変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}O\left( x\right) &:&x\text{はオフィスにいる} \\
W\left( x\right) &:&x\text{は女性である}
\\
M\left( x\right) &:&x\text{は男性である}
\\
G\left( x\right) &:&x\text{は眼鏡をかけている}
\end{eqnarray*}を定義します。以下の命題を論理式として定式化してください。

1. 「オフィスにいる誰かが眼鏡をかけている。」（5点）
2. 「オフィスにいる全員が眼鏡をかけているわけではない。」（5点）
3. 「オフィスにいる女性はいずれも眼鏡をかけていない。」（5点）
4. 「オフィスにいる男性はいずれも眼鏡をかけている。」（5点）

以下の問いに答えてください。

1. 「任意の整数\(x,y\)について、それらの積\(xy\)が\(10\)の倍数ならば、\(x\)と\(y\)の少なくとも一方が\(10\)の倍数である」という命題を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。（10点）
2. 問1の命題の対偶を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。（10点）
3. 問1の命題の逆を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。（10点）

以下の問いに答えてください。

1. 「任意の整数\(n\)について、\(n\left( n+1\right) \)は偶数である」という命題を論理式として定式化した上で、その命題が真であることを証明してください。（10点）
2. 「任意の整数\(m,n\)について、\(mn\)は偶数であるか、\(m^{2}-n^{2}\)は\(8\)の倍数であるか、その少なくとも一方である」という命題を論理式として定式化した上で、その命題が真であることを証明してください。（20点）

変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{はこのクラスの学生である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は試験勉強をする} \\
R\left( x\right) &:&x\text{は試験に合格する}
\end{eqnarray*}を定義します。以下の推論\begin{eqnarray*}
&&\text{このクラスの中に試験勉強をしなかった学生がいる} \\
&&\text{このクラスの学生はいずれも試験に合格した} \\
&\therefore &\text{試験に合格した人の中に試験勉強をしなかった人がいる}
\end{eqnarray*}を定式化した上で、この推論が妥当であることを証明してください。