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集合演算におけるベキ等律

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ベキ等律

集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in A\cap A &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in A\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \text{論理積のベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap A=A
\end{equation*}を得ます。同じ集合どうしの共通部分をとると、それはもとの集合と一致するということです。また、\(\left( a\right) \)において\(\cap \)を\(\cup \)に置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup A=A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、同じ集合どうしの和集合をとると、それはもとの集合と一致します。共通部分と和集合が満たすこのような性質をベキ等律(idemopotent law)と呼びます。

命題(ベキ等律)
任意の集合\(A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap A &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup A &=&A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

証明

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ベキ等律と\(=\)の推移律より、任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}\left( c\right) \ A\cap A=A\cup A
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、同一の集合どうしの倫理積と論理和は等しい集合です。

例(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}A &=&A\cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&\left( A\cap A\right) \cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cap \left( A\cap A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
A &=&A\cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&\left( A\cup A\right) \cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup \left( A\cup A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\(=\)の推移律より、ここに登場したすべての集合は等しいです。
例(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\left( \left( A\cup A\right) \cap A\right) \cup \left( A\cap \left( A\cup
A\right) \right) =A
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \left( A\cup A\right) \cap A\right) \cup \left( A\cap \left( A\cup
A\right) \right) &=&\left( A\cap A\right) \cup \left( A\cap A\right) \quad
\because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。

 

ベキ等律の一般化

集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( A\cap A\right) \cap A &=&A\cap A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cap \left( A\cap A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\cap A\right) \cap A\Leftrightarrow A\cap \left( A\cap A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、3つの\(A\)の間にある2つの\(\cap \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる集合は等しくなります。そこで、これら2つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap A\cap A
\end{equation*}で表記します。和集合についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\cup A\right) \cup A=A\cup \left( A\cup A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、これら2つの集合を区別せずに、\begin{equation*}
A\cup A\cup A
\end{equation*}で表記します。

任意個の集合\(A\)の共通部分や和集合についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\cap \cdots \cap A}}
\end{equation*}で表記します。同様に、有限\(n\)個の集合\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\cup \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\cup \cdots \cup A}}
\end{equation*}で表記します。

以上の表記を踏まえたとき、以下が成り立つことが集合の個数\(n\)に関する数学的帰納法により示されます。

命題(ベキ等律)
任意の集合\(A\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\cap \cdots \cap A=A \\
& \left( b\right) \ A\cup \cdots \cup A=A
\end{align*}が成り立つ。ただし、\(A\cap \cdots \cap A\)や\(A\cup \cdots \cup A\)は有限\(n\)個の\(A\)の共通部分ないし和集合である。
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演習問題

問題(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選んだとき、差集合\(\backslash \)に関するベキ等律は、\begin{equation*}A\backslash A=A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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問題(ベキ等律)
集合\(A\)を任意に選んだとき、対称差\(\triangle \)に関するベキ等律は、\begin{equation*}A\triangle A=A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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次回は交換律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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