集合 A,B のどちらか一方だけに属する要素からなる集合を A と B の対称差と呼びます。集合 A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) から内包的に定義されるとき、A と B の対称差は P(x) と Q(x) のどちらか一方だけが真になるような要素 x からなる集合です。
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対称差

集合演算子\(\triangle \)を対称差(symmetric difference)と呼び、集合\(A,B\)に\(\triangle \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の対称差(symmetric difference of \(A\) and \(B\))と呼び、これを\(A\triangle B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の対称差とは、\(A\)には属するが\(B\)には属さない要素と、\(B\)には属するが\(A\)には属さない要素からなる集合\begin{equation*}
A\triangle B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)
\end{equation*}として定義されます。この事実は、対称差\(\triangle \)は和集合\(\cup \)と差集合\(\backslash \)から間接的に定義されることを意味します。さらに、差集合\(\backslash \)に関しては、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ち、これは補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から定義されるため、結局、補集合と共通部分と和集合さえ定義されていれば、対称差を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、対称差を独立した集合演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま\(\triangle \)を採用します。

例(対称差)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)について、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&\{1,2,6\}\cup \{b,c,d,e\} \\
&=&\{1,2,6,b,c,d,e\}
\end{eqnarray*}です。
例(対称差)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)について、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&\{1,2,3\}\cup \{4,5,6\} \\
&=&\{1,2,3,4,5,6\} \\
&=&A\cup B
\end{eqnarray*}です。
例(対称差)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)について、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&[0,2)\cup (2,3] \\
&=&\left[ 0,3\right] \backslash \{2\}
\end{eqnarray*}です。

 

対称差の内包的表現

集合\(A,B\)が命題関数を用いて、\begin{eqnarray}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\triangle B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\not\in B\right)
\vee \left( x\in B\wedge x\not\in A\right) \quad \because \triangle \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\vee \left( Q\left( x\right) \wedge P\left( x\right) \right) \quad \because
A,B\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \quad \because
\veebar \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)と\(B\)の対称差を、\begin{equation}
A\triangle B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right)
\right\} \tag{3}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) \)と命題\(Q\left( x\right) \)のどちらか一方が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\triangle B\)です。対称差\(\triangle \)という集合演算は、排他的論理和\(\veebar \)という論理演算から間接的に定義される概念です。

全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように、集合\(B\)は命題関数\(Q\left( x\right)\)から\(\left( 2\right) \)のようにそれぞれ内包的に定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right)\)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致し、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。差集合\(A\backslash B\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは論理式\(P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\veebar Q\right) \)である\(\left( 3\right) \)と一致します。

図:対称差
図:対称差
例(対称差)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}
A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの対称差は、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\text{\ }\veebar \text{\ }4\leq x\leq 15\} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\text{\ }\vee \text{\ }10\leq x\leq 15\}
\end{eqnarray*}です。
例(対称差)
集合\(A\)と空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\triangle \phi &\Leftrightarrow &x\in A\veebar x\in \phi \quad
\because \triangle \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \veebar \bot \quad \because A,\phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \quad \because \bot \text{は恒偽式} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\triangle \phi =A\)が成り立ちます。
例(対称差)
集合\(A\)と全体集合\(U\)、そして空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
U &=&\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\top \)は恒真式であり\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\triangle U &\Leftrightarrow &x\in A\veebar x\in U\quad \because
\triangle \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\not\in U\right) \vee \left( x\not\in
A\wedge x\in U\right) \quad \because \veebar \text{の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge \bot \right) \vee x\in
A^{c}\quad \because A,U,c\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \vee x\in A^{c} \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{c}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\triangle U=A^{c}\)が成り立ちます。

次回から集合の変形について解説します。

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