述語論理における連言除去

任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*} \left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を任意に選んだとき、連言除去より、\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \ \models \
P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \ \models \
Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の偶数は}1\text{と}2\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、任意の偶数は}2\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての偶数からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*} P\left( x\right) &:&x\text{は}1\text{で割り切れる} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\therefore \ \forall x\in X:Q\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。推論の前提に全称除去を適用すると、任意の対象\(c\in X\)について、\begin{equation*} P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これに連言除去を適用すると、\begin{equation*}
Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。さらにこれに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:Q\left( x\right)
\end{equation*}を得るため、推論が妥当であることが示されました。

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が任意に与えられたとき、その中の1つの論理式\(A_{k}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*} \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \models A_{k}
\end{equation*}が成り立つ。

命題関数\(P_{1}\left( x\right) ,\cdots ,P_{n}\left( x\right) \)がそれぞれ任意に与えられたとき、その中の1つの命題関数\(P_{k}\left( x\right) \)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{equation*} \bigwedge_{i=1}^{n}P_{i}\left( x\right) \ \models P_{k}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の}4\text{の倍数は}1,2,4\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、任意の}4\text{の倍数は}2\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(X\)の定義域はすべての\(4\)の倍数からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*} P_{1}\left( x\right) &:&x\text{は}1\text{で割り切れる} \\
P_{2}\left( x\right) &:&x\text{は}2\text{で割り切れる} \\
P_{4}\left( x\right) &:&x\text{は}4\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P_{1}\left( x\right) \wedge P_{2}\left( x\right)
\wedge P_{4}\left( x\right) \right) \ \therefore \ \forall x\in
X:P_{2}\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。推論の前提に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P_{1}\left( c\right) \wedge P_{2}\left( c\right) \wedge P_{4}\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これに一般化された連言除去を適用すると、\begin{equation*}
P_{2}\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。さらにこれに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:P_{2}\left( x\right)
\end{equation*}を得るため、推論が妥当であることが示されました。

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*} A\wedge \left( B\wedge C\right) \ \therefore \ C
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の正方形は長方形であり、ひし形でもある。} \\
&&\text{ゆえに、任意の正方形はひし形である。}
\end{eqnarray*}

論理式\(A,B,C,D\)について、以下の推論が妥当であることを示してください。 \begin{equation*}
\left( A\wedge \left( B\wedge C\right) \right) \wedge D\ \therefore \ C
\end{equation*}

論理式\(A,B,C,D\)について、以下の推論が妥当であることを示してください。 \begin{eqnarray*}
&&\left( A\rightarrow C\right) \wedge \left( B\rightarrow D\right) \\
&&A\wedge B \\
&&\therefore \ C\wedge D
\end{eqnarray*}

変数\(x\)の定義域を\(X\)とします。以下の推論が妥当であることを示してください。 \begin{eqnarray*}
&&\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right)
\wedge R\left( x\right) \right) \right) \\
&&\therefore \ \forall x\in X:R\left( x\right)
\end{eqnarray*}

変数\(x\)の定義域を\(X\)とします。以下の推論が妥当であることを示してください。 \begin{eqnarray*}
&&\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \wedge
R\left( x\right) \right) \\
&&\therefore \ \exists x\in X:Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}

以下の推論は妥当でしょうか。判断してください。
\begin{equation*}
A\wedge \left( B\vee C\right) \ \therefore \ B.
\end{equation*}

変数\(x\)の定義域を\(X\)とします。以下の推論が妥当であることを示してください。 \begin{eqnarray*}
&&\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\\
&&\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right) \\
&&\therefore \ \exists x\in X:\left( Q\left( x\right) \wedge R\left(
x\right) \right)
\end{eqnarray*}