任意の論理式から矛盾律と呼ばれる恒偽式を構成できます。

2018年12月2日:公開

矛盾律

任意の論理式から以下のようにして恒偽式を構成できます。これを矛盾律(law of contradiction)と呼びます。

命題(矛盾律)
任意の論理式\(A\)と命題定数\(F\)の間には以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\wedge \lnot A\Leftrightarrow F
\end{equation*}
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矛盾律は、任意の論理式\(A\)について\(A\wedge \lnot A\)が常に偽であることを主張しています。しかも、\(A\)と\(\lnot A\)の真理値は常に逆転しているため、\(A\wedge \lnot A\)が偽の場合には\(A\)と\(\lnot A\)がともに真であったりともに偽であることはありません。ゆえに矛盾律とは、論理式は任意の解釈において真であると同時に偽であるような状況は起こりえないことを主張しています。

命題定数\(F\)は恒偽式\(\bot \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{equation*}
A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot
\end{equation*}とすることができます。つまり、論理式とその否定の論理積をとると恒偽式になります。

 

非矛盾律

矛盾律を構成する論理式の否定をとると、\begin{equation*}
\lnot \left( A\wedge \lnot A\right) \Leftrightarrow T
\end{equation*}という関係を得ます。これを非矛盾律(law of non-contradiction)と呼びます。矛盾律と非矛盾律は実質的に同じですので、どちらを採用しても構いません。

命題定数\(T\)は恒真式\(\top \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{equation*}
\lnot \left( A\wedge \lnot A\right) \Leftrightarrow \top
\end{equation*}とすることができます。

次回は排中律について学びます。

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