変数・定義域・命題関数
述語論理における議論の最小単位は命題関数（propositional function）です。命題関数とは変数を含む文や式であり、その真偽は変数に代入する値に応じて決定されます。そこで、命題関数や変数について改めて整理します。
未知の数・対象を表す文字や記号のことを変数（variable）や対象変数（object variable）などと呼びます。通常、変数を表記する際にはアルファベットの小文字\begin{equation*}
x,y,z,\cdots
\end{equation*}を利用します。つまり、\(x\)が変数であると言うとき、\(x\)は様々な値を取り得る記号であることを意味します。
変数\(x\)が取り得る値の範囲を\(x\)の定義域（domain）と呼び、多くの場合、これをアルファベットの大文字\begin{equation*} X
\end{equation*}を用いて表記します。変数\(x\)の定義域が\(X\)であることを明示的に表したい場合には、そのことを、\begin{equation*} x\in X
\end{equation*}と表記します。定義域\(X\)の中には変数\(x\)が取り得るすべての値が含まれていますが、それらの個々の値を対象定数（object constant）と呼びます。ただし、以降では誤解の恐れのない限りにおいて、対象定数をシンプルに定数（constant）や値（value）などと呼びます。
「\(x\in X\)」という表記は2通り意味で使われるため注意が必要です。「変数\(x\in X\)」という場合の\(x\in X\)は、変数\(x\)の定義域が\(X\)であることを表す表記です。「値\(x\in X\)」という場合の\(x\in X\)は、\(x\)が定義域\(X\)に属する値であることを表す表記です。両者を明示的に区別するために、変数を\(x\)で表記し、変数\(x\)がとり得る値を\(\overline{x}\)で表記することもできます。
1つの変数\(x\)に関する命題関数を表す記号として、アルファベットの大文字を用いて、\begin{equation*} P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,\cdots
\end{equation*}などを利用します。命題関数\(P\left( x\right) \)の変数\(x \)の定義域が\(X\)であることを明示したい場合には、\begin{equation*} P\left( x\right) \quad \left( x\in X\right)
\end{equation*}と表記します。
2つの変数\(x,y\)に関する命題関数を表す記号として、アルファベットの大文字を用いて、\begin{equation*} P\left( x,y\right) ,Q\left( x,y\right) ,\cdots
\end{equation*}などを利用します。命題関数\(P\left( x,y\right) \)の変数\(x,y\)の定義域が\(X,Y\)であることを明示したい場合には、\begin{equation*} P\left( x,y\right) \quad \left( x\in X,y\in Y\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \quad \left( \left( x,y\right) \in X\times Y\right)
\end{equation*}などと表記します。
より一般的に、有限\(n\)個の変数に関する命題関数を表す記号として、アルファベットの大文字を用いて、\begin{equation*} P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,Q\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
,\cdots
\end{equation*}などを利用します。命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の定義域が\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)であることを明示したい場合には、\begin{equation*} P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \left( x_{1}\in X_{1},\cdots
,x_{n}\in X_{n}\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \left( \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in X_{1}\times \cdots \times X_{n}\right)
\end{equation*}などと表記します。
いずれにせよ、命題関数に含まれるすべての変数には定義域がそれぞれ設定されており、命題関数の値は変数に代入する値の組み合わせに応じて決定されます。
\end{equation*}と定義します。変数\(x\)は任意の「実数」を値として取り得るものと定める場合、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合です。値\(x=2\)を代入することにより得られる命題\(P\left( 2\right) \)は、\begin{equation*} 2>1
\end{equation*}ですが、これは真です。値\(x=1\)を代入することにより得られる命題\(P\left( 1\right) \)は、\begin{equation*} 1>1
\end{equation*}ですが、これは偽です。値\(x=-1\)を代入することにより得られる命題\(P\left( -1\right) \)は、\begin{equation*} -1>1
\end{equation*}ですが、これは偽です。
\end{equation*}と定義します。変数\(x\)は任意の「自然数」を値として取り得るものと定める場合、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての自然数からなる集合です。値\(x=1\)を代入することにより得られる命題\(P\left( 1\right) \)は、\begin{equation*} 1\text{は偶数である}
\end{equation*}ですが、これは偽です。値\(x=2\)を代入することにより得られる命題\(P\left( 2\right) \)は、\begin{equation*} 2\text{は偶数である}
\end{equation*}ですが、これは真です。一方、変数\(x\)は任意の「奇数」を値として取り得るものと定める場合、\(x\)の定義域\(X\)はすべての奇数からなる集合です。この場合、命題\(P\left( x\right) \)が真になるような\(x\)の値は\(X\)の中に存在しません。
\end{equation*}と定義します。変数\(x,y\)はともに「日本の都道府県」を値として取り得るものと定める場合、変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はともにすべての都道府県からなる集合です。値\(\left( x,y\right) =\left( \text{東京},\text{北海道}\right) \)を代入することにより得られる命題\(P\left( \text{東京},\text{北海道}\right) \)は、\begin{equation*} \text{東京の人口は北海道の人口よりも多い}
\end{equation*}ですが、これは真です。値\(\left( x,y\right) =\left( \text{北海道},\text{東京}\right) \)を代入することにより得られる命題\(P\left( \text{北海道},\text{東京}\right) \)は、\begin{equation*} \text{北海道の人口は東京の人口よりも多い}
\end{equation*}ですが、これは偽です。一方、変数\(x,y\)はともに「世界の国」を値として取り得るものと定める場合、変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はともにすべての国からなる集合です。値\(\left( x,y\right) =\left( \text{日本},\text{米国}\right) \)を代入することにより得られる命題\(P\left( \text{日本},\text{米国}\right) \)は、\begin{equation*} \text{日本の人口は米国の人口よりも多い}
\end{equation*}ですが、これは偽です。値\(\left( x,y\right) =\left( \text{米国},\text{日本}\right) \)を代入することにより命題\(P\left( \text{米国},\text{日本}\right) \)は、\begin{equation*} \text{米国の人口は日本の人口よりも多い}
\end{equation*}ですが、これは真です。
議論領域
議論の対象となる変数が値としてとり得る対象全体からなる集合を議論領域（domain of discourse）と呼びます。多くの場合、議論領域を、\begin{equation*}
D
\end{equation*}で表記します。例えば、1つの変数\(x\)だけが議論の対象である場合には、その定義域\(X\)を定めればそれが議論領域\(D\)になります。また、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を議論の対象とする場合には、それらの定義域\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)に属する対象をすべて集めれば議論領域\(D\)となります。議論領域\(D\)において変数\(x\)とその定義域\(X\)が定義されている場合、\(x\)を議論領域\(D\)における変数（variable on the domain of discourse）と呼びます。
議論に先立って議論領域\(D\)を設けることは、\(D\)に属する対象を値としてとり得る変数に関する命題関数だけが議論の対象になり得ることを意味します。ただし、それぞれの命題関数は、議論領域\(D\)において定義されているすべての変数を自身の変数として持つ必要はありません。議論領域\(D\)が定義する変数の中の特定の変数だけを自身の変数として持つ命題関数や、変数を含まない命題なども考察対象となります。逆に、議論領域\(D\)において定義されていない変数を自身の変数として持つ命題関数は議論の対象になりません。
&&y\text{は奇数} \\
&&x+y\text{は偶数} \\
&&x+y\text{は奇数}
\end{eqnarray*}に含まれる変数はいずれも\(D\)中の値をとり得るため、これらの命題関数はいずれも\(D\)のもとで議論の対象となります。一方、日本の都道府県を値として取り得る変数\(a,b\)に関する以下の命題関数\begin{equation*} a\text{の人口は}b\text{の人口よりも多い}
\end{equation*}の変数\(a,b\)は先の議論領域\(D\)中の値を取り得ないため、この命題関数は\(D\)のもとで議論の対象外です。
演習問題
\end{equation*}と定義します。この場合の議論領域\(D\)とは何でしょうか。また、\(P\left( x\right) \)はそのままで\(D \)が変化すると何が起こるか議論してください。
\end{equation*}と定義します。\(X\)がすべての自然数である場合と、\(X\)がすべての整数である場合とで、どのような違いが起こるか議論してください。
- \(P\left(x\right):x\text{は300ページ以上ある}\)
- \(Q\left(y\right):y\text{は作家である}\)
- \(R\left(x,y\right):y\text{は}x\text{の著者である}\)
- \(S\left(a\right):a\text{は日本の都道府県である}\)
ただし、\(a\)は日本の都道府県を値としてとる変数であり、その定義域は\(D\)に含まれていないものとします。
\end{equation*}と定義します。
- 議論領域\(D\)にはどのような対象が含まれるか説明してください。
- \(x\)にある従業員を、\(y\)にある商品を代入した場合に得られる\(P\left(x,y\right)\)は命題であるか説明してください。
- \(x\)に商品を、\(y\)に従業員を代入することが認められない理由を説明してください。
