命題関数の解釈

命題関数が与えられたとき、議論領域(変数の定義域)と関数の形状、そして変数の自由な現れに代入する値をそれぞれ具体的に定めれば、1または0を値としてとる命題が得られます。以上が命題関数の解釈です。
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命題関数の解釈

命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)は変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。以上の3つの要素を命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈(interpretation)と呼びます。命題関数に対して何らかの解釈を与えれば、\(1\)または\(0\)を値としてとる命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が得られます。

例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x\)の自由な現れに\(1\)を代入して得られる命題\(P\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
1^{2}=1
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x\)の自由な現れに\(2\)を代入して得られる命題\(P\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}
2^{2}=1
\end{equation*}ですが、これは偽です。また、議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x\)の自由な現れに「東京」を代入して得られる命題\(P\left( \text{東京}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{東京の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x\)の自由な現れに「沖縄」を代入して得られる命題\(P\left( \text{沖縄}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{沖縄の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}ですが、これは偽です。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は2つの変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X,Y\text{はともにすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( 1,1\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( 1,1\right) \)は、\begin{equation*}
1+1\leq 3
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( 2,3\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( 2,3\right) \)は、\begin{equation*}
2+3\leq 3
\end{equation*}ですが、これは偽です。また、議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての都市の集合、}Y\text{はすべての国の集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{の首都である}
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( \text{東京},\text{日本}\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( \text{東京},\text{日本}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{東京は日本の首都である}
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( \text{パリ},\text{デンマーク}\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( \text{パリ},\text{デンマーク}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{パリはデンマークの首都である}
\end{equation*}ですが、これは偽です。

 

命題関数の真理集合

繰り返しになりますが、命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈とは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}の3つの要素からなります。今、この中でも議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状が具体的に与えられているものとします。このとき、命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)になるような値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)からなる集合を\(P\)の真理集合(truth set)と呼び、これを\(\phi \left( P\right) \)と表記します。その上で、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれることを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)であることを意味します。逆に、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれないことを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \not\in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(0\)であることを意味します。

例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
1 &\in &\phi \left( P\right) \\
2 &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(\phi \left( \overline{x}\right) \)が真になる値\(\overline{x}\)は\(1\)だけですが、このことを、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}で表記します。
例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
\text{東京} &\in &\phi \left( P\right) \\
\text{沖縄} &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(\phi \left( \overline{x}\right) \)が真になる値\(\overline{x}\)は「東京」「神奈川」「大阪」の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \text{東京},\text{神奈川},\text{大阪}\right\}
\end{equation*}となります。
例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は2つの変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 2,3\right) &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は\(\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \)の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) \right\}
\end{equation*}となります。

次回は否定の解釈について学びます。

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