混合戦略どうしの狭義の支配関係
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する状況を想定する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。
ゲームの静学性より、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ混合戦略\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を事前に観察できません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る混合戦略からなる集合\(\Delta \left( S_{-i}\right) \)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(\sigma _{-i}\)に対して、自分が混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma_{-i}\right) \)を把握しています。
以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta\left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma_{-i}\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義に支配する（strictly dominate）と言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)によって狭義に支配される（strictly dominated）と言うこともできます。
純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を狭義支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を狭義支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を狭義支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を狭義支配することの定義などを内包しています。
混合戦略どうしの狭義支配関係の判定方法
プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配することを、\begin{equation*}\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。つまり、他のプレイヤーたちが選択する混合戦略\(\sigma _{-i}\)がどのようなものであるかに関わらず、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも常により大きい期待利得をもたらすということです。ただ、たとえプレイヤーの純粋戦略が有限個である場合でも混合戦略は無限に存在するため、他のプレイヤーたちの混合戦略\(\sigma _{-i}\)の組合せは無限に存在します。無限個の\(\sigma _{-i}\)に対してそれぞれ\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすことを確認する作業は実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を狭義支配することと、以下の命題\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配することを判定する際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{eqnarray*}は必要十分である。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配することと\(\left( b\right) \)が成り立つことは必要十分である。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,1 & 0,1 \\ \hline
M & 0,1 & 2,1 \\ \hline
D & 0,1 & 0,1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}に注目した上で、\(\sigma_{1}^{\prime }\)が\(\sigma _{1}\)を狭義支配することを示します。相手の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&2\cdot \frac{1}{2}+0\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。相手のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しては、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&0\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&0\cdot \frac{1}{2}+2\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より、\(\sigma _{1}^{\prime }\)は\(\sigma _{1}\)を狭義支配することが明らかになりました。
混合戦略どうしの狭義支配関係を考慮すべき理由
純粋戦略どうしの狭義支配だけでなく、混合戦略どうしの狭義支配にまで範囲を広げて考えるべき理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が混合戦略によって狭義支配されるという事態は起こり得ます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても狭義支配されない一方で、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって狭義支配されます（演習問題）。
いかなる純粋戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が混合戦略によって狭義支配される事態が起こり得ることが明らかになりました。その一方で、純粋戦略は常に何らかの混合戦略によって狭義支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が存在する状況は起こり得ます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,D\)はともに純粋戦略によって狭義支配されないだけでなく、任意の混合戦略によっても狭義支配されません（演習問題）。
狭義支配される混合戦略が選ばれない理由
プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が自身の他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)によって狭義支配されるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このとき、プレイヤー\(i\)は\(\sigma_{i}^{\prime }\)によって狭義支配される\(\sigma _{i}\)を選ぶ代わりに\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選べば、他のプレイヤーたちが選ぶ戦略\(\sigma _{-i}\)がどれであっても、自分は常により大きい期待利得に直面できます。したがって、プレイヤー\(i\)が合理的であり、合理的なプレイヤーの目的が自己の期待利得の最大化である限りにおいて、プレイヤー\(i\)は狭義支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選びません。プレイヤー\(i\)が自身の何らかの混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime}\)によって狭義支配される混合戦略\(\sigma _{i}\)を選ぶのであれば、それは期待効用仮説と矛盾します。
狭義の支配混合戦略
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)として表現されます。プレイヤー\(i\in I\)のある混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の任意の混合戦略を狭義支配する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma _{i}\)をプレイヤー\(i\)の狭義の支配戦略（strictly dominant strategy）と呼びます。これは、他のプレイヤーたちが選ぶ混合戦略とは関係なく、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選ぶことにより常に自身の期待利得を最大化できることを意味します。
純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が狭義の支配戦略であることの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が狭義の支配戦略であることの意味を内包しています。
先に指摘したように、プレイヤー\(i\)の混合戦略が別の混合戦略を狭義支配することを判定する際には、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。したがって、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が狭義の支配戦略であることを以下のように表現できます。
S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma
_{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma
_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall s_{-i}\in
S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{eqnarray*}は必要十分である。つまり、\(\sigma _{i}\)が狭義の支配戦略であることと\(\left( b\right) \)が成り立つことは必要十分である。
とは言え、プレイヤー\(i\)の純粋戦略の個数が有限でも混合戦略の個数は無限になり、プレイヤー\(i\)の無限個の混合戦略について上の命題中の条件\(\left( b\right) \)が成り立つことを検証するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。
解決に向けた1つ目の指針は、プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が純粋戦略の範囲において狭義の支配戦略であるとき、\(s_{i}\)は混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略でもあるという事実です。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)については\(D\)が純粋戦略の範囲において狭義の支配戦略であるため、先の命題より、\(D\)は混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略でもあります。実際、\(D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left(\sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(D\)と異なることから\(\sigma_{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&5\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+8\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&5\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +8\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&8+3\cdot \sigma _{1}\left( U\right) \\
&<&5\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}とともに、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&0\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&0\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +2\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&2\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(D\)は\(\sigma _{1}\)を狭義支配します。\(\sigma _{1}\)は\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、混合戦略の範囲においても\(D\)は狭義の支配戦略であることが明らかになりました。この結果は先の命題と整合的です。
プレイヤーが純粋戦略の範囲において狭義の支配戦略を持つ場合、それは同時に混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略であることが明らかになりました。狭義の支配戦略であるような混合戦略が存在する場合、それは一意的であるため、狭義の支配戦略であるような純粋戦略は狭義の支配戦略であるような唯一の混合戦略でもあります。では、プレイヤーが純粋戦略の範囲において狭義の支配戦略を持たない場合、狭義の支配戦略であるような混合戦略をどのように見つければよいのでしょうか。実は、プレイヤーが純粋戦略の範囲において狭義の支配戦略を持たない場合、混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略を持たないことが保証されます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)は純粋戦略の範囲で狭義の支配戦略を持たないため、上の命題より、混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略を持たないはずです。実際、純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left(\sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)と異なることから\(0<\sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
-1\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&1\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) -1\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&1-2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&1\quad \because 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( U,L\right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\sigma _{1}\)は\(U\)を狭義に支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(\sigma _{1}\)は狭義の支配戦略ではありません。この結果は先の命題と整合的です。
プレイヤーが純粋戦略の範囲で狭義の支配戦略を持たない場合、混合戦略の範囲でも狭義の支配戦略を持たないことが明らかになりました。対偶より、プレイヤーが混合戦略の範囲で狭義の支配戦略を持つとき、純粋戦略の範囲でも狭義の支配戦略を持ちます。加えて、先に示したように、狭義の支配戦略であるような純粋戦略は狭義の支配戦略であるような唯一の混合戦略です。したがって以下が成り立つことが明らかになりました。
以上の命題より、狭義の支配戦略について考える際には、すべてのプレイヤーが混合戦略を採用することを認める場合においても、考察対象を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことが明らかになりました。つまり、戦略型ゲーム\(G\)における狭義の支配戦略と、混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の支配戦略は概念として一致するということです。
狭義の支配戦略均衡と混合戦略
先に定義したように、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が狭義の支配戦略であることとは、\begin{equation*}\forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma
_{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは、他のプレイヤーたちが選ぶ戦略とは関係なく、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選ぶことにより常に自身の期待利得を最大化できることを意味します。
プレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)が狭義の支配戦略になっているならば、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right)
\backslash \left\{ \sigma _{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in
\Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma
_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma _{I}^{\ast }\)を狭義の支配戦略均衡（strictly dominant strategy equilibrium）と呼びます。
ただし、先に明らかにしたように、戦略型ゲーム\(G\)における広義の支配戦略と、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略は概念として一致するため以下の命題が成り立ちます。
以上の命題より、狭義の支配戦略均衡について考える際には、すべてのプレイヤーが混合戦略を採用することを認める場合においても、考察対象を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことが明らかになりました。つまり、戦略型ゲーム\(G\)における狭義の支配戦略均衡と、混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の支配戦略均衡は概念として一致するということです。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)にとって\(D \)は狭義の支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は狭義の支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は狭義の支配戦略の組であるため、これは狭義の支配戦略均衡です。さらに上の命題より、\(\left( D,R\right) \)は混合戦略の範囲においても狭義の支配戦略均衡です。
演習問題
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても狭義支配されない一方で、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって狭義支配されることを示してください。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の任意の純粋戦略は、自身の任意の混合戦略によって狭義支配されないことを示してください。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 3,-1 & -1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の以下の混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) \\
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}について、\(\sigma _{1}^{\prime }\)が\(\sigma _{1}\)を狭義支配することを明らかにしてください。
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