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PREDICATE LOGIC

真理集合

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開論理式の解釈

論理式\(A\)が変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)である場合、その値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。形式的には同一の論理式でも、上の3つの要素の中の少なくとも1つが変われば論理式の値は変わり得るということです。そこで、以上の3つの要素を開論理式\(A\left( x\right) \)の解釈(interpretation)と呼びます。開論理式\(A\left( x\right) \)に対して何らかの解釈を与えれば、真または偽を値としてとる命題\(A\left( \overline{x}\right) \)が得られます。

論理式\(A\)が複数の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)である場合にも同様に考えます。

例(開論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。\(P\left( x\right) \)や\(Q\left( x\right) \)における\(x\)はいずれも変数\(x\)の自由な現れであるため、この論理式は開論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定するとともに、変数\(x\)の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、\(X\)はすべての整数を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x^{2}>0 \\
Q\left( x\right) &:&x>0
\end{eqnarray*}であり、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに\(1\)を代入する場合を想定します。以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}1^{2}>0\rightarrow 1>0
\end{equation*}という命題が得られます。また、議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを\(-1\)に変えると、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}\left( -1\right) ^{2}>0\rightarrow -1>0
\end{equation*}という別の命題が得られます。さらに別の解釈の例として、\(X\)はすべての人間を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ生まれである}
\end{eqnarray*}であり、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに「ソクラテス」を代入する場合、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}\text{ソクラテスはアテナイ人}\rightarrow \text{ソクラテスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}という命題が得られます。また、議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを「アリストテレス」に変えると、以上の解釈のもとでは、\begin{equation*}\text{アリストテレスはアテナイ人}\rightarrow \text{アリストテレスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}という命題が得られます。

変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)に対して、議論領域\(D\)および論理式\(A\)を構成するすべての命題関数の形状が与えられている状況を想定します。あとは変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を指定すれば命題\(A\left( \overline{x}\right) \)が得られますが、\(A\left( \overline{x}\right) \)が真になるような値\(\overline{x}\)からなる集合を\(A\)の真理集合(truth set)と呼び、これを、\begin{equation*}\phi \left( A\right)
\end{equation*}で表記します。その上で、値\(\overline{x}\)が\(\phi \left( A\right) \)に含まれること、すなわち命題\(A\left( \overline{x}\right) \)が真であることを、\begin{equation*}\overline{x}\in \phi \left( A\right)
\end{equation*}と表記します。逆に、値\(\overline{x}\)が\(\phi \left( A\right) \)に含まれないこと、すなわち命題\(A\left( \overline{x}\right) \)が偽であることを、\begin{equation*}\overline{x}\not\in \phi \left( A\right)
\end{equation*}と表記します。

論理式\(A\)が複数の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)である場合にも同様に考えます。

 

閉論理式の解釈

論理式\(A\)が変数の自由な現れを持たない閉論理式である場合、その値を特定するためには以下の2つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数の形状}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。そこで、以上の2つの要素を閉論理式\(A\)の解釈(interpretation)と呼びます。閉論理式\(A\)に対して何らかの解釈を与えれば命題が得られます。

例(閉論理式の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}について考えます。\(P\left( x\right) \)や\(Q\left( x\right) \)における変数\(x\)の現れはいずれも量化記号によって束縛されているため、この論理式は閉論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し(変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し)、関数\(P,Q\)の形状を特定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、例えば、\(X\)はすべての整数を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は素数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}であるとき、以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( x\text{が素数}\rightarrow x\text{は偶数}\right)
\end{equation*}という命題が得られます。別の解釈の例として、\(X\)はすべての人間を含むとともに、\(P,Q\)の形状が、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は日本人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の出生地は日本である}
\end{eqnarray*}であるとき、以上の解釈のもとでは、与えられた論理式から、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( x\text{が日本人}\rightarrow x\text{の出生地は日本}\right)
\end{equation*}という命題が得られます。

 

述語論理における論理式の解釈

以上の議論を踏まえた上で、述語論理における論理式の解釈とは何であるかをまとめておきましょう。述語論理における論理式\(A\)の解釈とは、以下の3つの要素を具体的に特定することを意味します。

  1. 議論領域\(D\)を指定する。すなわち、論理式\(A\)に含まれる変数の定義域を指定する。
  2. 論理式\(A\)に含まれるすべての命題関数の形状を指定する。すなわち、\(A\)の部分論理式であるそれぞれの命題関数\(P\left( x\right) \)について、変数\(x\)の定義域\(X\)に属するそれぞれの値\(\overline{x}\)に対して、命題\(P\left( \overline{x}\right) \)の値が真と偽のどちらであるか指定する。
  3. 論理式\(A\)が開論理式の場合には、つまり\(A\)が変数の自由な現れを持つ場合には、そこに代入する値を定義域の中から指定する。

論理式\(A\)が命題定数などでない限り、論理式の値はそのままでは決まりません。論理式の値を特定するためには解釈を与える必要があります。形式的には同一の論理式でも、異なる解釈を与えればその論理式の値は変わり得るということです。

論理式の解釈という概念がどのようなものであるかが明らかになりました。続いて問題になるのは、論理式に対して何らかの解釈を与えたとき、その論理式の値をどのように定めるかという点です。次回からは論理式の値を特定する際に従うべきルールについて解説します。

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