論理式 A∧B が真であるような任意の解釈のもとで A や B は必ず真になります。これは連言除去と呼ばれる推論規則です。

2019年6月2日:公開

連言除去

以下の命題が成り立ちます。

命題(連言除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge B &\Rightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\wedge B &\Rightarrow &B
\end{eqnarray*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して、以下の推論規則\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}がともに成立します。つまり、\(A\wedge B\)が真であるような任意の解釈のもとで\(A\)や\(B\)は必ず真になります。これは連言除去(conjunction elimination)や\(\wedge \)除去(\(\wedge \) elimination)、簡単化(conjunction elimination)などと呼ばれる推論規則です。

例(連言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は}x\text{曜日であると同時に店}y\text{は閉店中だ。} \\
&&\text{ゆえに、今日は}x\text{曜日である。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての曜日からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)は問題としているすべての店からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&\text{今日は}x\text{曜日である} \\
Q\left( y\right) &:&\text{店}y\text{は閉店中である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \ \therefore \ P\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。連言除去よりこれは妥当な推論です。

次回は選言導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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