論理式 A,B,C について、A→C, B→C, A∨B がすべて真であるような任意の解釈のもとで C は必ず真になります。これは選言除去と呼ばれる推論規則です。
< 前のページ
次のページ >

選言除去

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言除去)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow C\right) \wedge \left( B\rightarrow C\right) \wedge \left( A\vee B\right) \ \Rightarrow \ C
\end{equation*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題より、任意の論理式\(A,B,C\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\ \models \ C
\end{equation*}が成立します。つまり、\(A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\)がすべて真であるような任意の解釈のもとで\(C\)は必ず真になります。これは選言除去(disjunction elimination)や\(\vee \)除去(\(\vee \) elimination)と呼ばれる推論規則です。

例(選言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{講義への出席率が}x\text{ならば、成績は}z\text{である。} \\
&&\text{期末試験の得点が}y\text{ならば、成績は}z\text{である。} \\
&&\text{講義の出席率が}x\text{、または期末試験の得点が}y\text{である。} \\
&&\text{したがって、成績は}z\text{である。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)は起こり得るすべての出席率からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)は起こり得るすべての期末試験の得点の集合、変数\(z\)の定義域\(Z\)は起こり得るすべての成績からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&\text{講義への出席率が}x\text{である} \\
Q\left( y\right) &:&\text{期末試験の得点が}y\text{である} \\
R\left( z\right) &:&\text{成績は}z\text{である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow R\left( z\right) ,\ Q\left( y\right) \rightarrow R\left( z\right) ,\ P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \ \therefore \ R\left( z\right)
\end{equation*}と定式化されます。選言除去よりこれは妥当な推論です。

次回は二重否定導入と呼ばれる推論規則について学びます。

次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ
次のページ >

プレミアム会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)へのアクセスが可能に。
会員サービス
ログイン

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

述語論理
アカウント
ログイン