ナッシュ均衡は唯一の均衡概念

合理性の仮定や期待効用仮説を採用する限りにおいて、完備情報の静学ゲームにおける均衡概念はナッシュ均衡しか存在しません。しかし、これはあくまでもゲームの分析者の立場から見たときの考え方であり、プレイヤーの視点から考えてみると話が少し複雑になります。
ナッシュ均衡

ナッシュ均衡は唯一の均衡概念

完備情報の静学ゲームを戦略型ゲームやその混合拡張として表現した上で、そこでのプレイヤーの最適反応を定義し、さらに最適反応からなる組としてナッシュ均衡を定義しました。では、ナッシュ均衡には完備情報の静学ゲームの均衡概念としてどれほどの正当性があるのでしょうか。

実は、完備情報の静学ゲームにはナッシュ均衡以外の均衡概念は存在しません。このことを示すために、戦略型ゲーム\(G\)においてナッシュ均衡とは異なる均衡概念にもとづく均衡戦略の組\(s_{I}^{\prime }=(s_{i}^{\prime })_{i\in I}\)が存在するものと仮定して話を進めましょう。仮定より\(s_{I}^{\prime }\)はナッシュ均衡ではないため、ナッシュ均衡の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists i\in I,\ \exists s_{i}\in S_{i}:u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime }\right) <u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(s_{I}^{\prime }\)はナッシュ均衡ではないため、上の命題中の\(s_{i}^{\prime }\)はナッシュ均衡とは異なる均衡概念にもとづくプレイヤー\(i\)の最適戦略です。

上の命題より、他のプレイヤーたちが最適戦略\(s_{-i}^{\prime }\)を選ぶとき、プレイヤー\(i\)は最適戦略\(s_{i}^{\prime }\)から逸脱してそれとは異なる戦略\(s_{i}\)を選んだほうがより大きい利得を得られます。合理性の仮定よりプレイヤー\(i\)は自身の利得を最大化するよう意思決定を行うため、このとき\(s_{-i}^{\prime }\)ではなく\(s_{i}\)を選ぶ動機があります。この事実は\(s_{i}^{\prime }\)が最適戦略であることと矛盾するため、結局、\(s_{I}^{\prime }\)を均衡たらしめている均衡概念は不適切だと言えます。つまり、完備情報の静学ゲームにおいてナッシュ均衡とは異なる概念は均衡概念にはなり得ません。

上の議論において戦略ゲーム\(G\)を混合拡張\(G^{\ast }\)に、利得を期待利得に、そして合理性の仮定を期待効用仮説に置き換えた議論も同様に成立します。つまり、完備情報の静学ゲームにおいてプレイヤーたちが混合戦略を採用するとき、そこでの均衡概念は必然的に混合ナッシュ均衡になるということです。

 

プレイヤーはナッシュ均衡を実際にプレーするか

合理性の仮定や期待効用仮説を採用する限りにおいて、完備情報の静学ゲームにおける均衡概念はナッシュ均衡しか存在しないことが明らかになりましたが、これはあくまでもゲームの分析者の立場から見たときの考え方です。プレイヤーの視点から考えてみると話が少し複雑になります。

合理的なプレイヤーたちがナッシュ均衡をプレーしているとき、それぞれのプレイヤーは、他のプレイヤーたちが均衡戦略にしたがう限りにおいて、自分は均衡戦略から逸脱しても得できません。つまり、ナッシュ均衡ではプレイヤーたちの戦略がお互いに最適戦略になっているため、誰もそこから逸脱する動機を持ちません。しかし、プレイヤーたちがナッシュ均衡を実際にプレーすることを保証するために、それぞれのプレイヤーが、他のプレイヤーたちが均衡戦略にしたがうことを正しく予想していることを前提にする必要があります。これはどのような理屈によって正当化できるのでしょうか。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
T & 5,5 & 0,\underline{8} \\ \hline
B & \underline{8},0 & \underline{2},\underline{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

上の利得行列で表されるゲームについて考えます。分析者の視点からこのゲームを観察すると、純戦略ナッシュ均衡は\(\left( B,R\right) \)であることが明らかです。では、ゲームのプレイヤーは実際にこのナッシュ均衡をプレーするでしょうか。プレイヤーの視点からこのゲームを観察してみましょう。

プレイヤー\(1\)は、プレイヤー\(2\)が\(L\)と\(R\)のどちらを選ぶかに関係なく、自分は\(T\)よりも\(B\)を選んだ方が常により大きい利得が得られます。したがって、プレイヤー\(1\)が合理的であれば実際に\(B\)を選びますし、プレイヤー\(1\)はプレイヤー\(2\)の行動を予測する必要もありません。プレイヤー\(2\)についても同様に、プレイヤー\(1\)の行動とは関係なく自分は\(L\)よりも\(R\)を選んだ方が常に大きい利得が得られるため、プレイヤー\(2\)が合理的であれば実際に\(R\)を選びます。つまり、このゲームではプレイヤーたちがナッシュ均衡\(\left( B,R\right) \)が実際にプレーすることをプレイヤーの合理性のみから保証できます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
T & \underline{5},2 & 2,4 & 4,\underline{5} \\ \hline
M & 4,\underline{6} & \underline{3},\underline{6} & 2,5 \\
\hline
B & 3,\underline{3} & 1,2 & \underline{7},2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

続いて、上の利得行列で表されるゲームについて考えます。分析者の視点からこのゲームを観察すると、純戦略ナッシュ均衡は\(\left( M,C\right) \)であることが明らかです。では、先のゲームと同様に、プレイヤーたちが実際にナッシュ均衡をプレーすることを合理性の仮定のみから保証できるでしょうか。

先ほど考えたゲームではプレイヤーたちは相手の行動を予想する必要はなく、実際にナッシュ均衡をプレーすることを合理性の仮定だけから保証できました。一方、現在考えている新たなゲームにおいては、それぞれのプレイヤーの最適戦略は相手の戦略に応じて変化するため、プレイヤーたちがナッシュ均衡\(\left( M,C\right) \)が実際にプレーするためには、プレイヤー\(1\)はプレイヤー\(2\)の行動\(C\)を正しく予測し、同時に、プレイヤー\(2\)はプレイヤー\(1\)の行動\(M\)を正しく予測する必要があります。合理性の仮定はプレイヤーたちが相手の行動に関して正しい予測を行うことまで保証できるでしょうか。保証できないのであれば、ナッシュ均衡は絵に描いた餅のようなものであり、プレイヤーがナッシュ均衡を実際にプレーすることを必ずしも保証できないということになってしまいます。

次回からはナッシュ均衡の性質や正当性などに関する議論を行います。

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