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集合演算における恒等律

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零元としての空集合・全体集合

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in A\cap \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in \phi \quad \because
\text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge \bot \quad \because \text{空集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{論理演算に関する恒等律} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap \phi =\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合と空集合の共通部分は空集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替え、\(\phi \)を\(U\)に入れ替えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup U=U
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます。集合と全体集合の和集合は全体集合と一致するということです。以上を恒等律(identity law)と呼びます。

命題(恒等律)
空集合\(\phi \)、全体集合\(U\)、そして任意の集合\(A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \phi &=&\phi \\
\left( b\right) \ A\cup U &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(恒等律)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap B^{c}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap B^{c} &=&A\cap \left( B\cap B^{c}\right) \quad
\because \text{結合律} \\
&=&A\cap \phi \quad \because \text{補集合法則}
\\
&=&\phi \quad \because \text{恒等律}
\end{eqnarray*}となります。

例(恒等律)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}A\cap B=\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup B\right) \cap \left(
A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup B\right) \cap \left( A\cup
B\right) &=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( \left( A^{c}\cap A\right)
\cup B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap \left( \phi \cup B\right) \quad \because
\text{補集合法則} \\
&=&\left( A\cup B^{c}\right) \cap B\quad \because \text{恒等律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup \left( B^{c}\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup \phi \quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{恒等律}
\end{eqnarray*}となります。

 

単位元としての空集合・全体集合

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in A\cup \phi &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in \phi \quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\vee \bot \quad \because \text{空集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \text{論理演算に関する恒等律}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cup \phi =A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合と空集合の和集合はもとの集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替え、\(\phi \)を\(U\)に入れ替えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cap U=A
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます。集合と全体集合の共通部分はもとの集合と一致するということです。

命題(恒等律)
空集合\(\phi \)と全体集合\(U\)および任意の集合\(A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cup \phi &=&A \\
\left( b\right) \ A\cap U &=&A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B^{c}\right) =A
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B^{c}\right) &=&A\cap \left( B\cup
B^{c}\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&A\cap U\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。

例(恒等法則)
集合\(A,B\)に関して、\begin{equation*}A\cup B=\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \cup \left(
A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \cup \left( A\cap
B\right) &=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( \left( A^{c}\cup A\right)
\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( U\cap B\right) \quad \because \text{補集合法則} \\
&=&\left( A\cap B^{c}\right) \cup B\quad \because \text{恒等法則} \\
&=&\left( A\cup B\right) \cap \left( B^{c}\cup B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cup B\right) \cap U\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&A\cup B\quad \because \text{恒等法則}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(恒等法則)
任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A\cup \left( B^{c}\cup A\right) ^{c}=A\cup B
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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問題(恒等法則)
任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A\cap \left( B^{c}\cap A\right) ^{c}=A\cap B
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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次回は二重補集合法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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