変数とは様々な値を取り得る記号です。変数が取り得る値の範囲を定義域と呼びます。議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせて議論領域と呼びます。
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命題関数

復習になりますが、命題関数(propositional function)とは変数を含む文や式のことです。命題関数の値は変数に代入する値の組み合わせに応じて決まります。述語論理において議論の対象となる論理的な主張や推論はいずれも命題関数どうしを一定のルールのもとで組み合わせることで得られる式として表現されます。このような事情を踏まえた上で、まずは命題関数や変数について改めて整理します。

未知の数・対象を表す文字や記号のことを変数(variable)と呼びます。通常、変数を表記する際にはアルファベットの小文字を利用します。つまり、\(x\)が変数であると言うとき、\(x\)は様々な値を取り得る記号であることを意味します。述語論理において変数は対象変数(object variable)とも呼ばれます。複数の変数を考える場合にはそれらを\(x_{1},x_{2},\cdots \)や\(x,y,\cdots \)などで表します。

変数\(x\)が取り得る値の範囲を\(x\)の定義域(domain)と呼び、これを\(X\)のようなアルファベットの大文字で表記します。\(x\)の定義域が\(X\)であることを明示的に表したい場合には、そのことを\(x\in X\)と表記します。\(X\)の中には\(x\)が取り得るすべての値が含まれていますが、それらの個々の値を対称定数(object constant)と呼びます。ただし、以降では誤解の恐れのない限りにおいて、対象定数をシンプルに定数(constant)や(value)などと呼びます。

\(x\in X\)という表記は二通りの意味で使われるため注意が必要です。「変数\(x\in X\)」という場合の\(x\in X\)は、変数\(x\)の定義域が\(X\)であることを表す表記です。一方、「値\(x\in X\)」という場合の\(x\in X\)は、\(x\)が定義域\(X\)に属する値であることを表す表記です。両者を明示的に区別するために、\(X\)に属する値を表す記号として、変数を表す記号\(x\)とは異なる記号\(\overline{x}\)を採用することもできます。

述語論理では命題関数を大文字のアルファベットと括弧に囲まれた変数を用いて表記します。具体例を挙げると、変数\(x\)に関する命題関数を\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,\cdots \)などで表記し、変数\(x,y\)に関する命題関数を\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x,y\right) ,\cdots \)などで表記するということです。3つ以上の変数を持つ命題関数についても同様です。いずれにせよ、命題関数に含まれるすべての変数には定義域がそれぞれ設定されており、命題関数の値は変数に代入する値の組み合わせに応じて決定されます。

例(命題関数・変数・定義域)
命題関数\(P\left( x\right) \)が、\begin{equation*}
P\left( x\right) :x\text{は偶数である}
\end{equation*}で与えられているものとします。変数\(x\)は任意の自然数を値として取り得るものと定める場合、その定義域\(X\)はすべての自然数からなる集合です。このとき、例えば、値\(1\in X\)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 1\right) :1\text{は偶数である}
\end{equation*}という偽の命題を得ます。また、値\(2\in X\)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 2\right) :2\text{は偶数である}
\end{equation*}という真の命題を得ます。一方、変数\(x\)は任意の奇数を値として取り得るものと定める場合、その定義域\(X\)はすべての奇数からなる集合です。この場合、命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in X\)は存在しません。
例(命題関数・変数・定義域)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)が、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{の人口は}y\text{の人口よりも多い}
\end{equation*}で与えられているものとします。変数\(x,y\)はともに日本の都道府県を値として取り得るものと定める場合、それらの定義域\(X,Y\)はともにすべての都道府県からなる集合です。このとき、例えば、値\(\left( x,y\right) =\left( \text{東京},\text{北海道}\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{東京},\text{北海道}\right) :\text{東京の人口は北海道の人口よりも多い}
\end{equation*}という真の命題を得ます。また、値\(\left( x,y\right) =\left( \text{北海道},\text{東京}\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{北海道},\text{東京}\right) :\text{北海道の人口は東京の人口よりも多い}
\end{equation*}という偽の命題を得ます。一方、変数\(x,y\)はともに世界の国を値として取り得るものと定める場合、それらの定義域\(X,Y\)はともにすべての国からなる集合です。例えば、値\(\left( x,y\right) =\left( \text{日本},\text{米国}\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{日本},\text{米国}\right) :\text{日本の人口は米国の人口よりも多い}
\end{equation*}という偽の命題を得ます。また、値\(\left( x,y\right) =\left( \text{米国},\text{日本}\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{米国},\text{日本}\right) :\text{米国の人口は日本の人口よりも多い}
\end{equation*}という偽の命題を得ます。

 

議論領域

議論の対象となるすべての変数と、それらの定義域をあわせて議論領域(domain of discourse)と呼びます。議論領域は\(D\)などの記号を用いて表記します。例えば、1 つの変数\(x\)だけが議論の対象である場合には、その定義域\(X\)を定めればそれが議論領域\(D\)になります。また、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を議論の対象とする場合には、それらの定義域\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)をすべて定めれば議論領域\(D\)となります。議論領域\(D\)において変数\(x\)とその定義域\(X\)が定義されているとき、\(x\)を議論領域\(D\)における変数(variable on the domain of discourse)と呼びます。

議論に先立って議論領域を設けることは、議論領域において定義されている変数を含む命題関数だけが議論の対象になり得ることを意味します。ただし、それぞれの命題関数は議論領域が定義するすべての変数を自身の変数として持つ必要はありません。議論領域が定義する変数の中の特定の変数だけを自身の変数として持つ命題関数や、変数を持たない命題関数なども考察対象となります。重要なことは、議論領域において定義されていない変数を自身の変数として持つ命題関数は議論の対象にならないということです。

例(議論領域)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はともにすべての整数からなる集合であり、以上を議論領域\(D\)とします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( y\right) &:&y\text{は奇数} \\
R\left( x,y\right) &:&x+y\text{は偶数} \\
S\left( x,y\right) &:&x+y\text{は奇数}
\end{eqnarray*}などの命題関数に含まれる変数はいずれも\(D\)において定義されているため、これらの命題関数はいずれも\(D\)のもとで議論の対象となります。一方、日本の都道府県を値として取り得る変数\(a,b\)に関する以下の命題関数\begin{equation*}
T\left( a,b\right) :a\text{の人口は}b\text{の人口よりも多い}
\end{equation*}について考えると、\(a,b\)は先の議論領域\(D\)において定義されていないため、この\(T\left( a,b\right) \)は\(D\)のもとで議論の対象外です。

次回は論理式について学びます。

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