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義の支配戦略均衡

プレイヤー\(1,2\)はともに狭義の支配戦略を持たないため、このゲームには狭義の支配戦略均衡は存在しません。

 

狭義の支配戦略均衡は一意的

プレイヤーが狭義の支配戦略を持つ場合、それは一意的です。したがって、ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在する場合、それは一意的です。

命題(狭義の支配戦略均衡の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)において、狭義の支配戦略均衡が存在する場合、それは一意的である。

 

狭義の支配戦略均衡がプレーされる理由

戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は自身の均衡戦略である狭義の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略\(s_{-i}\)を選ぶかに関わらず、自分は他の純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\)を選ぶ場合よりも大きな利得を得ることができます。したがって、ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在する場合、それぞれのプレイヤーは他のプレイヤーたちの行動について考える必要がなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自分は狭義の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選ぶことが常に最適になります。狭義の支配戦略均衡が存在するゲームでは、プレイヤーは他のプレイヤーたちの手を読んだり、相手の合理性を疑う必要がないということです。プレイヤーの合理性が相互知識もしくは共有知識であるという仮定は必要なく、それぞれのプレイヤーが合理的でありさえすれば、全員が均衡戦略である狭義の支配戦略を選び、その結果、均衡である狭義の支配戦略均衡が実現します。

命題(合理性と狭義の支配戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)において、狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、合理性の仮定のもとでは、プレイヤーたちは\(s_{I}^{\ast }\)をプレーする。

 

混合戦略の範囲での狭義の支配戦略均衡

狭義の支配戦略均衡の概念は戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても容易に拡張されます。復習になりますが、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が狭義の支配戦略であることとは、\begin{equation*}\forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma
_{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは、他のプレイヤーたちが選ぶ戦略とは関係なく、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選ぶことにより常に自身の期待利得を最大化できることを意味します。さて、プレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast}=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)が狭義の支配戦略になっているならば、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right)
\backslash \left\{ \sigma _{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in
\Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma
_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(\sigma _{I}^{\ast }\)を狭義の支配戦略均衡と呼びます。

ただし、戦略型ゲーム\(G\)における広義の支配戦略と、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略は概念として一致するため以下の命題が成り立ちます。

命題(狭義の支配戦略均衡の特徴づけ)
戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在することと、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に狭義の支配戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在することは必要十分であるとともに、\(s_{I}^{\ast}=\sigma _{I}^{\ast }\)が成立する。

以上の命題より、狭義の支配戦略均衡について考える際には、すべてのプレイヤーが混合戦略を採用することを認める場合においても、考察対象を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことが明らかになりました。つまり、戦略型ゲーム\(G\)における狭義の支配戦略均衡と、混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の支配戦略均衡は概念として一致するということです。

例(狭義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義の支配戦略均衡

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は狭義の支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は狭義の支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は狭義の支配戦略の組であるため、これは狭義の支配戦略均衡です。さらに上の命題より、\(\left( D,R\right) \)は混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略均衡です。

 

演習問題

問題(支配戦略均衡)
以下の利得行列によって表現される完備情報の静学ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & C & D \\ \hline
C & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列
  1. このゲームには狭義の支配戦略均衡が存在しますか?存在する場合には理由とともに明らかにし、存在しない場合には理由を述べてください。
  2. 上のゲームを題材に、「利他的な行動は必ず自身の犠牲を伴う」という言明の妥当性を検討してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(支配純粋均衡の効率性)
戦略型ゲーム\(G\)において、2つの純粋戦略の組\(s_{I},s_{I}^{\prime }\in S_{I}\)の間に、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:u_{i}\left( s_{I}\right) \geq u_{i}\left(
s_{I}^{\prime }\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:u_{i}\left( s_{I}\right) >u_{i}\left(
s_{I}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、つまり、任意のプレイヤーにとって\(s_{I}\)は\(s_{I}^{\prime }\)以上に望ましく、少なくとも1人のプレイヤーにとって\(s_{I}\)は\(s_{I}^{\prime }\)よりも望ましい場合には、\(s_{I}\)は\(s_{I}^{\prime }\)をパレート支配する(Paretodominate)と言います。\(s_{I}\)が\(s_{I}^{\prime }\)をパレート支配する場合、\(s_{I}^{\prime }\)から\(s_{I}\)へ移行することにより、全員の効用を下げることなく少なくとも1人の効用を上げることができます。そのような意味において、\(s_{I}^{\prime }\)から\(s_{I}\)へ移行することをパレート改善と呼びます。以上を踏まえた上で以下の問いに答えてください。

  1. 狭義の支配戦略均衡が他の純粋戦略の組によってパレート支配されるようなゲームの例を挙げてください。
  2. 「狭義の支配戦略均衡は常に他の純粋戦略の組によってパレート支配される」という言明は正しいでしょうか。正しい場合には証明し、正しくない場合には反例を挙げてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は広義の支配戦略均衡について解説します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

囚人のジレンマ
囚人のジレンマ

囚人のジレンマとして広く知られるゲームの最も基本的なモデルを紹介し、それを戦略型ゲームとして定式化した上で、その均衡を分析します。

囚人のジレンマ
n人囚人のジレンマ

囚人のジレンマは2人ゲームですが、これを3人以上に拡張するとどのようなモデルになるでしょうか。n人囚人のジレンマと呼ばれるゲームについて解説します。

囚人のジレンマ
非対称的な利得構造を持つ囚人のジレンマ

これまではプレイヤーたちが同一の利得関数を持つ囚人のジレンマについて考えてきましたが、状況を少し一般化して、プレイヤーたちが異なる利得関数を持つ場合の囚人のジレンマについて考えます。

囚人のジレンマ
囚人のジレンマの例:軍拡競争

冷戦期に行われた米ソ間の軍拡競争は囚人のジレンマとしての側面を持っていることを解説した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。

ベイジアンゲーム
ベイジアンゲームにおける支配戦略均衡

ベイジアンゲームにおいてプレイヤーがある純粋戦略を選ぶとき、自身を含めた全員のタイプや他のプレイヤーたちの行動、信念に関わらず利得を常に最大化できるならば、そのような戦略を支配純粋戦略と呼びます。支配純粋戦略の組を支配純粋戦略均衡と呼びます。

支配戦略均衡
広義の支配戦略均衡

戦略型ゲームにおける純粋戦略の組を構成する戦略がいずれも広義の支配戦略である場合、そのような戦略の組を広義の支配戦略均衡と呼びます。

事後均衡
事後均衡と支配戦略均衡の関係

ベイジアンゲームにおいて事後均衡は支配戦略均衡でもありますが、その逆は成立するとは限りません。ただ、私的価値モデルにおいて事後均衡が一定の条件を満たす場合、それは支配戦略均衡になることが保証されます。

完備情報の静学ゲーム