純粋戦略ナッシュ均衡が存在するための条件
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する状況を想定する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合\(I\)と任意のプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)が有限集合である場合、\(G\)を有限ゲームと呼びます。戦略型ゲーム\(G\)が有限ゲームである場合、ナッシュの定理より、その混合拡張\(G^{\ast }\)には混合戦略ナッシュが存在することが保証されます。では、戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡が存在することを保証するためには、\(G\)はどのような条件を満たしていればよいのでしょうか。以下では、有限ゲームとは限らない戦略型ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡が存在するための条件を明らかにします。
戦略型ゲーム\(G\)が以下の諸条件を満たす状況を想定します。
1つ目の条件は、プレイヤー集合\(I\)が有限集合であるということです。
2つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)がユークリッド空間の部分集合であるということです。つまり、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \exists m_{i}\in \mathbb{N} :S_{i}\subset \mathbb{R} ^{m_{i}}
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。
3つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)がユークリッド空間の部分集合であるということです。つまり、\begin{equation*}\forall i\in I:S_{i}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。
4つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)がコンパクト集合であるということです。\(S_{i}\)が\(\mathbb{R} ^{m_{i}}\)上のコンパクト集合であることは様々な形で表現可能ですが、\(S_{i}\)が\(\mathbb{R} ^{m_{i}}\)における有界な閉集合であることは\(S_{i}\)がコンパクト集合であるための必要十分条件です。
5つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)が凸集合であるということです。\(S_{i}\)が凸集合であるとは、\(S_{i}\)に属する2つの点を任意に選んだとき、それらの点を結んで得られる線分上の任意の点もまた\(S_{i}\)の点であることを意味します。より正確には、\begin{equation*}\forall s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda s_{i}+\left( 1-\lambda \right) s_{i}^{\prime }\in S_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。
6つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が連続関数であるということです。
7つ目の条件は、任意のプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が自身の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)に関する準凹関数であるということです。本来、プレイヤー\(i\)の効用関数\(u_{i}\)は全員の純粋戦略からなる組\(s_{I}=\left( s_{i},s_{-i}\right) \)を変数として持つ関数\begin{equation*}u\left( \cdot ,\cdot \right) :S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}ですが、他のプレイヤーたちの純粋戦略\(s_{-i}\in S_{-i}\)を任意に選んだ上で固定すれば、\(s_{i}\)だけを変数として持つ関数\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,s_{-i}\right) :S_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。そこで、\(s_{-i}\)を任意に選んだ上で固定した場合、\(u_{i}\left( \cdot ,s_{-i}\right) \)が変数\(s_{i}\)に関する準凹関数になることを要求します。つまり、任意のプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)について、以下の条件\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i},\ \forall s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i},\ \forall
\lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
,u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \right\} \leq u_{i}\left( \lambda
s_{i}+\left( 1-\lambda \right) s_{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。
戦略型ゲーム\(G\)が以上の諸条件を満たす場合、純粋戦略の範囲でナッシュ均衡が存在することを保証できます。ナッシュの定理と同様、証明では角谷の不動点定理を利用します。
\end{equation*}であり、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合が、\begin{equation*}S_{1}=S_{2}=\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}であり、プレイヤー\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。このようなゲームをクールノー競争と呼びます。純粋戦略集合\(\mathbb{R} _{+}\)は有限集合ではないため、このゲーム\(G\)に対してナッシュの定理を適用できません。では、先の命題を適用できるでしょうか。純粋戦略集合\(\mathbb{R} _{+}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の非空な凸集合である一方、有界ではないためコンパクト集合ではありません。ただ、プレイヤー\(1\)の立場から考えると、相手の戦略\(q_{2}\)によらず\(q_{1}=0\)を選べば利得\(u_{1}\left( 0,q_{2}\right) =0\)を確保できる一方で、大きすぎる\(q_{1}\)を選択すると\(u_{1}\left(q_{1},q_{2}\right) <0\)となってしまうため、プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合を、十分大きい値\(Q_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}S_{1}=\left[ 0,Q_{1}\right] \subset \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。するとプレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は有界な閉区間になるためコンパクト集合になります。プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合についても、同様の理由により、十分大きい\(Q_{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}S_{2}=\left[ 0,Q_{2}\right] \subset \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表現できます。また、利得関数\(u_{1},u_{2}\)は多変数の多項式関数であるため連続です。利得関数\(u_{1}\)において\(q_{2}\)を固定すれば変数\(q_{1}\)に関する1変数関数\begin{equation*}u_{1}\left( \cdot ,q_{2}\right) :\left[ 0,Q_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られますが、これは1変数\(q_{1}\)の多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{du_{1}\left( \cdot ,q_{2}\right) }{dq_{1}} &=&\frac{\partial
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}} \\
&=&a-2bq_{1}-bq_{2}-c
\end{eqnarray*}であり、2階導関数は、\begin{eqnarray*}
\frac{d^{2}u_{1}\left( \cdot ,q_{2}\right) }{dq_{1}^{2}} &=&-2b \\
&<&0\quad \because b>0
\end{eqnarray*}を満たすため、\(u_{1}\left( \cdot,q_{2}\right) \)は凹関数です。凹関数は準凹関数であるため\(u_{1}\left( \cdot ,q_{2}\right) \)は準凹関数です。プレイヤー\(2\)の利得関数\(u_{2}\)についても同様です。以上より、\(G\)は先の命題が要求する条件を満たすことが明らかになりました。したがって先の命題より、\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在します。実際、\begin{equation*}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{a-c}{3b},\frac{a-c}{3b}\right)
\end{equation*}が均衡になります（演習問題）。
ナッシュの定理の一般化
先の命題は戦略型ゲームに純粋戦略ナッシュ均衡が存在するための条件を与えていますが、命題を読み替えることにより、先の命題からナッシュの定理を導くことができます。つまり、有限ゲームに混合戦略ナッシュ均衡が存在することを先の命題から導くことができます。具体的には以下の通りです。
有限な戦略型ゲーム\(G\)が与えられた状況において、その混合拡張\(G^{\ast }\)について考えます。ゲームの有限性よりプレイヤー集合\(I\)は有限集合です。また、ゲームの有限性より任意のプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(S_{i}\)は有限集合であるため、混合戦略集合\(\Delta \left(S_{i}\right) \)はユークリッド空間上の非空な凸のコンパクト集合になります。加えて、任意のプレイヤー\(i\)の期待利得関数\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)は連続であるとともに、任意の\(\sigma _{-i}\in \Delta \left(S_{-i}\right) \)に対して関数\(F_{i}\left(\cdot ,\sigma _{-i}\right) :\Delta \left( S_{i}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数になります。したがって、先の命題において\(S_{i}\)を\(\Delta \left( S_{i}\right) \)に、\(u_{i}\)を\(F_{i}\)に置き換えた上で同様の議論を行えば、\(G^{\ast }\)に広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在することが保証できますが、これは広義の混合戦略ナッシュ均衡に他なりません。以上より、ナッシュの定理が導かれました。
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