論理式が与えられたとき、議論領域と関数の形状、そして変数に代入する値をそれぞれ具体的に定めれば、1または0を値としてとる命題が得られます。また、論理式の値が1になるような変数の値からなる集まりを真理集合と呼びます。
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開論理式の解釈

論理式\(A\)が変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)である場合、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。言い換えると、形式的には同一の論理式でも、上の3つの要素の中の少なくとも1つが変われば論理式の値は変わり得るということです。そこで、以上の3つの要素を開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の解釈(interpretation)と呼びます。開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対して何らかの解釈を与えれば、\(1\)または\(0\)を値としてとる命題\(A\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が得られます。

例(開論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。\(P\left( x\right) \)や\(Q\left( x\right) \)における\(x\)はいずれも変数\(x\)の自由な現れであるため、この論理式は開論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定するとともに、変数\(x\)の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、\(X\)はすべての整数を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x^{2}>0 \\
Q\left( x\right) &:&x>0
\end{eqnarray*}とそれぞれ特定されており、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに\(1\)を代入する場合を想定します。以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}
1^{2}>0\rightarrow 1>0
\end{equation*}という命題が得られます。また、議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを\(-1\)に変えると、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}
\left( -1\right) ^{2}>0\rightarrow -1>0
\end{equation*}という別の命題が得られます。さらに別の解釈の例として、\(X\)はすべての人間を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ生まれである}
\end{eqnarray*}とそれぞれ特定されており、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに「ソクラテス」を代入する場合、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}
\text{ソクラテスはアテナイ人}\rightarrow \text{ソクラテスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}という命題が得られます。また、議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを「アリストテレス」に変えると、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}
\text{アリストテレスはアテナイ人}\rightarrow \text{アリストテレスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}という命題が得られます。
例(開論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}
\exists y\in Y\ \left( \forall x\in X\ P\left( x,y\right) \right) \wedge
Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。\(P\left( x,y\right) \)中の変数\(x,y\)の現れはいずれも量化記号によって束縛されていますが、\(Q\left( x\right) \)中の変数\(x\)の現れは自由であるため、この論理式は開論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(定義域\(X,Y\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定し、さらに変数\(x\)の自由な現れに代入する値をそれぞれ指定する必要があります。具体例を挙げると、例えば、\(X\)には2つの値\(x_{1},x_{2}\)が属し、\(Y\)には2つの値\(y_{1},y_{2}\)が属するものと定めます(議論領域\(D\)を指定)。また、命題関数\(P,Q\)の形状を以下の真理値表
$$\begin{array}{cccc}
\hline
x & y & P\left( x,y\right) & Q\left( x\right) \\ \hline
x_{1} & y_{1} & 1 & 1 \\ \hline
x_{1} & y_{2} & 1 & 1 \\ \hline
x_{2} & y_{2} & 1 & 0 \\ \hline
x_{2} & y_{2} & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
表:開論理式の解釈

によって定めます(論理式を構成する命題変数の形状を指定)。変数\(x\)の自由の現れに代入し得る値は\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の2つであり、どちらを代入するかによりそれらは異なる解釈として区別されます(変数の自由な現れに代入する値を指定)。

論理式\(A\)が変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)である場合、その解釈を構成する要素の中でも、議論領域\(D\)と論理式\(A\)を構成するすべての命題関数の形状が具体的に与えられているものとします。このとき、命題\(A\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)になるような値の組からなる集合を\(A\)の真理集合(truth set)と呼び、これを\(\phi \left( A\right) \)と表記します。その上で、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( A\right) \)に含まれることを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \in \phi \left(
A\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(A\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)であることを意味します。逆に、値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)が\(\phi \left( A\right) \)に含まれないことを、\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \not\in \phi \left(
A\right)
\end{equation*}で表します。これは命題\(A\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(0\)であることを意味します。

 

閉論理式の解釈

論理式\(A\)が変数の自由な現れを持たない閉論理式である場合、その値を特定するためには以下の2つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数の形状}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。形式的には同一の論理式でも、異なる解釈を与えればその論理式の値は変わり得るということです。そこで、以上の2つの要素を閉論理式\(A\)の解釈(interpretation)と呼びます。閉論理式\(A\)に対して何らかの解釈を与えれば、\(1\)または\(0\)を値としてとる命題が得られます。

例(閉論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}について考えます。\(P\left( x\right) \)や\(Q\left( x\right) \)における変数\(x\)の現れはいずれも量化記号によって束縛されているため、この論理式は閉論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、例えば、\(X\)はすべての整数を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は素数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}とそれぞれ特定されているものとします。以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( x\text{が素数}\rightarrow x\text{は偶数}\right)
\end{equation*}という命題が得られます。別の解釈の例として、\(X\)はすべての人間を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は日本人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の出生地は日本である}
\end{eqnarray*}とそれぞれ特定されているものとします。以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( x\text{が日本人}\rightarrow x\text{の出生地は日本}\right)
\end{equation*}という命題が得られます。
例(閉論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}
\exists x\in X\ \left( \lnot Q\left( x\right) \rightarrow \forall y\in Y\
P\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}について考えます。変数\(x,y\)の現れはいずれも量化記号によって束縛されているため、この論理式は閉論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(定義域\(X,Y\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定する必要があります。具体例を挙げると、例えば、\(X\)には2つの値\(x_{1},x_{2}\)が属し、\(Y\)には2つの値\(y_{1},y_{2}\)が属するものと定めます(議論領域\(D\)を指定)。また、命題関数\(P,Q\)の形状を以下の真理値表
$$\begin{array}{cccc}
\hline
x & y & P\left( x,y\right) & Q\left( x\right) \\ \hline
x_{1} & y_{1} & 1 & 1 \\ \hline
x_{1} & y_{2} & 1 & 1 \\ \hline
x_{2} & y_{2} & 1 & 0 \\ \hline
x_{2} & y_{2} & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
表:閉論理式の解釈

によって定めます(論理式を構成する命題変数の形状を指定)。

 

述語論理における論理式の解釈

以上の議論を踏まえた上で、述語論理における論理式の解釈とは何であるかをまとめておきましょう。述語論理における論理式\(A\)の解釈とは、以下の3つの要素を具体的に特定することを意味します。

  1. 議論領域\(D\)を指定する。すなわち、論理式\(A\)に含まれる変数の定義域を指定する。
  2. 論理式\(A\)に含まれるすべての命題関数の形状を指定する。すなわち、\(A\)の部分論理式であるそれぞれの命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)について、それぞれの値の組み合わせ\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)に対する命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)の値が\(1\)と\(0\)のどちらであるかを指定する。
  3. 論理式\(A\)が開論理式の場合には、つまり\(A\)が変数の自由な現れを持つ場合には、そこに代入する値を定義域の中から指定する。

論理式\(A\)が命題定数などでない限り、論理式の値はそのままでは決まりません。論理式の値を特定するためには解釈を与える必要があります。言い換えると、形式的には同一の論理式でも異なる解釈を与えればその論理式の値は変わり得るということです。

以上で論理式の解釈という概念がどのようなものであるかが明らかになりました。続いて問題になるのは、論理式に対して何らかの解釈を与えたとき、その論理式の値をどのように定めるかという点です。次回からは論理式の値を特定する上でのルールについて解説します。

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