全体集合と空集合の関係
全体集合\(U\)と空集合\(\phi \)の間には以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ U^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ \phi ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
全体集合の補集合は空集合であるというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、空集合の補集合は全体集合であるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
\left( b\right) \ \phi ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。
零元としての全体集合・空集合
集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \phi &=&\phi \\
\left( b\right) \ A\cup U &=&U
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを恒等律（identity law）と呼びます。
集合と空集合の共通部分は空集合であるというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、集合と全体集合の和集合は全体集合であるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
\left( b\right) \ A\cup U &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}は集合であるため、恒等律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\backslash B\right) \cap \phi &=&\phi \\
\left( b\right) \ \left( A\backslash B\right) \cup U &=&U
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap B^{c} &=&A\cap \left( B\cap B^{c}\right) \quad
\because \text{結合律} \\
&=&A\cap \phi \quad \because \text{補集合法則}
\\
&=&\phi \quad \because \text{恒等律}
\end{eqnarray*}となります。
単位元としての全体集合・空集合
集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cup \phi &=&A \\
\left( b\right) \ A\cap U &=&A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これもまた恒等律（identity law）と呼びます。
集合と空集合の和集合をとるともとの集合に戻るというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、集合と全体集合の共通部分をとるともとの集合に戻るというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
\left( b\right) \ A\cap U &=&A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}は集合であるため、恒等律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\backslash B\right) \cup \phi &=&\left(
A\backslash B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\backslash B\right) \cap U &=&\left( A\backslash
B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B^{c}\right) &=&A\cap \left( B\cup
B^{c}\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&A\cap U\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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