確認テスト I（述語論理）

以下の言明を論理式として定式化してください。

1. 「有理数ではない実数が存在する。」（5点）
2. 「このクラスの生徒でありパソコンを持っている人たちはいずれも、同じクラスの自分とは異なる少なくとも1人の生徒のメールアドレスを知っている。」（5点）
3. 「このクラスの中には、パソコンを持っているにも関わらず、同じクラスの自分とは異なる全員のメールアドレスを知らない人がいる。」（5点）
4. 「このクラスの中には、クラス内に共通の友だちを持たない学生が少なくとも2人いる。」（5点）

以下の論理式を日常語として表現した上で、その真偽を判定してください。

1. 「\(\forall x\in \mathbb{Q} :x\in \mathbb{R} \)」（5点）
2. 「\(\forall z\in \mathbb{Z} :\left( x>5\rightarrow \exists a,b\in \mathbb{N} :a^{2}+b^{2}=x\right) \)」（5点）
3. 「\(\exists x\in \mathbb{R} :x^{3}=-1\)」（5点）
4. 「\(\exists x\in \mathbb{R} :x^{4}<x^{2}\)」（5点）
5. 「\(\forall x\in \mathbb{R} :-x^{2}=x^{2}\)」（5点）

以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Z} ,\ \exists y\in \mathbb{Z} :2y=x+x^{2}
\end{equation*}を証明してください。

変数\(x,y\in X\)および命題関数\(P\left( x,y\right) \)に関して、\begin{equation*}\not\models \forall x\in X,\ \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \vee
x=y\vee P\left( y,x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,R\left( x\right),S\left( x\right) \)が与えらえているものとします。以下の推論\begin{eqnarray*}\forall x &\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow \left( Q\left(
x\right) \wedge R\left( x\right) \right) \right) , \\
\forall x &\in &X:\left( R\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left( x\right)
\right) , \\
\exists x &\in &X:\left( P\left( x\right) \vee S\left( x\right) \right) \\
&\therefore &\ \exists x\in X:S\left( x\right)
\end{eqnarray*}が妥当であることを証明してください。