支配される戦略とナッシュ均衡の関係

ナッシュ均衡を構成する最適戦略はいずれも強支配される戦略ではありません。一方、ナッシュ均衡を構成する戦略の中に弱支配される戦略が存在することはあります。ただ、狭義ナッシュ均衡を構成する戦略はいずれも弱支配される戦略ではありません。
支配される戦略 ナッシュ均衡
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ナッシュ均衡は強支配される戦略を含まない

プレイヤーが強支配される戦略を持つ場合には、他のプレイヤーたちの戦略の組に関わらず、そのプレイヤーはその戦略を強支配する戦略を選べばより多くの期待利得を得ることができます。したがって、強支配される戦略は他のプレイヤーたちのいかなる戦略の組に対しても最適反応にはなり得ません。一方、ナッシュ均衡は最適反応の組です。したがって、強支配される戦略を含む戦略の組はナッシュ均衡ではありません。

命題(混合ナッシュ均衡は強支配される戦略を含まない)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)における混合ナッシュ均衡\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が与えられたとき、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)は他のいかなる戦略によっても強支配されない。
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純戦略は特別な混合戦略であることを踏まえると、上の命題から以下を得ます。

系(純ナッシュ均衡は強支配される純戦略を含まない)
戦略型ゲーム\(G\)における純ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\in S_{I}\)が与えられたとき、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)は他のいかなる純戦略によっても強支配されない。

 

ナッシュ均衡が弱支配される戦略を含むことはあり得る

混合ナッシュ均衡を構成する任意のプレイヤー最適戦略は強支配されない一方で、以下の例が示唆するように、あるプレイヤーの最適戦略が弱支配される可能性はあります。

例(混合ナッシュ均衡は弱支配される戦略を含み得る)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
T & 1,1 & 0,0 \\ \hline
B & 0,0 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

証明は演習問題にしますが、このゲームの混合ナッシュ均衡としては、\(\left( T,L\right) ,\left( B,R\right) \)という2つの純戦略の組が存在します。その中でも\(\left( B,R\right) \)に注目すると、それを構成するプレイヤー\(1\)の最適反応\(B\)は別の戦略\(T\)によって弱支配されます。

 

狭義のナッシュ均衡は強支配される戦略を含まない

均衡を構成する最適戦略が弱支配されてしまうという状況を排除するためには、その均衡は通常の混合ナッシュ均衡ではなく、狭義の混合ナッシュ均衡である必要があります。

命題(狭義の混合ナッシュ均衡は弱支配される戦略を含まない)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の混合ナッシュ均衡\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が与えられたとき、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)は他のいかなる戦略によっても弱支配されない。
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純戦略は特別な混合戦略であることを踏まえると、上の命題から以下を得ます。

命題(狭義の純ナッシュ均衡は弱支配される純戦略を含まない)
戦略型ゲーム\(G\)における狭義の純ナッシュ均衡\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\in \Delta S_{I}\)が与えられたとき、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)は他のいかなる純戦略によっても弱支配されない。
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次回は支配される戦略の逐次消去について解説します。

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