完備情報の静学ゲームにおけるプレイヤーの意思決定を純粋戦略と呼ばれる概念を用いて表現します。
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純粋戦略

プレイヤーたちが直面する戦略的状況が完備情報ゲームである場合には、それを戦略ゲームとして定式化できます。では、プレイヤーたちの意思決定をどのように定式化すればよいでしょうか。プレイヤーの意思決定は戦略(strategy)と呼ばれる概念を用いて表現します。

一般に、プレイヤーの戦略とは、プレイヤーがゲーム中に意志決定を行うそれぞれの局面において、そこで与えられた情報と行動を踏まえた上でどの行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画として定義されます。以上を踏まえた上で、完備情報の静学ゲームにおける戦略とは何であるかを以下で説明します。

まず、プレイヤーたちが順番に意思決定を行う動学ゲームでは、プレイヤーの戦略とは、自分とは異なるタイミングで意志決定を行う他のプレイヤーたちの選択の結果として実現し得るすべての経路を想定した上で、各経路において自分がどのような行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画に相当します。一方、プレイヤーたちが同時に意思決定を行う静学ゲームでは、すべてのプレイヤーが同時に 1 度だけ意志決定を行うため、それぞれのプレイヤーは複数の経路を想定する必要がありません。

また、ゲームのルールが共有知識ではない不完備情報ゲームでは、プレイヤーはゲームのルールについて確かな認識を持っていません。したがって、そこでのプレイヤーの戦略とは、実現し得るルールのあらゆる状態を想定した上で、それぞれの状態において自分がどのような行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画に相当します。一方、ゲームのルールが共有知識である完備情報ゲームでは、すべてのプレイヤーはゲームのルールについて確かな認識を持っているため、それぞれのプレイヤーは実現し得る複数の状態を想定する必要がありません。

以上を踏まえると、完備情報の静学ゲームにおけるプレイヤーの戦略とは、単純に、プレイヤーが選択可能な行動の中から 1 つの行動を選ぶことを意味します。完備情報の静学ゲームでは、プレイヤーが 1 つの戦略を選ぶことと 1 つの行動を選ぶことと実質的に同じです。そこで、プレイヤー\(i\in I\)が確定的に選ぶ行動をプレイヤー\(i\)の戦略(strategy)や純粋戦略(pure strategy)などと呼び、これを\(s_{i}\)で表します。

すべてのプレイヤーの戦略の組を\(s_{I}=(s_{i})_{i\in I}\)で表し、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーの戦略の組を\(s_{-i}=(s_{j})_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\)で表します。\(s_{I}=\left( s_{i},s_{-i}\right) \)です。

プレイヤー\(i\)が選択可能なすべての戦略からなる集合をプレイヤー\(i\)の戦略集合(strategy set)や戦略空間(strategy space)などと呼び、これを\(S_{i}\)で表します。\(s_{i}\in S_{i}\)です。繰り返しになりますが、完備情報の静学ゲームにおけるプレイヤー\(i\)の戦略は選択可能な行動の中から 1 つの行動を確定的に選択することを意味するため、プレイヤー\(i\)の行動集合\(A_{i}\)とすると\(S_{i}=A_{i}\)という関係が成り立ちます。つまり、戦略集合は行動集合と一致します。

すべてのプレイヤーの戦略集合の直積を\(S_{I}=\prod_{i\in I}S_{i}\)で表します。また、\(S_{-i}=\prod_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }S_{j}\)とします。\(s_{I}\in S_{I}\)かつ\(s_{-i}\in S_{-i}\)です。

例(純粋戦略)
2 人がジャンケンを 1 回だけ行う状況を想定します。プレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の行動集合は\(A_{i}=\{R,P,S\}\)です。ただし、\(R\)はグー(Rock)、\(P\)はパー(Paper)、\(S\)はチョキ(Scissors)を表します。プレイヤーの利得の体系として典型的なものは「自分が勝つ」「あいこ」「相手が勝つ」の順番で好むというものです。このような状況は、例えば、以下の利得行列として表されます。それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=A_{i}\)であり、その要素である\(R,P,S\)が純粋戦略です。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
1\backslash 2 & R & P & S \\ \hline
R & 0,0 & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
P & 1,-1 & 0,0 & -1,1 \\ \hline
S & -1,1 & 1,-1 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$
表:利得行列
例(純粋戦略)
複占市場において 2 つの企業が数量競争を行う状況を想定します。プレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)であり、それぞれの企業\(i\in I\)は商品の生産量\(q_{i}\)として任意の非負の実数を選択可能であるならば、その行動集合は\(\mathbb{R} _{+}\)となります。両企業による生産量の組み合わせが\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)であるとき、商品の市場価格が\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) >0\)で均衡するものとします。また、企業\(i\)が商品を\(q_{1}\)だけ生産するために必要な費用を\(c_{i}\left( q_{i}\right) \geq 0\)で表します。このとき、\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利得は、収入から費用を差し引いて得られる利潤と一致するのであれば、企業\(1\)の効用関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1},q_{1}\right) =p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right)
\end{equation*}となります。同様に、企業\(2\)の効用関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
u_{2}\left( q_{1},q_{1}\right) =p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot
q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
\end{equation*}となります。それぞれのプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)であり、その要素である非負の実数が純粋戦略です。

 

戦略型ゲームの言い換え

復習になりますが、戦略型ゲームは、\begin{equation*}
G=(I,\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I})
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(A_{i}\)はプレイヤー\(i\)の行動集合、\(u_{i}\)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

ただ、戦略型ゲーム\(G\)が表現するゲームが完備情報の静学ゲームである場合、先に述べた理由により、任意のプレイヤー\(i\)について、純粋戦略集合\(S_{i}\)は行動集合\(A_{i}\)と一致します。したがって、完備情報の静学ゲームを表す戦略型ゲームについては、それを、\begin{equation*}
G=(I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I})
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。

プレイヤーによる意思決定を純戦略という概念を用いて定式化しましたが、そもそもプレイヤーはどのような行動原理のもとで意思決定を行うのでしょうか。次回は合理性の仮定や均衡について解説します。

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