ベキ等律

同じ集合どうしの共通部分や和集合をとると、それはいずれももとの集合と等しい集合になります。共通部分や和集合が満たすこのような性質をベキ等律と呼びます。
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ベキ等律

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in A\cap A &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in A\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \wedge \text{のベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap A=A
\end{equation*}を得ます。同じ集合どうしの共通部分をとると、それはもとの集合と一致するということです。また、\(\left( a\right) \)において\(\cap \)を\(\cup \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cup A=A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、同じ集合どうしの和集合をとると、それはもとの集合と一致します。共通部分と和集合が満たすこのような性質をベキ等律(idemopotent law)と呼びます。

命題(ベキ等律)
任意の集合\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap A &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup A &=&A
\end{eqnarray*}
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ベキ等律と\(=\)の推移律より、任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\left( c\right) \ A\cap A=A\cup A
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、同一の集合どうしの倫理積と論理和は等しい集合です。

例(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
A &=&A\cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&\left( A\cap A\right) \cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cap \left( A\cap A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
A &=&A\cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&\left( A\cup A\right) \cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup \left( A\cup A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\(=\)の推移律より、ここに登場したすべての集合は等しいです。
例(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
\left( \left( A\cup A\right) \cap A\right) \cup \left( A\cap \left( A\cup
A\right) \right) =A
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \left( A\cup A\right) \cap A\right) \cup \left( A\cap \left( A\cup
A\right) \right) &=&\left( A\cap A\right) \cup \left( A\cap A\right) \quad
\because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。

 

ベキ等律の一般化

集合\(A\)に対して、共通部分\(\cap \)のベキ等律より、\begin{equation*}
\left( A\cap A\right) \cap A=A\cap \left( A\cap A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、3つの\(A\)の間にある 2 つの\(\cap \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる集合は等しくなります。そこで、これら2つの集合を区別せずに\(A\cap A\cap A\)で表します。和集合\(\cup \)についても同様に考えると、\(\left( A\cup A\right) \cup A\)と\(A\cup \left( A\cup A\right) \)を区別せずに\(A\cup A\cup A\)で表します。

4 つの\(A\)に関しても、それらの間にある 3 つの\(\cap \)のどれを最初に作用させるかという問題がありますが、\(\cap \)に関するベキ等律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}
\left( \left( A\cap A\right) \cap A\right) \cap A& \Leftrightarrow \left(
A\cap \left( A\cap A\right) \right) \cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( \left( A\cap A\right) \cap A\right) \quad
\because \text{ベキ等律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( A\cap \left( A\cap A\right) \right) \quad
\because \text{ベキ等律}
\end{align*}が成立するため、\(\cap \)の作用の順番に関わらず等しい集合が得られます。したがって、これら 4 つの集合を区別せずに\(A\cap A\cap A\cap A\)で表します。和集合についても同様に考えると、上と同様の 4 つの和集合を区別せずに\(A\cup A\cup A\cup A\)で表します。

任意個の集合\(A\)の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{n}A=A\cap \cdots \cap A
\end{equation*}で表します。和集合についても同様に考えることで、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}A=A\cup \cdots \cup A
\end{equation*}で表します。

 

他の集合演算に関するベキ等律

差集合\(\backslash \)に関するベキ等律は、任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\backslash A=A
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちません。実際、任意の集合\(A\)について\(A\backslash A=\phi \)であるため、\(A\)が非空の集合である場合には\(A\backslash A\not=A\)です。

対称差\(\Delta \)に関するベキ等律は、任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\triangle A=A
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちません。実際、任意の集合\(A\)ついて、\begin{eqnarray*}
A\triangle A &=&\left( A\backslash A\right) \cup \left( A\backslash A\right)
\quad \because \triangle \text{の定義} \\
&=&\phi \cup \phi \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)が非空の集合である場合には\(A\triangle A\not=A\)です。

次回は交換律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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