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PREDICATE LOGIC

述語論理における矛盾律

目次

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矛盾律

論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における矛盾律より、\begin{equation*}\overline{A}\wedge \lnot \overline{A}\Leftrightarrow \overline{\bot }
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot
\end{equation*}が成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても矛盾律(law of contradiction)が成り立つということです。

命題(矛盾律)
任意の論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{equation*}A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot
\end{equation*}が成り立つ。

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。矛盾律は\(\overline{A}\wedge \lnot \overline{A}\)が任意の解釈において偽であること、すなわち\(\overline{A}\)と\(\lnot \overline{A}\)がともに真になり得ないこと、すなわち\(\overline{A}\)が真かつ偽にはなり得ないことを意味します。ゆえに矛盾律とは、論理式から生成される命題が真であるとともに偽であるような状況は起こり得ないことを主張しています。

例(矛盾律)
命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}と定義します。ただし、\(x\)の定義域はすべての自然数からなる集合です。論理式\(P\left(x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}2\text{で割り切れるとともに}2\text{で割り切れない}
\end{equation*}となりますが、矛盾律より、これは任意の自然数\(x\)について偽です。
例(矛盾律)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}y\text{と知り合いである}
\end{equation*}と定義します。ただし、\(x,y\)の定義はともにある街の住人からなる集合です。論理式\(P\left( x,y\right) \wedge \lnot P\left( x,y\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}y\text{と知り合いであるとともに}x\text{は}y\text{と知り合いではない}
\end{equation*}となりますが、矛盾律より、これは任意の住人\(x,y\)について偽です。
例(矛盾律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \wedge \left( \lnot
P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は恒偽式です。実際、この論理式を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \wedge \left(
\lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\wedge \lnot \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{矛盾律}
\end{eqnarray*}となります。

 

非矛盾律

繰り返しになりますが、矛盾律より、任意の論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{equation*}A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を利用すると、\begin{equation*}
\lnot \left( A\wedge \lnot A\right) \Leftrightarrow \top
\end{equation*}を導くことができます。これを非矛盾律(law of non-contradiction)や無矛盾律などと呼びます。逆に、非矛盾律から矛盾律を導くこともできるため両者は必要十分です。

命題(非矛盾律)
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の2つは必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( A\wedge \lnot A\right) \Leftrightarrow \top
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(矛盾律)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)が任意に与えられたとき、以下の論理式\begin{equation*}\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right)
\end{equation*}は恒真式、恒偽式、事実式のどれでしょうか。議論してください。

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問題(矛盾律)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)が任意に与えられたとき、以下の論理式\begin{equation*}\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right)
\end{equation*}は恒真式、恒偽式、事実式のどれでしょうか。議論してください。

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命題論理における矛盾律

任意の論理式から矛盾律と呼ばれる恒偽式を構成できます。これは、論理式は任意の解釈において、真であると同時に偽であるような状況は起こりえないことを主張しています。

DISCUSSION

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