排中律
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における排中律より、\begin{equation*}\overline{A}\vee \lnot \overline{A}\Leftrightarrow \overline{\top }
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
A\vee \lnot A\Leftrightarrow \top
\end{equation*}が成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても排中律（law of excluded middle）が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。排中律は\(\overline{A}\vee \lnot \overline{A}\)が任意の解釈において真であること、すなわち\(\overline{A}\)と\(\lnot \overline{A}\)の少なくとも一方が真であることを意味しますが、否定の定義より\(\overline{A}\)と\(\lnot \overline{A}\)の真理値は常に逆転しているため、これは\(\overline{A}\)が真もしくは偽のどちらか一方であることを意味します。ゆえに排中律とは、論理式から生成される命題が真か偽のどちらか一方であり、真と偽の中間の状態は起こり得ないという主張です。以上が排中律と呼ばれる理由です。
\end{equation*}と定義します。ただし、\(x\)の定義域はすべての自然数からなる集合です。論理式\(P\left(x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}2\text{で割り切れるか割り切れないかの少なくとも一方である}
\end{equation*}となりますが、排中律より、これは任意の自然数\(x\)について真です。
\end{equation*}と定義します。ただし、\(x,y\)の定義はともにある街の住人からなる集合です。論理式\(P\left( x,y\right) \vee \lnot P\left( x,y\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}y\text{と知り合いであるか知り合いでないかの少なくとも一方である}
\end{equation*}となりますが、排中律より、これは任意の住人\(x,y\)について真です。
P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は恒真式です。実際、この論理式を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \vee \left( \lnot
P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\vee \lnot \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{排中律}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}は恒真式、恒偽式、事実式のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}は恒真式、恒偽式、事実式のどれでしょうか。議論してください。
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