任意の集合に対して、空集合との共通部分をとると空集合になり、全体集合との和集合をとると全体集合になります。また、任意の集合に対して、空集合との和集合や全体集合との共通部分をとるといずれももとの集合に戻ります。これを恒等法則と呼びます。
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零元としての空集合・全体集合

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\cap \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in \phi \quad \because
\cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge \bot \quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒偽式}\bot
\text{の性質} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap \phi =\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合と空集合の共通部分は空集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替え、\(\phi \)を\(U\)に入れ替えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cup U=U
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます(演習問題にします)。つまり、集合と全体集合の和集合は全体集合と一致するということです。以上を恒等法則(identity law)と呼びます。

命題(恒等法則)
空集合\(\phi \)、全体集合\(U\)、そして任意の集合\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \phi &=&\phi \\
\left( b\right) \ A\cup U &=&U
\end{eqnarray*}
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例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap B^{c}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap B^{c} &=&A\cap \left( B\cap B^{c}\right) \quad
\because \text{結合律} \\
&=&A\cap \phi \quad \because \text{補集合法則}
\\
&=&\phi \quad \because \text{恒等法則}
\end{eqnarray*}となります。
例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}
A\cap B=\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup B\right) \cap \left(
A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup B\right) \cap \left( A\cup
B\right) &=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( \left( A^{c}\cap A\right)
\cup B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( \phi \cup B\right) \quad \because
\text{補集合法則} \\
&=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap B\quad \because \text{恒等法則} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup \left( B^{c}\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup \phi \quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{恒等法則}
\end{eqnarray*}となります。

 

単位元としての空集合・全体集合

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\cup \phi &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in \phi \quad \because \cup
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\vee \bot \quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \text{恒偽式}\bot
\text{の性質}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cup \phi =A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合と空集合の和集合はもとの集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替え、\(\phi \)を\(U\)に入れ替えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cap U=A
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます(演習問題にします)。つまり、集合と全体集合の共通部分はもとの集合と一致するということです。以上も恒等法則と呼びます。

命題(恒等法則)
空集合\(\phi \)、全体集合\(U\)、そして任意の集合\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cup \phi &=&A \\
\left( b\right) \ A\cap U &=&A
\end{eqnarray*}
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例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B^{c}\right) =A
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B^{c}\right) &=&A\cap \left( B\cup
B^{c}\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&A\cap U\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。
例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}
A\cup B=\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \cup \left(
A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \cup \left( A\cap
B\right) &=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( \left( A^{c}\cup A\right)
\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( U\cap B\right) \quad \because \text{補集合法則} \\
&=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup B\quad \because \text{恒等法則} \\
&=&\left( A\cup B\right) \cap \left( B^{c}\cup B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cup B\right) \cap U\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A\cup B\quad \because \text{恒等法則}
\end{eqnarray*}となります。

次回は双対原理と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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