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完備情報の静学ゲーム

複数均衡問題とフォーカルポイント

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ナッシュの定理

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複数均衡問題に対する説明体系の種類

問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。ゲーム\(G\)に複数のナッシュ均衡が存在するとともに、それらがいずれも支配戦略均衡支配される戦略の逐次消去による解ではない場合、プレイヤーたちがその中のどれを実際にプレーすることになるかを合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であることを根拠として説明できるとは限りません

例(複数均衡の問題)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲーム\(G\)について考えます。純粋戦略の組である\(\left( R,R\right) \)と\(\left(L,L\right) \)がともに純粋戦略ナッシュ均衡であることは明らかです。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & R & L \\ \hline
R & 1^{\ast },1^{\ast } & 0,0 \\ \hline
L & 0,0 & 1^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

このゲーム\(G\)において任意のプレイヤーは支配戦略を持たないため、ナッシュ均衡である\(\left( R,R\right) \)と\(\left( L,L\right) \)はともに支配戦略均衡ではなく、支配される戦略の逐次消去の解でもありません。したがって、\(\left( R,R\right) \)と\(\left( L,L\right) \)のどちらが実際にプレーされることになるかを、プレイヤーの合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であるという仮定を根拠に説明できるとは限りません。

このような事情を踏まえると、複数均衡の問題に対しては、特定のナッシュ均衡がプレーされる根拠を与える何らかの説明体系が必要です。複数均衡問題の説明体系としては、大きく分けて2種類あります。1つ目はゲームの利得構造から説明する方法であり、2つ目はゲームに記述されていない要素、特にプレイヤーの心理的な側面から説明する方法です。今回は後者の立場から複数均衡の問題について考えます。

 

フォーカルポイント

プレイヤーたちがお互いに相談できない状況において何らかの選択を迫られた場合に、何らかの要因により、ある選択肢が他の選択肢よりもプレイヤーたちの注意を引くものであるならば、プレイヤーたちはその選択肢を選ぶことが予想されます。そのような選択肢をフォーカルポイント(focal point)やシェリングポイント(Schelling point)などと呼びます。

戦略型ゲーム\(G\)に複数のナッシュ均衡が存在するとともに、その中の1つがプレイヤーたちにとってフォーカルポイントである場合、プレイヤーたちはフォーカルポイントをプレーすることが予想されます。ただし、複数のナッシュ均衡の中のどれがフォーカルポイントになるかは、プレイヤーたちの知覚や心理、彼らが所属する社会の文化や規範、慣習、法律など、ゲームのルールとして記述されない要素によって決定されます。

例(フォーカルポイント)
フォーカルポイントの提唱者であるトーマス・シェリング(Thomas Schelling)は以下のような実験を行いました。彼は米国人の被験者に対して「事前に連絡を取ることができない相手とニューヨークで会わなければならないのであればどの場所へ向かうか」と尋ねました。特定の場所を候補として提示していないため、被験者は無数の選択肢に直面しています。2人が同じ場所を選べば会うことができますが、異なる場所を選べば会うことができません。会うことが目的であるため、2人が同じ場所を選ぶことが望ましい結果であり、それが純粋戦略ナッシュ均衡になります。ただし、どの場所で会うかは問題ではないため、このゲームには無数の純粋戦略ナッシュ均衡が存在します。具体例を挙げると、「2人がともにセントラルパークを選ぶ」「2人がともにタイムズスクエアを選ぶ」「2人がともに自由の女神を選ぶ」などはいずれもナッシュ均衡です。したがって、これは複数均衡問題です。ただ、被験者の多数は「グランドセントラル駅」を選択したため、多くの場合、「2人がともにグランドセントラル駅を選ぶ」というナッシュ均衡がプレーされることになります。米国人にとって「グランドセントラル駅」はニューヨークにおける待ち合わせ場所の定番であるため、それがフォーカルポイントとして機能したということです。仮に、被験者が米国の事情に疎い外国人である場合、「グランドセントラル駅」はフォーカルポイントになり得ないため、「2人がともにグランドセントラル駅を選ぶ」というナッシュ均衡が突出してプレーされることにはなりません。ゲームの構造は同じでも、プレイヤーの社会的背景が異なればフォーカルポイントも変わり得るということです。フォーカルポイントはゲームのルールとして記述されない要素によって決定されます。

例(フォーカルポイント)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲーム\(G\)について再び考えます。先に指摘したように、\(\left( R,R\right) \)と\(\left( L,L\right) \)はともに純粋戦略ナッシュ均衡ですが、プレイヤーたちがどちらを実際にプレーすることになるかは、合理性や警戒心の仮定、もしくはそれらが共有知識であるという仮定から予想することはできません。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & R & L \\ \hline
R & 1^{\ast },1^{\ast } & 0,0 \\ \hline
L & 0,0 & 1^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

では、このゲームに以下のような文脈を与えたらどうなるでしょうか。車を運転している2人がプレイヤーです。ただし、2人は細い道路を向い合った方向に走行中であり、数分後には同じ地点へ到達します。それぞれのプレイヤーは自分から見て右側車線\(R\)を走るか左側車線\(L\)を走るかのどちらか一方を選択します。2人が同じ戦略を選べば2台の車はすれ違うことができますが、その際に各々が得る利得を\(1\)で表します。一方、2人が異なる戦略を選べば2台の車は衝突し、各々は利得\(0\)を得ます。道路は暗いため、直前にハンドルを切って衝突を回避することができません。繰り返しになりますが、\(\left( R,R\right) \)と\(\left( L,L\right) \)はともにナッシュ均衡であるため、これは複数均衡問題です。仮にゲームの舞台が日本であれば、車は左側通行することが法律で定められており、そのことが広く知れ渡っているため、プレイヤーたちにとって左側車線\(L\)を走行することがフォーカルポイントとなり、その結果、\(\left( L,L\right) \)がプレーされることになります。一方、ゲームの舞台が米国であれば、車は右側通行することが定められているため、プレイヤーたちにとって右側車線\(R\)を走行することがフォーカルポイントとなり、その結果、\(\left( R,R\right) \)がプレーされることになります。ゲームの構造は同じでも、プレイヤーの社会的背景が異なればフォーカルポイントも変わり得るということです。フォーカルポイントはゲームのルールとして記述されない要素によって決定されます。

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