ゼロ和ゲーム（定和ゲーム）

ゼロ和ゲーム

問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちの利得関数が以下の条件\begin{equation*}\forall s_{I}\in S_{I}:\sum_{i\in I}u_{i}\left( s_{I}\right) =0
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、純粋戦略からなるどのような組\(s_{I}\)が実現した場合においても、そこから全員が得る利得の総和が必ず\(0\)である場合には、そのようなゲーム\(G\)をゼロ和ゲーム（zero-sum game）やゼロサムゲームなどと呼びます。

ゼロ和ゲームでは全員の利得の和が常に\(0\)であるため、誰かが利益を得れば他の誰かが必ず損失を被っています。したがって、ゼロ和ゲームにおいてプレイヤーたちの利害は完全に対立しています。

戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤーが2人であるとともに、それがゼロ和ゲームである場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、このようなゲーム\(G\)を2人ゼロ和ゲーム（two player zero-sum game）と呼びます。

条件\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}\forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}:u_{2}\left(
s_{1},s_{2}\right) =-u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(1\)の利得\(u_{1}\left(s_{1},s_{2}\right) \)が明らかになれば、プレイヤー\(2\)の利得は自動的に\(-u_{1}\left(s_{1},s_{2}\right) \)と定まります。したがって、2人ゼロ和ゲームでは一方のプレイヤーの利得を記述すれば十分です。

2人ゼロ和ゲームでは2人の利得の和が常に\(0\)であるため、一方のプレイヤーが利益を得れば、他方のプレイヤーが同等の損失を被っています。実際、プレイヤー\(1\)の利得が\(u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) \)であることとプレイヤー\(2\)の利得が\(-u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) \)であることは必要十分であるため、プレイヤー\(1\)の利得を最大化することと、プレイヤー\(2\)の利得を最小化することは必要十分です。同様の理由により、プレイヤー\(2\)の利得を最大化することと、プレイヤー\(1\)の利得を最小化することは必要十分です。2人ゼロ和ゲームにおいて2人のプレイヤーの利害は完全に対立しているということです。

非ゼロ和ゲーム

戦略型ゲーム\(G\)が2人ゼロ和ゲームであることは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。したがって、2人ゲームがゼロ和ゲームではないこととは、\begin{equation*}
\exists \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}:u_{1}\left(
s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、2人のプレイヤーの純粋戦略からなる何らかの組\(\left( s_{1},s_{2}\right) \)が実現した場合に、両者が得る利得の和がゼロと一致しないということです。

改めて整理すると、戦略型ゲーム\(G\)が2人非ゼロ和ゲームであることは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \exists \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) \not=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

2人ゼロ和ゲームでは2人のプレイヤーの利害が完全に対立しているのに対して、2人非ゼロ和ゲームでは両者の間にWin-Winの関係やLose-Loseの関係などが成立し得ます。

2人定和ゲーム

戦略型ゲーム\(G\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}:u_{1}\left(
s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =k
\end{eqnarray*}をともに満たす場合には、すなわち、プレイヤーが2人であるとともに、純粋戦略からなるどのような組\(\left( s_{1},s_{2}\right) \)が実現した場合においても、そこから2人が得る利得の和が必ず定数\(k\)と一致する場合には、このようなゲーム\(G\)を2人定和ゲーム（two player constant-sum game）と呼びます。

2人ゼロ和ゲームは定数\(k=0\)に関する2人定和ゲームです。その一方で、\(k\not=0\)を満たす定数\(k\)に関する2人定和ゲームは2人ゼロ和ゲームではありません。したがって、2人定和ゲームは2人ゼロ和ゲームの一般化であり、2人ゼロ和ゲームは2人定和ゲームの具体例の1つです。

定和ゲームとゼロ和ゲームの関係

戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}が2人定和ゲームであるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}:u_{1}\left(
s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =k
\end{eqnarray*}が成り立つということです。ここで、プレイヤー\(i\in I\)の新たな利得関数\(v_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation}\forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}:v_{i}\left(
s_{1},s_{2}\right) =u_{i}\left( s_{1},s_{2}\right) -\frac{k}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものと定義します。すると、任意の\(\left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}v_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +v_{2}\left( s_{1},s_{2}\right)
&=&u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) -\frac{k}{2}+u_{2}\left(
s_{1},s_{2}\right) -\frac{k}{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) -k \\
&=&k-k\quad \because \left( b\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の利得関数を\(v_{i}\)に入れ替えることにより得られる新たなゲーム\begin{equation*}G^{\prime }=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ v_{i}\right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}は2人ゼロ和ゲームになります。

さらに、純粋戦略からなる2つの組\(\left( s_{1},s_{2}\right),\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right) \in S_{1}\times S_{2}\)を任意に選んだとき、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\begin{eqnarray*}v_{i}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq v_{i}\left( s_{1}^{\prime
},s_{2}^{\prime }\right) &\Leftrightarrow &u_{i}\left( s_{1},s_{2}\right) -\frac{k}{2}\geq u_{i}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right) -\frac{k}{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &u_{i}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq u_{i}\left(
s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(v_{i}\)と\(u_{i}\)は同一の選好を表しています。任意のプレイヤーについて同様であるため、\(G\)と\(G^{\prime }\)においてプレイヤーたちが直面する戦略的状況は実質的に等しいことが明らかになりました。つまり、2人定和ゲームは2人ゼロ和ゲームと実質的に等しいため、両者を同一視しても一般性は失われません。

ゼロ和ゲームの混合拡張

戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}が2人定和ゲームであるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

2人定和ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を採用する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として記述されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。

2人定和ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても、もとのゲーム\(G\)と同様に、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( \sigma _{1},\sigma _{2}\right) \in \Delta
\left( S_{1}\right) \times \Delta \left( S_{2}\right) :F_{1}\left( \sigma
_{1},\sigma _{2}\right) +F_{2}\left( \sigma _{1},\sigma _{2}\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つことが保証されます。つまり、プレイヤーが2人であるとともに、混合戦略からなるどのような組\(\left( \sigma _{1},\sigma _{2}\right) \)が実現した場合においても、その場合に2人が直面する期待利得の和が必ず\(0\)と一致するということです。

演習問題