論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\forall \)を作用させることで得られる\(\forall x\in X\ A\)もまた\(D\)の論理式です。\(\forall \)は全称記号と呼ばれる量化記号であり、量化記号を作用して得られる命題\(\forall x\in X\ A\)を全称命題と呼びます。
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全称命題

論理式の定義より、論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\forall \)を作用させることで得られる\(\forall x\in X\ A\)もまた論理式です。\(\forall \)は全称記号(universal quantifier)と呼ばれる量化記号であり、全称記号を作用させて得られる論理式\(\forall x\in X\ A\)を全称命題(universal proposition)と呼びます。これは「\(X\)の任意の値\(x\)について\(A\)(for any \(x\) in \(X\), \(A\))」や「\(X\)のそれぞれの値\(x\)について\(A\)(for every \(x\) in \(X\), \(A\))」などの表現に対応する論理式です。

全称命題\(\forall x\in X\ A\)において変数\(x\)の定義域\(X\)が文脈から明らかであるとき、それを省略して\(\forall x\ A\)と表記することができます。また、見やすさを考慮して\(\forall x\in X\ A\)を\(\forall x\in X:A\)と表記する場合もあります。

例(全称命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{任意の実数の平方は非負である} \tag{1}
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}
P\left( x\right) :x^{2}\geq 0
\end{equation*}とおきます。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合です。\(\left( 1\right) \)の主張は「任意の実数\(x\)について命題\(P\left( x\right) \)が真である」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in X\ P\left( x\right)
\end{equation*}となります。
例(全称命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{日本で生まれた人はいずれも日本人である} \tag{1}
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{の出生地は日本である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は日本人である}
\end{eqnarray*}とおきます。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合です。特定の個人\(x\in X\)に注目したとき、\begin{equation}
x\text{の出生地が日本ならば}x\text{は日本人である} \tag{2}
\end{equation}という言明は\(P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \)として定式化されます。\(\left( 1\right) \)の主張は「\(\left( 2\right) \)が任意の個人\(x\)について成立する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、\begin{equation*}
\text{出生地が日本でない人はいずれも日本人ではない}
\end{equation*}という主張は、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( \lnot P\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。
例(全称命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{加藤が持っているモノはすべて鈴木も持っている} \tag{1}
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{を持っている}
\end{equation*}とおきます。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべてのモノからなる集合です。\(x\)の値である「加藤」と「鈴木」、さらに特定のモノ\(y\in Y\)に注目したとき、\begin{equation}
\text{加藤が}y\text{を持っているならば鈴木も}y\text{を持っている} \tag{2}
\end{equation}という言明は\(P\left( \text{加藤},y\right) \rightarrow P\left( \text{鈴木},y\right) \)として定式化されます。\(\left( 1\right) \)の主張は「\(\left( 2\right) \)が任意のモノ\(y\)について成立する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}
\forall y\in Y\ \left( P\left( \text{加藤},y\right) \rightarrow
P\left( \text{鈴木},y\right) \right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、\begin{equation*}
\text{鈴木が持っていないものはすべて山田が持っている}
\end{equation*}という言明は、\begin{equation*}
\forall y\in Y\ \left( \lnot P\left( \text{鈴木},y\right)
\rightarrow P\left( \text{山田},y\right) \right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。また、\begin{equation*}
\text{車を持っている人は誰もが免許を持っている}
\end{equation*}という言明は、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( P\left( x,\text{車}\right) \rightarrow P\left(
x,\text{免許}\right) \right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。
例(全称命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{この町の住人は全員がお互いに知り合いである} \tag{1}
\end{equation}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}とおきます。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)と変数\(y\)の定義域\(Y\)はいずれも問題としている町のすべての住人からなる集合です。ある住人\(\overline{y}\in Y\)に注目したとき、この人が町のすべての住人と知り合いであるという主張は、\begin{equation}
\forall x\in X\ P\left( x,\overline{y}\right) \tag{2}
\end{equation}と定式化されます。もとの主張\(\left( 1\right) \)は、\(\left( 2\right) \)が特定の住人\(\overline{y}\)についてだけではなく、任意の住人\(y\in Y\)について成り立つという主張であるため、\begin{equation*}
\forall y\in Y\ \left( \forall x\in X\ P\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}と定式化されます。

 

全称命題の解釈

論理式\(A\)が変数\(x,y_{1},\cdots ,y_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)であるとき、変数\(x\)に関する全称命題\(\forall x\in X\ A\)は変数\(y_{1},\cdots ,y_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\begin{equation}
\left( \forall x\in X\ A\right) \left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \tag{1}
\end{equation}であるものと定めた上で、これを以下の論理積\begin{equation}
\bigwedge\limits_{x\in X}A\left( x,y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \tag{2}
\end{equation}と同一視します。論理積についてはすでに解説した通りです。開論理式を解釈することとは以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}
\end{eqnarray*}を具体的に特定することを意味し、解釈を任意に選ぶと論理式\(\left( 1\right) \)からは以下の命題\begin{equation*}
\left( \forall x\in X\ A\right) \left( \overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{n}\right)
\end{equation*}が得られ、論理式\(\left( 2\right) \)からは以下の命題\begin{equation*}
\bigwedge\limits_{x\in X}A\left( x,\overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{n}\right)
\end{equation*}がそれぞれ得られますが、任意の解釈においてこれらの命題の値は一致するものと定めるということです。

例(全称命題の解釈)
以下の主張\begin{equation}
\text{任意の整数 }x\ \text{について }x^{2}\geq x\ \text{が成り立つ} \tag{1}
\end{equation}について考えます。変数\(x\)の定義域がすべての整数を要素とする集合\(X=\left\{ \cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \right\} \)であるとき、上の主張は以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:x^{2}\geq x \tag{2}
\end{equation}として定式化されます。全称命題の定義より、これは以下の論理積\begin{equation}
\bigwedge\limits_{x\in X}x^{2}\geq x \tag{3}
\end{equation}と同一視されます。整数\(x\)を任意に選んだとき\(x^{2}\geq x\)は真であるため、論理積の定義より\(\left( 3\right) \)は真です。したがって、\(\left( 3\right) \)と同一視される\(\left( 2\right) \)さらには\(\left( 1\right) \)もまた真です。
例(全称命題の解釈)
以下の主張\begin{equation}
\text{任意の実数 }x\ \text{について }x^{2}\geq x\ \text{が成り立つ} \tag{1}
\end{equation}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)がすべての実数を要素とする集合であるとき、上の主張は以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:x^{2}\geq x \tag{2}
\end{equation}として定式化されます。全称命題の定義より、これは以下の論理積\begin{equation}
\bigwedge\limits_{x\in X}x^{2}\geq x \tag{3}
\end{equation}と同一視されます。例えば、実数\(x=\frac{1}{2}\)に対して\(x^{2}\geq x\)は偽であるため、論理積の定義より\(\left( 3\right) \)は偽です。したがって、\(\left( 3\right) \)と同一視される\(\left( 2\right) \)さらには\(\left( 1\right) \)もまた偽です。
例(全称命題の解釈)
以下の主張\begin{equation}
\text{任意の実数 }x\ \text{について }x>2\ \text{ならば }x^{2}>2 \tag{1}
\end{equation}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)がすべての実数を要素とする集合であるとき、上の主張は以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:\left( x>2\rightarrow x^{2}>2\right) \tag{2}
\end{equation}として定式化されます。全称命題の定義より、これは以下の論理積\begin{equation}
\bigwedge\limits_{x\in X}\left( x>2\rightarrow x^{2}>2\right) \tag{3}
\end{equation}と同一視されます。実数\(x\)を任意に選んだとき\(x>2\rightarrow x^{2}>2\)は真であるため、論理積の定義より\(\left( 3\right) \)は真です。したがって、\(\left( 3\right) \)と同一視される\(\left( 2\right) \)さらには\(\left( 1\right) \)もまた真です。
例(全称命題の解釈)
以下の主張\begin{equation}
\text{日本で生まれた人は全員日本人である}
\tag{1}
\end{equation}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)がすべての人間を要素とする集合であるとき、上の主張は以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:\left( x\ \text{の出生地は日本}\rightarrow x\ \text{の国籍は日本}\right) \tag{2}
\end{equation}として定式化されます。全称命題の定義より、これは以下の論理積\begin{equation}
\bigwedge\limits_{x\in X}\left( x\ \text{の出生地は日本}\rightarrow x\ \text{の国籍は日本}\right) \tag{3}
\end{equation}と同一視されます。日本は出生地主義ではなく血統主義を採用しているため、出生は日本だが国籍が日本ではない人が存在します。そのような人を\(x=\overline{x}\)で表すとき、以下の命題\begin{equation*}
\overline{x}\ \text{の出生地は日本}\rightarrow \overline{x}\ \text{の国籍は日本}
\end{equation*}は偽であるため、論理積の定義より\(\left( 3\right) \)は偽です。したがって、\(\left( 3\right) \)と同一視される\(\left( 2\right) \)さらには\(\left( 1\right) \)もまた偽です。

論理式\(A\)が変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)であるとき、\(A\)において自由な現れが存在しない変数\(y\in Y\)を任意に選んだ上で全称命題\(\forall y\in Y\ A\)を作ることができますが、これは変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\begin{equation}
\left( \forall y\in Y\ A\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \tag{1}
\end{equation}であるものと定めた上で、これをもとの開論理式\begin{equation}
A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \tag{2}
\end{equation}と同一視します。開論理式を解釈することとは以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}
\end{eqnarray*}を具体的に特定することを意味し、解釈を任意に選ぶと論理式\(\left( 1\right) \)からは以下の命題\begin{equation*}
\left( \forall y\in Y\ A\right) \left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right)
\end{equation*}が得られ、論理式\(\left( 2\right) \)からは以下の命題\begin{equation*}
A\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right)
\end{equation*}がそれぞれ得られますが、任意の解釈においてこれらの命題の値は一致するものと定めるということです。

例(全称命題の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\(x\)とは異なる変数\(y\)に注目した上で全称命題\begin{equation*}
\forall y\in Y\ P\left( x\right)
\end{equation*}を作ることができますが、これは\(P\left( x\right) \)と同一視されます。
例(全称命題の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\begin{equation}
\forall x\in X\ P\left( x,y\right) \tag{1}
\end{equation}は変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、変数\(x\)の自由な現れを持ちません。したがって、以下の全称命題\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( \forall x\in X\ P\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。

論理式\(A\)が閉論理式であるとき、変数\(x\in X\)を任意に選んだ上で全称命題\(\forall y\in Y\ A\)を作ることができますが、これもまた閉論理式であるものと定めた上で、もとの論理式\(A\)と同一視します。閉論理式を解釈することとは以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式を構成するすべての命題関数の形状}
\end{eqnarray*}を具体的に特定することを意味しますが、任意の解釈において、論理式\(A\)から得られる命題と論理式\(\forall y\in Y\ A\)から得られる命題の真理値が一致するものと定めるということです。

例(全称命題の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\begin{equation}
\forall x\in X\ P\left( x\right) \tag{1}
\end{equation}は変数の自由な現れを持たない閉論理式です。したがって、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( \forall x\in X\ P\left( x\right) \right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。同様に、\begin{equation*}
\forall y\in Y\ \left( \forall x\in X\ P\left( x\right) \right)
\end{equation*}もまた\(\left( 1\right) \)と同一視されます。

次回は存在命題の解釈について学びます。

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