ゼロ和ゲームにおける純粋戦略ナッシュ均衡
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。さらに、このゲーム\(G\)は2人ゼロ和ゲームであるものとします。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
2人ゼロ和ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちの純粋戦略からなる組\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \in S_{1}\times S_{2}\)が広義の純粋戦略ナッシュ均衡であることとは、\(s_{1}^{\ast }\)と\(s_{2}^{\ast }\)がお互いに相手の最適反応になっていること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{1}\in S_{1}:u_{1}\left( s_{1}^{\ast
},s_{2}^{\ast }\right) \geq u_{1}\left( s_{1},s_{2}^{\ast }\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{2}\in S_{2}:u_{2}\left( s_{1}^{\ast
},s_{2}^{\ast }\right) \geq u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 0,0 & -1,1^{\ast } \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & 0^{\ast },0^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
どの結果が実現した場合においても2人が得る利得の和は\(0\)であるため、これは2人ゼロ和ゲームです。プレイヤーが相手の純粋戦略に対する最適反応を選んだ場合に得られる利得に印\(\ast \)をつけています。表から明らかであるように、純粋戦略の組\begin{equation*}\left( D,R\right)
\end{equation*}は最適反応からなる組であるため、これは\(G\)における純粋戦略ナッシュ均衡です。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 3,-3 & 1^{\ast },-1^{\ast } \\ \hline
D & 4^{\ast },-4 & -2,2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
どの結果が実現した場合においても2人が得る利得の和は\(0\)であるため、これは2人ゼロ和ゲームです。プレイヤーが相手の純粋戦略に対する最適反応を選んだ場合に得られる利得に印\(\ast \)をつけています。表から明らかであるように、純粋戦略の組\begin{equation*}\left( U,R\right)
\end{equation*}は最適反応からなる組であるため、これは\(G\)における純粋戦略ナッシュ均衡です。
一般に、戦略型ゲームには純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限りません。2人ゼロ和ゲームもまた戦略型ゲームであるため、2人ゼロ和ゲームにも純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & -1,1^{\ast } & 1^{\ast },-1 \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & -1,1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
どの結果が実現した場合においても2人が得る利得の和は\(0\)であるため、これは2人ゼロ和ゲームです。プレイヤーが相手の純粋戦略に対する最適反応を選んだ場合に得られる利得に印\(\ast \)をつけています。表から明らかであるように、最適反応の組であるような純粋戦略の組は存在しないため、このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡は存在しません。
純粋戦略からなる鞍点
2人ゼロ和ゲーム\(G\)において純粋戦略からなる組\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \in S_{1}\times S_{2}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall s_{1}\in S_{1},\ \forall s_{2}\in S_{2}:u_{1}\left(
s_{1},s_{2}^{\ast }\right) \leq u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast
}\right) \leq u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、このような\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast}\right) \)をゲーム\(G\)の鞍点（saddle point）と呼びます。
純粋戦略からなる組\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)が鞍点である場合には、鞍点の定義より、\begin{equation*}\forall s_{1}\in S_{1}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}^{\ast }\right) \leq
u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right)
\end{equation*}を得ますが、以上の事実は、プレイヤー\(1\)にとって\(s_{1}^{\ast }\)が\(s_{2}^{\ast }\)に対する最適反応であることを意味します。同じく、鞍点の定義より、\begin{equation*}\forall s_{2}\in S_{2}:u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \leq
u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{equation*}を得ますが、2人ゼロ和ゲームでは任意の\(\left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}\)において、\begin{equation*}u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) =-u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の条件は、\begin{equation*}
\forall s_{2}\in S_{2}:-u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \leq
-u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall s_{2}\in S_{2}:u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \geq
u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。以上の事実は、プレイヤー\(2\)にとって\(s_{2}^{\ast }\)が\(s_{1}^{\ast }\)に対する最適反応であることを意味します。以上より、鞍点\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)を構成する純粋戦略はお互いに相手の最適反応であるため、鞍点\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)は純粋戦略ナッシュ均衡でもあります。
逆の議論も成立するため以下を得ます。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 0,0 & -1,1^{\ast } \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & 0^{\ast },0^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
先に示したように、これは2人ゼロ和ゲームであるとともに、純粋戦略の組\begin{equation*}
\left( D,R\right)
\end{equation*}は純粋戦略ナッシュ均衡です。したがって、先の命題より、これは\(G\)の鞍点でもあります。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 3,-3 & 1^{\ast },-1^{\ast } \\ \hline
D & 4^{\ast },-4 & -2,2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
先に示したように、これは2人ゼロ和ゲームであるとともに、純粋戦略の組\begin{equation*}
\left( U,R\right)
\end{equation*}は純粋戦略ナッシュ均衡です。したがって、先の命題より、これは\(G\)の鞍点でもあります。
2人ゼロ和ゲームは戦略型ゲームであるため、2人ゼロ和ゲームには純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限りません。純粋戦略ナッシュ均衡と鞍点は一致するため、以上の事実は、2人ゼロ和ゲームには純粋戦略の範囲において鞍点が存在するとは限らないことを意味します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & -1,1^{\ast } & 1^{\ast },-1 \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & -1,1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
先に示したように、これは2人ゼロ和ゲームであるとともに、純粋戦略ナッシュ均衡を持ちません。したがって、このゲーム\(G\)には純粋戦略の範囲において鞍点は存在しません。
ゼロ和ゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡
戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}が2人ゼロ和ゲームであるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I=\left\{ 1,2\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( s_{1},s_{2}\right) \in S_{1}\times
S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) +u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
2人ゼロ和ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を採用する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として記述されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。
2人ゼロ和ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤーたちの混合戦略からなる組\(\left(\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \in \Delta \left( S_{1}\right) \times \Delta \left( S_{2}\right) \)が広義の混合戦略ナッシュ均衡であることとは、\(\sigma _{1}^{\ast }\)と\(\sigma _{2}^{\ast }\)がお互いに相手の最適反応になっていること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{1}\in \Delta \left( S_{1}\right)
:F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \geq F_{1}\left(
\sigma _{1},\sigma _{2}^{\ast }\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \sigma _{2}\in \Delta \left( S_{2}\right)
:F_{2}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \geq F_{2}\left(
\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
先に例を通じて確認したように、2人ゼロ和ゲーム\(G\)に純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限りません。一方、2人ゼロ和ゲームは戦略型ゲーム\(G\)であり、ナッシュの定理より有限な戦略型ゲームには混合戦略ナッシュ均衡が存在するため、有限な2人ゼロ和ゲームには混合戦略ナッシュ均衡が必ず存在します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & -1,1^{\ast } & 1^{\ast },-1 \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & -1,1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
先に確認したように、このゲームは2人ゼロ和ゲームである一方で純粋戦略ナッシュ均衡は存在しません。その一方で、このゲームは有限ゲームであるため、ナッシュの定理より、混合戦略ナッシュ均衡が存在します。実際、以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}
\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\ast }\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( L\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( R\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma_{2}^{\ast }\right) \)はこのゲームの混合戦略ナッシュ均衡です（演習問題）。
混合戦略からなる鞍点
2人ゼロ和ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において混合戦略からなる組\(\left(\sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \in \Delta \left( S_{1}\right) \times \Delta \left( S_{2}\right) \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \sigma _{1}\in \Delta \left( S_{1}\right) ,\ \forall \sigma _{2}\in
\Delta \left( S_{2}\right) :F_{1}\left( \sigma _{1},\sigma _{2}^{\ast
}\right) \leq F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right)
\leq F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、このような\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma_{2}^{\ast }\right) \)をゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)の鞍点（saddle point）と呼びます。
混合戦略からなる組\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)が鞍点である場合には、鞍点の定義より、\begin{equation*}\forall \sigma _{1}\in \Delta \left( S_{1}\right) :F_{1}\left( \sigma
_{1},\sigma _{2}^{\ast }\right) \leq F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma
_{2}^{\ast }\right)
\end{equation*}を得ますが、以上の事実は、プレイヤー\(1\)にとって\(\sigma _{1}^{\ast }\)が\(\sigma_{2}^{\ast }\)に対する最適反応であることを意味します。同じく、鞍点の定義より、\begin{equation*}\forall \sigma _{2}\in \Delta \left( S_{2}\right) :F_{1}\left( \sigma
_{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \leq F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast
},\sigma _{2}\right)
\end{equation*}を得ますが、2人ゼロ和ゲームの混合拡張では任意の\(\left( \sigma _{1},\sigma_{2}\right) \in \Delta \left( S_{1}\right) \times \Delta \left( S_{2}\right) \)において、\begin{equation*}F_{1}\left( \sigma _{1},\sigma _{2}\right) =-F_{2}\left( \sigma _{1},\sigma
_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の条件は、\begin{equation*}
\forall \sigma _{2}\in \Delta \left( S_{2}\right) :-F_{2}\left( \sigma
_{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \leq -F_{2}\left( \sigma _{1}^{\ast
},\sigma _{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \sigma _{2}\in \Delta \left( S_{2}\right) :F_{2}\left( \sigma
_{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \geq F_{2}\left( \sigma _{1}^{\ast
},\sigma _{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。以上の事実は、プレイヤー\(2\)にとって\(\sigma _{2}^{\ast }\)が\(\sigma _{1}^{\ast }\)に対する最適反応であることを意味します。以上より、鞍点\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast}\right) \)を構成する混合戦略はお互いに相手の最適反応であるため、鞍点\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast}\right) \)は混合戦略ナッシュ均衡でもあります。
逆の議論も成立するため以下を得ます。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & -1,1^{\ast } & 1^{\ast },-1 \\ \hline
D & 1^{\ast },-1 & -1,1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
先に確認したように、このゲームは2人ゼロ和ゲームである一方で純粋戦略ナッシュ均衡は存在しません。その一方で、以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}
\sigma _{1}^{\ast } &=&\left( \sigma _{1}^{\ast }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\ast }\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{2}^{\ast } &=&\left( \sigma _{2}^{\ast }\left( L\right) ,\sigma
_{2}^{\ast }\left( R\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma_{2}^{\ast }\right) \)はこのゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)の混合戦略ナッシュ均衡です。したがって、先の命題より、\(G^{\ast }\)の鞍点でもあります。
演習問題
s_{1},s_{2}^{\ast }\right) \leq u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast
}\right) \leq u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。以上の命題は、\begin{equation*}
\forall s_{1}\in S_{1},\ \forall s_{2}\in S_{2}:u_{2}\left( s_{1}^{\ast
},s_{2}\right) \leq u_{2}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \leq
u_{2}\left( s_{1},s_{2}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であることを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】