ベキ等律

前節では、集合どうしが等しいことを利用して集合を相等変換できることを学びました。本節からは、そのような相等変換を行うための基本法則を順に学んでいきます。最初に取り上げるのはベキ等律（idemopotent law）です。ベキ等律は「同じ集合との共通部分や和集合を何度とっても結果は変わらない」という性質を表します。一見すると自明に思えるかもしれませんが、この法則は複雑な集合式を簡単にしたり、逆に証明の途中で同じ集合を自由に付け加えたりする際の基本となる重要な法則です。

集合\(A\)を任意に選んだとき、共通部分\(\cap \)と和集合\(\cup \)に関して以下の関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap A &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup A &=&A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、同じ集合どうしの共通部分や和集合はもとの集合と一致するということです。これをベキ等律（idemopotent law）と呼びます。

ベキ等律と集合の相等関係\(=\)の推移律より、任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\cap A=A\cup A
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、同一の集合どうしの論理積と論理和は一致します。

ベキ等律は集合を簡単にするだけでなく、証明の途中で同じ集合を自由に付け加えることも可能にします。

ベキ等律の一般化

集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( A\cap A\right) \cap A &=&A\cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cap \left( A\cap A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\cap A\right) \cap A=A\cap \left( A\cap A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、3つの\(A\)の間にある2つの\(\cap \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる集合は等しくなります。そこで、これら2つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap A\cap A
\end{equation*}で表記します。和集合についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\cup A\right) \cup A=A\cup \left( A\cup A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、これら2つの集合を区別せずに、\begin{equation*}
A\cup A\cup A
\end{equation*}で表記します。

任意個の集合\(A\)の共通部分や和集合についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\cap \cdots \cap A}}
\end{equation*}で表記します。同様に、有限\(n\)個の集合\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\cup \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\cup \cdots \cup A}}
\end{equation*}で表記します。

以上の表記を踏まえたとき、以下が成り立つことが集合の個数\(n\)に関する数学的帰納法により示されます。

ベキ等律の有用性

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A\cap B &\Leftrightarrow &A\cap B\cap B\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\cap B\cap B\cap B\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\cdots \\
&\Leftrightarrow &A\cap B\cap B\cap \cdots \cap B\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\cap B\cap \cdots \cap B \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) \)の左側の集合\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}は、集合\(A\)に対して「集合\(B\)との共通部分をとる」という操作を1回だけ行うことにより得られる集合です。一方、\(\left( 1\right) \)の右側の集合\begin{equation*}A\cap B\cap B\cap \cdots \cap B
\end{equation*}は、同様の操作を繰り返し行うことにより得られる集合です。\(\left( 1\right) \)はこれらの操作の結果が一致することを保証します。

和集合についても同様に考えることにより、\begin{equation*}
A\cup B\cup B\cup \cdots \cup B
\end{equation*}を得ます。

つまり、「同じ集合との共通部分をとる」という操作や「同じ集合との和集合をとる」という操作を繰り返し行うことは、その操作を1回だけ行うことと同じであることをベキ等律は保証します。したがって、ベキ等律のもとでは繰り返しを含む煩雑な操作を簡略化したり、逆に、同じ操作を繰り返し行ってもよいことが保証されます。ベキ等律を今後学ぶ交換律・結合律・分配律などと組み合わせることにより、複雑な集合を段階的に簡単な形へ変形できるようになります。

演習問題