原子論理式の解釈

命題関数が与えられたとき、議論領域と関数の形状、そして変数に代入する値をそれぞれ具体的に定めれば、1または0を値としてとる命題が得られます。
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原子論理式の解釈

原子論理式の基礎である命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)は変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。以上の3つの要素を命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈(interpretation)と呼びます。命題関数に対して何らかの解釈を与えれば、\(1\)または\(0\)を値としてとる命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が得られます。

例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。変数\(x\)の自由な現れに\(1\)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 1\right) :1^{2}=1
\end{equation*}という真な命題を得ます。また、変数\(x\)の自由な現れに\(2\)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 2\right) :2^{2}=1
\end{equation*}という偽な命題を得ます。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。変数\(x\)の自由な現れに「東京」を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{東京}\right) :\text{東京の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}という真な命題を得ます。また、変数\(x\)の自由な現れに「沖縄」を代入すると、\begin{equation*}
P\left( \text{沖縄}\right) :\text{沖縄の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}という偽な命題を得ます。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}で与えられているものとします、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 1,1\right) :1+1\leq 3
\end{equation*}という真な命題を得ます。また、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( x,y\right) =\left( 2,3\right) \)を代入すると、\begin{equation*}
P\left( 2,3\right) :2+3\leq 3
\end{equation*}という偽な命題を得ます。

 

原子論理式の真理集合

繰り返しになりますが、命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈とは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}の3つの要素からなります。今、この中でも議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状が具体的に与えられているものとします。このとき、命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)になるような値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)からなる集合を\(P\)の真理集合(truth set)と呼び、これを\(\phi \left( P\right) \)と表記します。その上で、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれることを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)であることを意味します。逆に、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれないことを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \not\in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(0\)であることを意味します。

例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
1 &\in &\phi \left( P\right) \\
2 &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\phi \left( P\right) \)に含まれるのは\(1\)ですが、このことを、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}で表記します。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。例えば、値\(x=\)東京については、\begin{equation*}
P\left( \text{東京}\right) :\text{東京の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}となりますが、これは真な命題です。例えば、\begin{eqnarray*}
\text{東京} &\in &\phi \left( P\right) \\
\text{沖縄} &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\phi \left( P\right) \)に含まれるのは「東京」「神奈川」「大阪」の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \text{東京},\text{神奈川},\text{大阪}\right\}
\end{equation*}となります。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 2,3\right) &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などがが成り立ちます。命題\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は\(\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \)の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) \right\}
\end{equation*}となります。

次回は否定の解釈について学びます。

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