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命題関数の解釈

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命題関数の解釈

命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)は変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。以上の3つの要素を命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈(interpretation)と呼びます。命題関数に対して何らかの解釈を与えれば、\(1\)または\(0\)を値としてとる命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が得られます。

例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x\)の自由な現れに\(1\)を代入して得られる命題\(P\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
1^{2}=1
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x\)の自由な現れに\(2\)を代入して得られる命題\(P\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}
2^{2}=1
\end{equation*}ですが、これは偽です。また、議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x\)の自由な現れに「東京」を代入して得られる命題\(P\left( \text{東京}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{東京の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x\)の自由な現れに「沖縄」を代入して得られる命題\(P\left( \text{沖縄}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{沖縄の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}ですが、これは偽です。
例(命題関数の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は2つの変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X,Y\text{はともにすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( 1,1\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( 1,1\right) \)は、\begin{equation*}
1+1\leq 3
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( 2,3\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( 2,3\right) \)は、\begin{equation*}
2+3\leq 3
\end{equation*}ですが、これは偽です。また、議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての都市の集合、}Y\text{はすべての国の集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{の首都である}
\end{eqnarray*}と定めた場合、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( \text{東京},\text{日本}\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( \text{東京},\text{日本}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{東京は日本の首都である}
\end{equation*}ですが、これは真です。また、変数\(x,y\)の自由な現れに\(\left( \text{パリ},\text{デンマーク}\right) \)を代入して得られる命題\(P\left( \text{パリ},\text{デンマーク}\right) \)は、\begin{equation*}
\text{パリはデンマークの首都である}
\end{equation*}ですが、これは偽です。

 

命題関数の真理集合

繰り返しになりますが、命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈とは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{関数}P\text{の形状}
\\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}の3つの要素からなります。今、この中でも議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状が具体的に与えられているものとします。このとき、命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)になるような値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)からなる集合を\(P\)の真理集合(truth set)と呼び、これを\(\phi \left( P\right) \)と表記します。その上で、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれることを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)であることを意味します。逆に、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( P\right) \)に含まれないことを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \not\in \phi \left(
P\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(0\)であることを意味します。

例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
1 &\in &\phi \left( P\right) \\
2 &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(\phi \left( \overline{x}\right) \)が真になる値\(\overline{x}\)は\(1\)だけですが、このことを、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}で表記します。
例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は日本の都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
\text{東京} &\in &\phi \left( P\right) \\
\text{沖縄} &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(\phi \left( \overline{x}\right) \)が真になる値\(\overline{x}\)は「東京」「神奈川」「大阪」の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \text{東京},\text{神奈川},\text{大阪}\right\}
\end{equation*}となります。
例(原子論理式の真理集合)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は2つの変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P\)の形状を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 3
\end{eqnarray*}と定めたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 2,3\right) &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。命題\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は\(\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \)の3つであるため、\(P\)の真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) \right\}
\end{equation*}となります。

次回は否定の解釈について学びます。

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関連知識

真理集合

真理集合

論理式が与えられたとき、議論領域と関数の形状、そして変数に代入する値をそれぞれ具体的に定めれば、1または0を値としてとる命題が得られます。また、論理式の値が1になるような変数の値からなる集まりを真理集合と呼びます。

集合

集合

ある条件を満たす対象をすべて集めたものを集合と呼びます。集合は命題関数から定義することもできます。集合の表記方法としては、外延的表記と内包的表記があります。

命題関数

議論領域

変数とは様々な値を取り得る記号です。変数が取り得る値の範囲を定義域と呼びます。議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせて議論領域と呼びます。

命題

述語論理

変数を含む文や式は変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その正しさを判定できるようになります。一般に、変数を含む文や式を命題関数と呼びます。命題関数は述語論理の対象となる最小単位の概念です。

DISCUSSION

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述語論理