述語論理における論理式の解釈

変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)について考えます。この命題関数の1つの解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}\geq 1 \\
&&\left( c\right) \ x=1
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
P\left( 1\right) :1^{2}\geq 1
\end{equation*}という真な命題に対応します。別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての実数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}\geq 1 \\
&&\left( c\right) \ x=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
P\left( \frac{1}{2}\right) :\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\geq 1
\end{equation*}という偽な命題に対応します。さらに別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上} \\
&&\left( c\right) \ x=\text{東京}
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
P\left( \text{東京}\right) :\text{東京の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}という真な命題に対応します。命題関数は無限通りに解釈可能です。

変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)に関する以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}は変数の自由な現れを持たないため、これは閉論理式です。この閉論理式の1つの解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての実数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x^{2}\geq 0
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
\text{任意の実数}x\text{について}x^{2}\geq 0\text{が成り立つ}
\end{equation*}という真な命題に対応します。別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての実数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :\left\vert x\right\vert >0
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
\text{任意の実数}x\text{について}\left\vert x\right\vert >0\text{が成り立つ}
\end{equation*}という偽な命題に対応します。さらに別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{はすべての都道府県からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
\text{すべての都道府県の人口は}800\text{万人以上である}
\end{equation*}という偽な命題に対応します。閉論理式は無限通りに解釈可能です。

変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)に関する命題関数\(P\left( x,y\right) \)に関する以下の論理式\begin{equation*}
\exists x\in X:P\left( x,y\right)
\end{equation*}は変数\(y\)の自由な現れを持つため、これは開論理式です。この閉論理式の1つの解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X,Y\text{はすべての実数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x^{2}=y \\
&&\left( c\right) \ y=2
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
x^{2}=2\text{を満たす実数}x\text{が存在する}
\end{equation*}という真な命題に対応します。別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X,Y\text{はすべての実数からなる集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x^{2}=y \\
&&\left( c\right) \ y=-1
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
x^{2}=-1\text{を満たす実数}x\text{が存在する}
\end{equation*}という偽な命題に対応します。さらに別の解釈は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は都道府県の集合、}Y\text{はすべての自然数の集合} \\
&&\left( b\right) \ P\left( x,y\right) :x\text{の人口は}y\text{以上} \\
&&\left( c\right) \ y=800\text{万}
\end{eqnarray*}というものですが、この解釈は、\begin{equation*}
\text{人口が}800\text{万人以上の都道府県が存在する}
\end{equation*}という真な命題に対応します。開論理式は無限通りに解釈可能です。

セールスマンが以下のように発言しました。「20代または30代でこの商品を購入した方々は全員、この商品を高く評価しています。残念ながら、この商品を高く評価していない方もいます。ただ、他の世代の方もこの商品を購入していることは確かです。」この発言には論理的な嘘が含まれている可能性がありますが、それはどのような嘘でしょうか。変数\(x\)の定義域\(X\)をすべての人からなる集合と定めた上で、以下の命題関数\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は20代である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は30代である} \\
R\left( x\right) &:&x\text{は商品購入者である} \\
S\left( x\right) &:&x\text{は商品を高く評価している}
\end{eqnarray*}をそれぞれ導入します。このとき、「20代または30代でこの商品を購入した方々は全員、商品を高く評価している」という主張は以下の論理式\begin{equation}
\forall x\in X:\left( \left( \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right)
\right) \wedge R\left( x\right) \right) \rightarrow S\left( s\right) \right)
\quad\cdots (1)
\end{equation}として定式化され、「この商品を高く評価していない方もいる」という主張は以下の論理式\begin{equation}
\exists x\in X:\lnot S\left( s\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}として定式化され、「他の世代の方もこの商品を購入している」という主張は以下の論理式\begin{equation}
\exists x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right)
\wedge R\left( x\right) \right) \quad\cdots (3)
\end{equation}として定式化されます。実態として、商品を購入しているのは20代または30代の人だけで、購入者はいずれも商品を高く評価しているものとします。ただ、20代または30代の中には商品を購入していない人がおり、その人は商品を高く評価しようがありません。このような解釈において、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は真である一方、\(\left( 3\right) \)は偽となります。

信号機の回路を設計します。時間\(t\)を変数とし、それを離散的\(0,1,2,3,\cdots \)なものとして扱います。その上で以下の命題関数\begin{eqnarray*}
B\left( t\right) &:&\text{時点}t\text{において信号は青である} \\
Y\left( t\right) &:&\text{時点}t\text{において信号は黄色である} \\
R\left( t\right) &:&\text{時点}t\text{において信号は赤である}
\end{eqnarray*}を定義します。まず、それぞれの時点\(t\)において信号の色が青、黄色、赤のいずれかであることを論理式として定式化すると、\begin{equation*}
\left( B\left( t\right) \Leftrightarrow \left( \lnot Y\left( t\right) \wedge
\lnot R\left( t\right) \right) \right) \wedge \left( Y\left( t\right)
\Leftrightarrow \left( \lnot B\left( t\right) \wedge \lnot R\left( t\right)
\right) \right) \wedge \left( R\left( t\right) \Leftrightarrow \left( \lnot
B\left( t\right) \wedge \lnot Y\left( t\right) \right) \right)
\end{equation*}となります。また、それぞれの時点\(t\)において、信号の色は変わるとは限らないが、変わる場合には青から黄色、黄色から赤、赤から青へ変わることを論理式として定式化すると、\begin{eqnarray*}
B\left( t\right) &\Rightarrow &B\left( t\right) \vee Y\left( t\right) \\
Y\left( t\right) &\Rightarrow &Y\left( t\right) \vee R\left( t\right) \\
R\left( t\right) &\Rightarrow &R\left( t\right) \vee B\left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。また、信号が青または赤であり続ける時間の長さは\(2\)単位時間であり、信号が黄色であり続ける時間の長さが\(1\)単位時間であることを論理式として表現すると、\begin{eqnarray*}
B\left( t-2\right) \wedge B\left( t-1\right) &\Rightarrow &\lnot B\left(
t\right) \\
Y\left( t-1\right) &\Rightarrow &\lnot Y\left( t\right) \\
R\left( t-2\right) \wedge R\left( t-1\right) &\Rightarrow &\lnot R\left(
t\right)
\end{eqnarray*}となります。

「数独（すうどく）」とは縦横9行ずつの合計81マスの枠内に1から9までの数字を1つずつ入れるパズルです。ゲームの開始時点において下図のようにいくつかのマスにはすでに数字が書かれており、空いているマスに1から9までの数字を1つずつ入れていくことが目標になります。ただし、全体は下図のように太線で囲まれた3\(\times \)3のブロックに区切られており、同じブロック内のマスに同じ数字を入れることはできません。また、同じ行内のマスや同じ列内のマスにも同じ数字を入れることはできません。

以上を踏まえた上で以下の問いに答えてください。

1. 「それぞれのマスに入れられるのは1つの数字だけである」ことを論理式として定式化してください。
2. 「それぞれの行内のマスには1から9までの数字が1つずつ入る」ことを論理式として定式化してください。
3. 「それぞれの列内のマスには1から9までの数字が1つずつ入る」ことを論理式として定式化してください。
4. 「それぞれのブロック内のマスには1から9までの数字が1つずつ入る」ことを論理式として定式化してください。