二重否定導入

論理式 A が任意に与えられたとき、「Aは真である」という前提から「Aでないことはない」という結論を導く推論規則を二重否定導入と呼びます。
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二重否定導入

論理式\(A\)を任意に選んだとき、\begin{align*}
A\rightarrow \lnot \lnot A& \Leftrightarrow \lnot A\vee \lnot \lnot A\quad
\because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
& \Leftrightarrow A\vee \lnot A\quad \because \text{交換律、二重否定} \\
& \Leftrightarrow \top \quad \because \text{排中律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
A\Rightarrow \lnot \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(二重否定導入)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\ \Rightarrow \ \lnot \lnot A
\end{equation*}
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つまり、論理式\(A\)が真であるような任意の解釈において二重否定\(\lnot \lnot A\)は必ず真になります。この推論規則を二重否定導入(double negation introduction)と呼びます。

例(二重否定導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は週末である。} \\
&&\text{ゆえに、週末でないことはない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P\)を、\begin{equation*}
P:\text{今日は週末である}
\end{equation*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\ \therefore \ \lnot \lnot P
\end{equation*}と定式化されます。二重否定導入より、これは妥当な推論です。
例(二重否定導入)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot P\ \therefore \ P\vee Q\rightarrow \lnot \lnot Q
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\lnot P,\ P\vee Q\ \therefore \ \lnot \lnot Q
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\lnot P\)と\(P\vee Q\)が真であるものとします。\(\lnot P\)が真であるとき、\(P\)は偽です。また、\(P\vee Q\)が真であるとき、\(P\)と\(Q\)の少なくとも一方が真です。したがって、\(Q\)が真であるため、二重否定導入より\(\lnot \lnot Q\)は真であり、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\lnot P\ \models \ P\vee Q\rightarrow \lnot \lnot Q
\end{equation*}が成り立ちます。

 

二重否定導入の一般化

二重否定導入より、任意の論理式\(A\)について、\begin{equation*}
A\ \models \ \lnot \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(A\)として論理式\(\lnot A\)を採用すれば、\begin{equation*}
\lnot A\ \models \ \lnot \lnot \lnot A
\end{equation*}を得ますし、\(A\)として論理式\(\lnot \lnot \)を採用すれば、\begin{equation*}
\lnot \lnot A\ \models \ \lnot \lnot \lnot \lnot A
\end{equation*}を得ます。以降についても同様です。

例(二重否定導入)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot P\ \therefore \ \lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right)
\rightarrow \lnot \lnot \lnot \lnot Q
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\lnot P,\ \lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right) \ \therefore \
\lnot \lnot \lnot \lnot Q
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\lnot P\)と\(\lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right) \)がともに真であるものとします。ド・モルガンの法則より、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot
\left( \lnot P\wedge \lnot Q\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\vee \lnot \lnot Q
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(\lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right) \)が真であるとき、\(\lnot \lnot P\)と\(\lnot \lnot Q\)の少なくとも一方は真です。また、\(\lnot P\)が真であるとき、その否定である\(\lnot \lnot P\)は偽です。したがって\(\lnot \lnot Q\)は真であるため、二重否定導入より\(\lnot \lnot \lnot \lnot Q\)は真です。以上でもとの推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\lnot P\ \models \ \lnot \left( \lnot \left( P\vee Q\right) \right)
\rightarrow \lnot \lnot \lnot \lnot Q
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は否定除去と呼ばれる推論規則について学びます。

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