任意の論理式から排中律と呼ばれる恒真式を構成できます。

2018年12月2日:公開

排中律

任意の論理式から以下のようにして恒真式を構成できます。これを排中律(law of excluded middle)と呼びます。

命題(排中律)
任意の論理式\(A\)と命題定数\(T\)の間には以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\vee \lnot A\Leftrightarrow T
\end{equation*}
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排中律は、任意の論理式\(A\)について\(A\vee \lnot A\)が常に真であることを主張しています。しかも、\(A\)と\(\lnot A\)の真理値は常に逆転しているため、\(A\)と\(\lnot A\)がともに真であったり、ともに偽であることはありません。ゆえに排中律とは、論理式は任意の解釈において真か偽のどちらか一方であるという主張です。真と偽の中間の状態は起こり得ないという意味において、この主張は排中律と呼ばれます。

命題定数\(T\)は恒真式\(\top \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{equation*}
A\vee \lnot A\Leftrightarrow \top
\end{equation*}とすることができます。つまり、論理式とその否定の論理和をとると恒真式になります。

次回は二重否定について学びます。

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