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完備情報の静学ゲーム

ナッシュ均衡の正当性

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ナッシュ均衡は唯一の均衡概念

完備情報の静学ゲームを戦略型ゲーム\(G\)やその混合拡張\(G^{\ast }\)として表現した上で、プレイヤーによる最適な意思決定を最適反応と呼ばれる概念として定義し、さらに最適反応からなる組としてナッシュ均衡を定義しました。では、完備情報の静学ゲームにおける均衡概念としてナッシュ均衡にはどれほどの正当性があるのでしょうか。

完備情報の静学ゲームにはナッシュ均衡以外の均衡概念は存在しません。そのことを示すために、戦略型ゲーム\(G\)において純粋戦略ナッシュ均衡とは異なる均衡概念にもとづく均衡\(s_{I}^{\prime }=(s_{i}^{\prime })_{i\in I}\)が存在するものと仮定して話を進めます。仮定より\(s_{I}^{\prime }\)はナッシュ均衡ではないため、ナッシュ均衡の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists i\in I,\ \exists s_{i}\in S_{i}:u_{i}\left( s_{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right) <u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(s_{I}^{\prime }\)はナッシュ均衡ではないため、上の命題中の\(s_{i}^{\prime }\)はナッシュ均衡とは異なる均衡概念にもとづくプレイヤー\(i\)の最適戦略です。上の命題より、他のプレイヤーたちが最適戦略\(s_{-i}^{\prime }\)を選ぶ場合、プレイヤー\(i\)は自身の最適戦略\(s_{i}^{\prime }\)から逸脱してそれとは異なる戦略\(s_{i}\)を選んだほうがより大きい利得を得られます。合理性の仮定よりプレイヤー\(i\)は自身の利得を最大化するような意思決定を行うため、実際には\(s_{-i}^{\prime }\)ではなく\(s_{i}\)を選ぶはずです。したがって、合理性の仮定を採用する限りにおいて、\(s_{I}^{\prime }\)を均衡たらしめている均衡概念は不適切であることが明らかになりました。つまり、プレイヤーたちの合理性を仮定する場合、完備情報の静学ゲームにおける均衡概念は純粋戦略ナッシュ均衡以外には存在しないということです。

戦略型ゲーム\(G\)を混合拡張\(G^{\ast }\)に、利得を期待利得に、そして合理性の仮定を期待効用仮説に置き換えた場合にも同様の議論が成立します。つまり、期待効用仮説を認める場合、完備情報の静学ゲームの混合拡張における均衡概念は混合戦略ナッシュ均衡以外には存在しません。

合理性の仮定や期待効用仮説を採用する限りにおいて、完備情報の静学ゲームにおける均衡概念はナッシュ均衡しか存在しないことが明らかになりましたが、これはあくまでもゲームの分析者の立場から見たときの考え方です。プレイヤーの視点から考えてみると話が少し複雑になります。

合理的なプレイヤーたちがナッシュ均衡をプレーしているとき、それぞれのプレイヤーは、他のプレイヤーたちが均衡戦略にしたがう限りにおいて、自分は均衡戦略から逸脱しても得できません。つまり、ナッシュ均衡ではプレイヤーたちの戦略がお互いに最適反応になっているため、誰もそこから逸脱する動機を持ちません。しかし、プレイヤーたちがナッシュ均衡を実際にプレーすることを保証するために、それぞれのプレイヤーが、他のプレイヤーたちが均衡戦略にしたがうことを正しく予想していることを前提にする必要があります。これはどのような理屈によって正当化できるのでしょうか。

 

ナッシュ均衡が支配戦略均衡である場合

戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast}\in S_{I}\)が存在するとともに、それが狭義の支配戦略均衡である状況を想定します。狭義の支配戦略均衡が存在する場合には一意的であるとともに、それは唯一の狭義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあります。ゲームに狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちの行動について考える必要はなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身が合理的であれば\(s_{i}^{\ast }\)を選びます。したがって、合理性の仮定が成り立つ場合には、プレイヤーたちは実際に\(s_{I}^{\ast }\)をプレーします。

例(ナッシュ均衡が狭義の支配戦略均衡である場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8^{\ast } \\ \hline
D & 8^{\ast },0 & 2^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(D,R\right) \)が存在しますが、プレイヤーたちが\(\left(D,R\right) \)を実際にプレーすることを保証できるでしょうか。\(\left( D,R\right) \)は狭義の支配戦略均衡でもあるため、プレイヤーたちが合理的でさえあれば、彼らは実際に\(\left( D,R\right) \)をプレーします。

戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast}\in S_{I}\)が存在するとともに、それが広義の支配戦略均衡である状況を想定します。広義の支配戦略均衡が存在する場合には一意的であるとともに、それは広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもありますが、それとは異なる広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在する状況は起こり得ます。いずれにせよ、ゲームに広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast}\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちの行動について考える必要はなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身が合理的かつ十分な警戒心を持っていれば\(s_{i}^{\ast }\)を選びます。したがって、合理性と警戒心の仮定が成り立つ場合には、プレイヤーたちは実際に\(s_{I}^{\ast }\)をプレーします。

例(ナッシュ均衡が広義の支配戦略均衡である場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2^{\ast },8^{\ast } \\ \hline
D & 8^{\ast },2^{\ast } & 2^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲームには3つの純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( U,R\right) ,\left( D,L\right) ,\left( D,R\right) \)が存在しますが、プレイヤーたちがどれかをプレーすることを保証できるでしょうか。\(\left( D,R\right) \)は広義の支配戦略均衡でもあるため、プレイヤーたちが合理的かつ十分な警戒心を持っていれば、彼らは実際に\(\left( D,R\right) \)をプレーします。

ナッシュ均衡が支配戦略である場合には、合理性の仮定や警戒心の仮定を認める限りにおいて、プレイヤーたちは実際にナッシュ均衡をプレーすることが明らかになりました。では、ナッシュ均衡が支配戦略ではない場合、プレイヤーたちがナッシュ均衡を実際にプレーすることを保証できるのでしょうか。

 

ナッシュ均衡が支配される戦略の逐次消去の解である場合

戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast}\in S_{I}\)が存在するとともに、それは支配戦略均衡ではないものの、狭義支配される戦略の逐次消去の解であるような状況を想定します。戦略型ゲーム\(G\)が有限ゲームであるとともに狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができる場合、その解は唯一の広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあります。ゲームが狭義支配される戦略の逐次消去によって解ける場合、プレイヤーたちの合理性が共有知識であれば、プレイヤーたちは実際にその解をプレーします。したがって、プレイヤーたちの合理性が共有知識である場合には、プレイヤーたちは実際に\(s_{I}^{\ast }\)をプレーします。

例(ナッシュ均衡が狭義支配される戦略の逐次消去の解である場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
U & 1^{\ast },0 & 1^{\ast },2^{\ast } & 0,1 \\ \hline
D & 0,3^{\ast } & 0,1 & 2^{\ast },0 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(U,C\right) \)が存在しますが、プレイヤーたちが\(\left(U,C\right) \)を実際にプレーすることを保証できるでしょうか。\(\left( U,C\right) \)は狭義支配される戦略の逐次消去の解でもあるため(確認してください)、プレイヤーたちの合理性が共有知識であれば、彼らは実際に\(\left( U,C\right) \)をプレーします。

戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast}\in S_{I}\)が存在するとともに、それは支配戦略均衡ではないものの、広義支配される戦略の逐次消去の解であるような状況を想定します。戦略型ゲーム\(G\)が有限ゲームであるとともに広義支配される戦略の逐次消去によって解くことができる場合、その解は広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもありますが、それとは異なる広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在する状況は起こり得ます。いずれにせよ、ゲームが広義支配される戦略の逐次消去によって解ける場合、プレイヤーたちの合理性と警戒心が共有知識であれば、プレイヤーたちは実際にその解をプレーします。したがって、プレイヤーたちの合理性と警戒心が共有知識である場合には、プレイヤーたちは実際に\(s_{I}^{\ast }\)をプレーします。

例(ナッシュ均衡が広義支配される戦略の逐次消去の解である場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
U & 1^{\ast },0 & 1^{\ast },1^{\ast } & 0,1^{\ast } \\ \hline
D & 0,3^{\ast } & 1^{\ast },1 & 2^{\ast },0 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(U,C\right) \)が存在しますが、プレイヤーたちが\(\left(U,C\right) \)を実際にプレーすることを保証できるでしょうか。\(\left( U,C\right) \)は広義支配される戦略の逐次消去の解でもあるため(確認してください)、プレイヤーたちの合理性と警戒心が共有知識であれば、彼らは実際に\(\left( U,C\right) \)をプレーします。

ナッシュ均衡が支配戦略ではなくても支配される戦略の逐次消去の解である場合には、プレイヤーたちの合理性や警戒心が共有知識であることを認める限りにおいて、プレイヤーたちは実際にナッシュ均衡をプレーすることが明らかになりました。では、ナッシュ均衡が支配戦略や逐次消去の解のいずれでもない場合、プレイヤーたちがナッシュ均衡を実際にプレーすることを保証できるのでしょうか。

 

ナッシュ均衡の正当性が問題になるケース

以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲーム\(G\)について考えます。分析者の視点からこのゲームを観察すると、純粋戦略ナッシュ均衡は\(\left(M,C\right) \)であることが明らかです。では、これまで例として挙げたゲームと同様に、プレイヤーたちが実際にナッシュ均衡\(\left( M,C\right) \)をプレーすることを合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であるという仮定から保証できるのでしょうか。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
T & 5^{\ast },2 & 2,4 & 4,5^{\ast } \\ \hline
M & 4,6^{\ast } & 3^{\ast },6^{\ast } & 2,5 \\ \hline
B & 3,3^{\ast } & 1,2 & 7^{\ast },2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲーム\(G\)の任意のプレイヤーは支配戦略を持たないため、ナッシュ均衡\(\left( M,C\right) \)は支配戦略均衡ではなく、支配される戦略の逐次消去の解でもありません。したがって、合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であるという仮定から\(\left( M,C\right) \)が実際にプレーされることを保証できるかどうかは自明ではありません。実際、このゲーム\(G\)において、それぞれのプレイヤーの最適反応は相手の戦略に応じて変化するため、プレイヤーたちがナッシュ均衡\(\left( M,C\right) \)が実際にプレーことを保証するためには、プレイヤー\(1\)がプレイヤー\(2\)の行動\(C\)を正しく予測し、同時に、プレイヤー\(2\)がプレイヤー\(1\)の行動\(M\)を正しく予測することを保証する必要があります。合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であるという仮定は、プレイヤーたちが相手の行動を正しく予測することを保証するのでしょうか。保証できないのであればナッシュ均衡は絵に描いた餅のようなものであり、プレイヤーたちナッシュ均衡を実際にプレーすることを必ずしも保証できないということになってしまいます。以降ではナッシュ均衡の正当性に関する議論を深めます。

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関連知識

ジャンケン

2人がジャンケンを1回だけ行う状況を完備情報の静学ゲームとして定式化した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。

広義の純粋戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純粋戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに最適反応になっているならば、その組を純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限らず、存在する場合にも一意的であるとは限りません。

狭義の純粋戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純粋戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに狭義の最適反応になっているならば、その組を狭義の純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。

広義の混合戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームの混合拡張においてプレイヤーたちの混合戦略の組に注目したときに、その組を構成する混合戦略がお互いに広義の最適反応になっているならば、その組を広義の混合戦略ナッシュ均衡と呼びます。

狭義の混合戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームの混合拡張においてプレイヤーたちの混合戦略の組に注目したときに、その組を構成する混合戦略がお互いに狭義の最適反応になっているならば、その組を狭義の混合戦略ナッシュ均衡と呼びます。

ナッシュ均衡と支配される戦略の逐次消去の関係

戦略型ゲームにナッシュ均衡が存在する場合、そのゲームに支配される戦略の逐次消去を適用すると、そのナッシュ均衡は最後まで残ります。特に、ゲームが逐次消去によって解ける場合、その解はゲームの一意的なナッシュ均衡であることが保証されます。

ナッシュ均衡と支配戦略均衡の関係

戦略型ゲームに支配戦略均衡が存在する場合、それはナッシュ均衡であることが保証されます。逆は成立するとは限りません。つまり、ナッシュ均衡は支配戦略均衡であるとは限りません。

ナッシュ均衡と自己拘束的な合意

プレイヤーたちが事前交渉を行い何らかの合意に至った場合、それを強制する仕組みが存在しないにも関わらず合意が守られるのであれば、そのような合意は自己拘束的であると言われます。自己拘束的な合意は必ずナッシュ均衡である一方、その逆は成立するとは限りません。

ナッシュ均衡と社会的慣習

プレイヤーをランダムに変えて同じゲームを繰り返しプレーした結果、ある時点からプレイヤーたちが一定の戦略をプレーするよう状況が安定するのであれば、それは社会的慣習が形成されたことを意味します。社会的慣習が形成される場合、それはナッシュ均衡です。

複数均衡の問題

戦略型ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合、プレイヤーたちはその中のどれを実際にプレーすることになるか必ずしも明らかではありません。これを複数均衡の問題や均衡選択の問題などと呼びます。

複数均衡問題と利得支配

戦略型ゲームに複数のナッシュ均衡が存在するとともに、ある均衡が別の均衡を狭義にパレート支配することを利得支配と呼びます。

複数均衡問題とリスク支配

戦略型ゲームに複数のナッシュ均衡が存在するとともに、ある均衡からのプレイヤーたちの離脱損失の積が、別の均衡からのプレイヤーたちの離脱損失の積よりも大きい場合、前者の均衡は後者の均衡をリスク支配すると言います。

複数均衡問題とフォーカルポイント

プレイヤーたちが相談できない状況において何らかの選択を迫られた場合に、ある選択肢が他の選択肢よりも注意を引くものであるならば、それをフォーカルポイントと呼びます。ゲームに複数のナッシュ均衡が存在する場合、その中の1つがフォーカルポイントであれば、プレイヤーたちはそれをプレーすることが予想されます。