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対称差

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対称差

集合演算子\(\triangle \)を対称差(symmetric difference)と呼び、集合\(A,B\)に\(\triangle \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の対称差(symmetric difference of \(A\) and \(B\))と呼び、これを\(A\triangle B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の対称差とは、\(A\)には属するが\(B\)には属さない\(U\)の要素と、\(B\)には属するが\(A\)には属さない\(U\)の要素からなる集合\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}として定義されます。この事実は、対称差\(\triangle \)は和集合\(\cup \)と差集合\(\backslash \)から間接的に定義されることを意味します。さらに、差集合\(\backslash \)に関しては、\begin{equation*}A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{equation*}
A\triangle B=(A\cap B^{c})\cup (A^{c}\cap B)
\end{equation*}となるため、結局、補集合と共通部分と和集合さえ定義されていれば、対称差を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、対称差を独立した集合演算として定義しておくと何かと便利であるため引き続き\(\triangle \)を利用します。

例(対称差)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)について、\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&\{1,2,6\}\cup \{b,c,d,e\} \\
&=&\{1,2,6,b,c,d,e\}
\end{eqnarray*}となります。

例(対称差)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)について、\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&\{1,2,3\}\cup \{4,5,6\} \\
&=&\{1,2,3,4,5,6\} \\
&=&A\cup B
\end{eqnarray*}となります。

例(対称差)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)について、\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \\
&=&[0,2)\cup (2,3] \\
&=&\left[ 0,3\right] \backslash \{2\}
\end{eqnarray*}となります。

 

対称差の内包的表現

全体集合が\(U\)であるものとします。議論の対象である2つの集合\(A,B\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の中でも命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が真になるような要素\(x\)からなる集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}をそれぞれ考えることを意味します。では、これらの集合\(A,B\)の対称差\(A\triangle B\)はどのような形で内包的に表現できるのでしょうか。任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\triangle B &\Leftrightarrow &x\in (A\backslash B)\cup (B\backslash
A)\quad \because \text{対称差の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\backslash B\vee x\in B\backslash A\quad \because
\text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\not\in B\right) \vee \left( x\in
B\wedge x\not\in A\right) \quad \because \text{差集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right)
\right) \vee \left( Q\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right)
\quad \because A,B\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \quad \because
\text{排他的論理和の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\triangle B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}となります。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left(x\right) \)と命題\(Q\left( x\right) \)のどちらか一方が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\triangle B\)です。対称差\(\triangle \)という集合演算は排他的論理和\(\veebar \)から間接的に定義可能であるということです。

図:対称差
図:対称差

同じことを視覚的に確認します。全体集合\(U\)が上図の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(B\)は\(Q\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。一方、対称差\(A\triangle B\)は論理式\(P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\veebar Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

例(対称差)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}と内包的に定義されているとき、対称差の定義より、\begin{equation*}
A\triangle B=\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\veebar 4\leq x\leq 15\}
\end{equation*}となります。もしくは、差集合の定義より、\begin{eqnarray*}
A\backslash B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\right\} \\
B\backslash A &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 10\leq x\leq 15\right\}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\quad \because \text{対称差の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\vee 10\leq x\leq 15\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となります。

例(対称差)
集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}A\triangle \phi &=&A\backslash \phi \cup \phi \backslash A\quad \because
\text{対称差の定義} \\
&=&A\cup \phi \quad \because \text{差集合の定義} \\
&=&A\quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\triangle \phi =A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合と空集合の対称差をとっても集合として変化しません。

例(対称差)
集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}A\triangle U &=&A\backslash U\cup U\backslash A\quad \because \text{対称差の定義} \\
&=&\phi \cup A^{c}\quad \because \text{補集合および差集合の定義} \\
&=&A^{c}\quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\triangle U=A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合と全体集合の対称差をとるともとの集合の補集合が得られます。

 

演習問題

問題(対称差の定義)
本文中では、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\triangle B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)
\end{equation*}を満たすものとして対称差\(\triangle \)を定義しました。対称差に関しては、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立つことを証明してください。

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問題(対称差)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B\subset A\cup B
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

証明

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問題(対称差)
集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle A^{c}=U
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。ただし\(U\)は全体集合です。
証明

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問題(対称差)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B=A\triangle \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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次回から集合の変形について解説します。

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