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PREDICATE LOGIC

命題関数の解釈

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命題関数の解釈

命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域(変数}x\text{の定義域}X\text{)} \\
&&\left( b\right) \ \text{命題関数}P\text{の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。以上の3つの要素が命題関数\(P\left( x\right) \)の解釈です。命題関数に対して何らかの解釈を与えれば、真または偽を値としてとる命題\(P\left( \overline{x}\right) \)が得られます。

命題関数\(P\left( x\right) \)に対して、議論領域(変数\(x\)の定義域\(X\))および関数\(P\)の形状が具体的に与えられている状況を想定します。あとは変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を指定すれば命題\(P\left( \overline{x}\right) \)が得られます。\(P\left( \overline{x}\right) \)が真になるような値\(\overline{x}\)からなる集合が\(P\left( x\right) \)の真理集合であり、これを、\begin{equation*}\phi \left( P\right)
\end{equation*}と表記します。つまり、任意の値\(\overline{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\overline{x}\in \phi \left( P\right) \Leftrightarrow \text{命題}P\left( \overline{x}\right) \text{が真}
\end{equation*}という関係を満たすものとして\(\phi \left( P\right) \)は定義されます。

複数の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を持つ命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)についても同様に考えます。

例(命題関数の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての自然数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left(x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=1
\end{equation*}と定義します。\(x^{2}=1\)を満たす自然数\(x\)は\(1\)だけであるため、\(P\left( x\right) \)の真理集合は、\begin{equation*}\phi \left( P\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}です。例えば、\begin{eqnarray*}
1 &\in &\phi \left( P\right) \\
2 &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(命題関数の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての都道府県からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}と定義します。\(800\)万人以上の都道府県は「東京、神奈川、大阪」だけであるため、\(P\left( x\right) \)の真理集合は、\begin{equation*}\phi \left( P\right) =\left\{ \text{東京},\text{神奈川},\text{大阪}\right\}
\end{equation*}です。例えば、\begin{eqnarray*}
\text{東京} &\in &\phi \left( P\right) \\
\text{沖縄} &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(命題関数の真理集合)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はいずれもすべての自然数からなる集合であるものとします。変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x+y\leq 3
\end{equation*}と定義します。\(x+y\leq 3\)を満たす自然数の組\(\left(x,y\right) \)は\(\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \)の3つであるため、\(P\left(x,y\right) \)の真理集合は、\begin{equation*}\phi \left( P\right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) \right\}
\end{equation*}です。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 2,2\right) &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(命題関数の解釈)
変数\(x\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x<3
\end{equation*}と定義します。\(x\)の定義域\(X\)がすべての自然数からなる集合である場合の\(P\left( x\right) \)の真理集合と、\(X\)がすべての自然数からなる集合である場合の\(P\left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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問題(真理集合)
変数\(x\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right\}
\end{equation*}であり、これはある組織のメンバーからなる集合であるものとします。変数\(y\)の定義域は、\begin{equation*}Y=\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\}
\end{equation*}であり、これは別の組織のメンバーからなる集合であるものとします。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は知り合いである}
\end{equation*}と定義します。\(x_{1}\)は\(y_{1}\)と知り合いであり、\(x_{3}\)は\(y_{1}\)および\(y_{3}\)と知り合いです。\(P\left( x,y\right) \)の真理集合を求めてください。
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問題(命題関数の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。以下の3つの命題変数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&\left\vert x\right\vert =1 \\
Q\left( x\right) &:&x^{2}=2 \\
R\left( x\right) &:&\left\vert x\right\vert =x
\end{eqnarray*}の真理集合をそれぞれ求めてください。

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次回は否定の解釈について学びます。

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