混合戦略どうしの広義の支配関係
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する状況を想定する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。
ゲームの静学性より、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ混合戦略\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を事前に観察できません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る混合戦略からなる集合\(\Delta \left( S_{-i}\right) \)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(\sigma _{-i}\)に対して、自分が混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma_{-i}\right) \)を把握しています。
以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta\left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略の組\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma_{i}\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma_{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの混合戦略の組\(\sigma_{-i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)について、プレイヤー\(i\)が\(\sigma_{i}\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime},\sigma _{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma_{i}^{\prime }\)を広義に支配する（weakly dominate）と言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)によって広義に支配される（weakly dominated）と言うこともできます。
純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を広義支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を広義支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を広義支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を広義支配することの定義などを内包しています。
混合戦略どうしの広義支配関係の判定方法
プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することを、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義しました。ただ、たとえプレイヤーの純粋戦略が有限個である場合でも混合戦略は無限に存在するため、他のプレイヤーたちの混合戦略\(\sigma _{-i}\)の組合わせは無限通り存在します。無限個の\(\sigma _{-i}\)に対してそれぞれ\(\sigma _{i}\)がもたらす期待利得と\(\sigma _{i}^{\prime }\)がもたらす期待利得を比べる作業は実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を広義支配することと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することを判定する際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは必要十分である。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を広義支配することと\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)がともに成り立つことは必要十分である。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & 1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 1,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}に注目した上で、\(\sigma _{1}\)が\(\sigma _{1}^{\prime }\)を広義支配することを示します。相手の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot 0-1\cdot \frac{1}{2}=0 \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&1\cdot 0+0\cdot 1-1\cdot 0=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。相手のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しては、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 0+2\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&1\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(\sigma _{1}^{\prime }\)を広義支配することが明らかになりました。
混合戦略どうしの広義支配関係を考慮すべき理由
純粋戦略どうしの広義支配だけでなく、混合戦略どうしの広義支配にまで範囲を広げて考えるべき理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても広義支配されない純粋戦略が混合戦略によって広義支配される事態は起こり得ます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても広義支配されない一方で、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって広義支配されます（演習問題）。実際、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) & =\frac{1}{2}\cdot 1+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right) =0 \\
F_{1}\left( M,L\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( M,L\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、プレイヤー\(2\)のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しては、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) & =\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right)
+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,R\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( M,R\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より\(\sigma _{1}\)は\(M\)を広義支配します。
いかなる純粋戦略によっても広義支配されない純粋戦略が混合戦略によって広義支配される事態が起こり得ることが明らかになりました。その一方で、純粋戦略は常に何らかの混合戦略によって広義支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても広義支配されない純粋戦略が存在する状況も起こり得ます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,D\)はともに純粋戦略によって広義支配されないだけでなく、任意の混合戦略によっても広義支配されません（演習問題）。
広義支配される混合戦略が選ばれない理由
純粋戦略によって広義支配される戦略が選ばれないことを保証するためには合理性に加えて警戒心の仮定が必要であるように、混合戦略によって広義支配される戦略が選ばれないことを保証するためには合理性に加えて警戒心の仮定が必要です。その理由を解説するために、以下の利得行列によって表されるゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
先に示したように、プレイヤー\(1\)の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}は純粋戦略\(M\)を広義支配しますが、合理的なプレイヤー\(1\)が\(M\)を選ぶ可能性を排除するためには、合理性とは別にプレイヤーの「注意深さ」に相当する仮定がです。実際、プレイヤー\(1\)が合理的である一方で十分な警戒心を持たない場合、相手が\(L\)を選ぶ可能性を\(p=1\)と断定してしまう状況が起こり得ますが、この場合には\(\sigma _{1}\)と\(M\)が無差別になるため彼が\(M\)を選ぶ可能性を排除できません。一方、プレイヤー\(1\)が注意深い人物であれば\(0<p<1\)となるため、この場合には彼が\(M\)を選ぶ可能性を排除できます。つまり、プレイヤーが合理的であるとともに警戒心を持つ場合には、彼が広義支配される戦略を選ぶ可能性を排除できるということです。
広義の支配混合戦略
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する状況を想定する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)として表現されます。プレイヤー\(i\in I\)のある混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の任意の混合戦略を広義支配する場合には、すなわち、任意の\(\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right)\backslash \left\{ \sigma _{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がとも成り立つ場合には、\(\sigma _{i}\)をプレイヤー\(i\)の広義の支配戦略（weakly dominant strategy）と呼びます。
純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が広義の支配戦略であることの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が広義の支配戦略であることの意味を内包しています。
先に指摘したように、プレイヤー\(i\)の混合戦略が別の混合戦略を広義支配することを判定する際には、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。したがって、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が広義の支配戦略であることを以下のように表現できます。
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは必要十分である。つまり、\(\sigma _{i}\)が広義の支配戦略であることと\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)がともに成り立つことは必要十分である。
とは言え、プレイヤー\(i\)の純粋戦略の個数が有限でも混合戦略の個数は無限になり、プレイヤー\(i\)の無限個の混合戦略について上の命題中の条件\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)が成り立つことを検証するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。
解決に向けた1つ目の指針は、プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が純粋戦略の範囲において広義の支配戦略であるとき、\(s_{i}\)は混合戦略の範囲においても広義の支配戦略でもあるという事実です。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)については\(D\)が純粋戦略の範囲において広義の支配戦略であるため、先の命題より、\(D\)は混合戦略の範囲においても広義の支配戦略でもあります。実際、\(D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left(\sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(D\)と異なることから\(0\leq\sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&5\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+8\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&5\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +8\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&8+3\cdot \sigma _{1}\left( U\right) \\
&<&5\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}とともに、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&2\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&2\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +2\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&2 \\
&=&u_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(D\)は\(\sigma _{1}\)を広義支配します。\(\sigma _{1}\)は\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、混合戦略の範囲においても\(D\)は広義の支配戦略であることが明らかになりました。この結果は先の命題と整合的です。
プレイヤーが純粋戦略の範囲において広義の支配戦略を持つ場合、それは同時に混合戦略の範囲においても広義の支配戦略であることが明らかになりました。広義の支配戦略であるような混合戦略が存在する場合、それは一意的であるため、広義の支配戦略であるような純粋戦略は広義の支配戦略であるような唯一の混合戦略でもあります。では、プレイヤーが純粋戦略の範囲において広義の支配戦略を持たない場合、広義の支配戦略であるような混合戦略をどのように見つければよいのでしょうか。実は、プレイヤーが純粋戦略の範囲において広義の支配戦略を持たない場合、混合戦略の範囲においても広義の支配戦略を持たないことが保証されます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)は純粋戦略の範囲で広義の支配戦略を持たないため、上の命題より、混合戦略の範囲においても広義の支配戦略を持たないはずです。実際、純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left(\sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)と異なることから\(0<\sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
-1\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&1\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) -1\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&1-2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&1\quad \because 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( U,L\right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\sigma _{1}\)は\(U\)を広義支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(\sigma _{1}\)は広義支配戦略ではありません。この結果は先の命題と整合的です。
プレイヤーが純粋戦略の範囲で広義の支配戦略を持たない場合、混合戦略の範囲でも広義の支配戦略を持たないことが明らかになりました。対偶より、プレイヤーが混合戦略の範囲で広義の支配戦略を持つとき、純粋戦略の範囲でも広義の支配戦略を持ちます。加えて、先に示したように、広義の支配戦略であるような純粋戦略は広義の支配戦略であるような唯一の混合戦略です。したがって以下が成り立つことが明らかになりました。
以上の命題より、広義の支配戦略について考える際には、すべてのプレイヤーが混合戦略を採用することを認める場合においても、考察対象を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことが明らかになりました。つまり、戦略型ゲーム\(G\)における広義の支配戦略と、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略は概念として一致するということです。
広義の支配戦略均衡と混合戦略
先に定義したように、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が広義の支配戦略であることとは、任意の\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma_{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
プレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }\in \left(\sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)が広義の支配戦略になっているならば、すなわち、任意のプレイヤー\(i\in I\)と任意の\(\sigma _{i}\in \Delta\left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つならば、\(\sigma _{I}^{\ast }\)を広義の支配戦略均衡（weakly dominant strategy equilibrium）と呼びます。
ただし、先に明らかにしたように、戦略型ゲーム\(G\)における広義の支配戦略と、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略は概念として一致するため以下の命題が成り立ちます。
以上の命題より、広義の支配戦略均衡について考える際には、すべてのプレイヤーが混合戦略を採用することを認める場合においても、考察対象を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことが明らかになりました。つまり、戦略型ゲーム\(G\)における広義の支配戦略均衡と、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略均衡は概念として一致するということです。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)にとって\(D \)は広義の支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は広義の支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は広義の支配戦略の組であるため、これは広義の支配戦略均衡です。さらに上の命題より、\(\left( D,R\right) \)は混合戦略の範囲においても広義の支配戦略均衡です。
演習問題
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても広義支配されない一方で、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって広義支配されることを示してください。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
プレイヤー\(1\)の任意の純粋戦略は、自身の任意の混合戦略によっても広義支配されないことを示してください。
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