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条件付き確率

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条件付き確率

ある試行に関する確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられているものとします。試行の結果はランダムネスによって支配されているため、試行によって事象\(A\in \mathcal{F}\)が起こるかどうかを確定的に知ることはできず、事象\(A\)が起こる確率\(P\left( A\right) \)のもとで試行を評価せざるを得ません。

では、試行によって事象\(A\)が起こるかどうかを事前に観察できないものの、何らかの事情により、別の事象\(B\in \mathcal{F}\)が起きたことが観察された場合(もしくは、事象\(B\)が起きているものと仮定する場合)、事象\(A\)が起こる確率をどのように評価すべきでしょうか。このような場合にも事象\(A\)が起こる確率を\(P\left( A\right) \)と評価したのでは、事象\(B\)が起きているという追加的な情報を活用できておらず望ましくありません。ある事象が起きたことを前提とした上で別の事象が起きる確率を評価する際には、通常の確率とは異なる新たな概念が必要です。

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、事象\(B\)が起きたことを前提としたときに事象\(A\)が起こる確率を、事象\(B\)が起きたという条件のもとでの事象\(A\)の条件付き確率(conditional probability of the event \(A\) given that the event \(B\) has occurred)と呼び、これを、\begin{equation*}P\left( A|B\right)
\end{equation*}で表記します。では、この条件付き確率を具体的にどのように定義すべきでしょうか。直感的に明らかな事実を出発点に考察を行います。

 

標本空間が有限ないし可算集合である場合の条件付き確率

まずは標本空間\(\Omega \)が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\begin{equation*}\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right)
\end{equation*}を舞台に議論を行います。つまり、確率測度\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega
\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega
\right\} \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right)
=\sum_{\omega \in A}P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。事象\(B\in 2^{\Omega }\)が起きたという条件のもとでの事象\(A\in 2^{\Omega }\)の条件付き確率\begin{equation*}P\left( A|B\right)
\end{equation*}をどのように評価すればよいでしょうか。

ここでのポイントは、事象\(B\)が起きたことはすでに分かっているため、試行によって実現した標本点が事象\(B\)の要素であることが確定しているという点です。したがって、考察対象とすべき標本空間を\(\Omega \)から\(B\)へと縮小できます。つまり、事象\(B\)が起きたという条件のもとでの事象\(A\)の条件付き確率について考える際には、新たな確率空間\begin{equation*}\left( B,2^{B},P(\cdot |B)\right)
\end{equation*}を舞台として設定するのがもっともらしいということです。新たな確率測度\(P\left( \cdot|B\right) :2^{B}\rightarrow \mathbb{R} \)にあわせて確率論の公理を書き換えると、\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall \omega \in B:P\left( \left\{ \omega \right\}
|B\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{\omega \in B}P\left( \left\{ \omega \right\}
|B\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in 2^{B}:P\left( A|B\right) =\sum_{\omega
\in A}P\left( \left\{ \omega \right\} |B\right)
\end{eqnarray*}となりますが、以上の公理を満たす確率測度\(P\left( \cdot |B\right) \)を具体的に構成することはできるのでしょうか。

試みとして、事象\(B\)の部分事象\(A\in 2^{B}\)に対して、その条件付き確率を、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}と定める関数\(P\left( \cdot |B\right):2^{B}\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。ただし、右辺中の\(P\)はもとの確率空間\(\left( \Omega,2^{\Omega },P\right) \)のもとでの確率測度\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)であり、事象\(B\)は、\begin{equation*}P\left( B\right) >0
\end{equation*}を満たすものとします。加えて、\(A\in 2^{B}\)すなわち\(A\subset B\)より\(A\cap B=A\)であるため、先の定義は、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}と必要十分です。つまり、事象\(B\)が起きたことが分かっている場合には、その部分事象\(A\)が起こる確率を、両者の確率の商として評価するということです。

以上のように定義された関数\(P\left( \cdot |B\right) \)は確率論の公理を満たすことが示されます。

命題(条件付き確率)
標本空間\(\Omega \)が有限集合ないし可算集合であるような確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)が与えられたとき、\(P\left( B\right) >0\)を満たす事象\(B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶ。その上で、それぞれの\(A\in 2^{B}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}を定める関数\(P\left( \cdot |B\right):2^{B}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、\(\left( B,2^{B},P\left( \cdot |B\right) \right) \)は確率空間となる。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \omega \in B:P\left( \left\{ \omega \right\}
|B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{\omega \in B}P\left( \left\{ \omega \right\}
|B\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{B}:P\left( A|B\right) =\sum_{\omega \in
A}P\left( \left\{ \omega \right\} |B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、事象\(B\)およびその部分事象\(A\)がそれぞれ任意に与えられたとき、条件付き確率を、\begin{equation}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\quad \cdots (1)
\end{equation}と定義すれば確率論の公理とは矛盾しないことが明らかになりました。では、事象\(B\)の部分事象であるとは限らない事象\(A\)に対して、その条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)をどのように定義すればよいでしょうか。言い換えると、もとの標本空間\(\Omega \)のもとで、\begin{equation*}\left( \Omega ,2^{\Omega },P\left( \cdot |B\right) \right)
\end{equation*}が確率空間になるような確率測度\(P\left( \cdot |B\right):2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)を具体的に構成できるのでしょうか。実は、このような場合にも、条件付き確率を\(\left( 1\right) \)と同様に定義することができます。

命題(条件付き確率)
標本空間\(\Omega \)が有限集合ないし可算集合であるような確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)が与えられたとき、\(P\left( B\right) >0\)を満たす事象\(B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶ。その上で、それぞれの\(A\in 2^{\Omega }\)に対して、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}を定める関数\(P\left( \cdot |B\right):2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\left( \cdot |B\right) \right) \)は確率空間となる。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega
\right\} |B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\}
|B\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A|B\right)
=\sum_{\omega \in A}P\left( \left\{ \omega \right\} |B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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以上の議論より、問題としている試行の標本空間\(\Omega \)が有限集合または可算集合である場合には、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)をそれぞれ任意に選んだとき、条件付き確率を、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}と定義すれば確率論の公理と矛盾しないことが明らかになりました。

例(条件付き確率)
歪みのない正六面体のサイコロのそれぞれの面に\(1\)から\(6\)までの数字が1つずつ記されています。「サイコロを2回振り出た目を記録する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ \forall i\in \left\{
1,2\right\} :x_{i}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}となります。ただし、\(x_{i}\)は\(i\)回目に出た目です。標本空間\(\Omega \)は有限集合であるため、事象集合\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\(2^{\Omega }\)を採用します。サイコロには歪みがないため、確率関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( \{\omega \}\right) =\frac{1}{36} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。それぞれの事象\(A\subset \Omega \)の確率を、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定めます。以上の\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)は明らかに確率空間です。「出た目の和の合計は\(10\)以上である」という事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \left( 4,6\right) ,\left( 6,4\right) ,\left( 5,5\right) ,\left(
5,6\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \right\}
\end{equation*}であるため、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&6\cdot \frac{1}{36}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{6}
\end{eqnarray*}となります。では、1回目に出た目が\(6\)であることが観察できた場合(2回目の目は観察できなかった)、「出た目の合計が\(10\)以上である」確率はどうなるでしょうか。「1回目に\(6\)が出る」という事象は、\begin{equation}B=\left\{ \left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left(
6,4\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \right\} \quad \cdots (3)
\end{equation}であるため、問題としている事象の確率は条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)に相当します。積事象\(A\cap B\)は、\begin{equation}A\cap B=\left\{ \left( 6,4\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right)
\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
P\left( A|B\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }\quad \because \text{条件付き確率の定義} \\
&=&\frac{3\cdot \frac{1}{36}}{6\cdot \frac{1}{36}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。

例(条件付き確率)
ある病気に感染しているかどうかを判定する検査方法が新たに開発されました。この検査の信頼性を調べるため、感染者に対してこの検査を実施したところ、\(90\%\)の人は陽性と正しく判定されましたが、残りの\(10\%\)の人は陰性と誤って判定されてしまいました。また、非感染者に対してもこの検査を実施したところ、\(80\%\)の人は陰性と正しく判定されましたが、残りの\(20\%\)の人は陽性と誤って判定されてしまいました。ある集団の中から1人をランダムに選んでこの検査を実施したところ、その人は陽性と判定されました。このとき、この人が実際に感染者である確率はどの程度でしょうか。ただし、この人が実際に感染者であるかは否かは不明ですが、問題としている集団における感染者の割合が\(5\%\)であることは分かっているものとします。まず、この試行を表す確率空間を定式化します。「集団から1人をランダムに選んで検査を行う」という試行の標本空間を\(\Omega \)で表し、標本点を\(\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \)で表します。ただし、\(\omega _{1}\in \{0,1\}\)であり、\(0\)はこの人が感染者であることに、\(1\)はこの人が非感染者であることにそれぞれ対応します。また、\(\omega _{2}\in \{P,N\}\)であり、\(P\)は検査において陽性であることに、\(N\)は検査において陰性であることにそれぞれ対応します。この試行の標本空間\begin{equation*}\Omega =\left\{ 0,1\right\} \times \left\{ P,N\right\}
\end{equation*}は有限集合であるため、試行空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\(2^{\Omega }\)を採用します。確率関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの根元事象に対して定める確率は、\begin{eqnarray}P\left( \left\{ \left( 0,P\right) \right\} \right) &=&\frac{5}{100}\cdot
\frac{90}{100}=\frac{9}{200} \quad \cdots (1) \\
P\left( \left\{ \left( 0,N\right) \right\} \right) &=&\frac{5}{100}\cdot
\frac{10}{100}=\frac{1}{200} \quad \cdots (2) \\
P\left( \left\{ \left( 1,P\right) \right\} \right) &=&\frac{95}{100}\cdot
\frac{20}{100}=\frac{19}{100} \quad \cdots (3) \\
P\left( \left\{ \left( 1,N\right) \right\} \right) &=&\frac{95}{100}\cdot
\frac{80}{100}=\frac{76}{100} \quad \cdots (4)
\end{eqnarray}です。それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)について、その確率を、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}と定めます。以上の\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)は明らかに確率空間です。この試行において、検査において陽性と判定された人が実際に感染者であるという確率は、以下の 2 つの事象\begin{eqnarray*}A &:&\text{感染者である} \\
B &:&\text{検査で陽性になる}
\end{eqnarray*}に関する条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)として表現されますが、\begin{align*}A\cap B& =\left\{ \left( 0,P\right) \right\} \\
B& =\left\{ \left( 0,P\right) ,\left( 1,P\right) \right\}
\end{align*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
P\left( A|B\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }\quad \because \text{条件付き確率の定義} \\
&=&\frac{\sum\limits_{\omega \in A\cap B}P\left( \{\omega \}\right) }{\sum\limits_{\omega \in B}P\left( \{\omega \}\right) }\quad \because \left(
5\right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ \left( 0,P\right) \right\} \right) }{P\left(
\left\{ \left( 0,P\right) \right\} \right) +P\left( \left\{ \left(
1,P\right) \right\} \right) } \\
&=&\frac{\frac{9}{200}}{\frac{9}{200}+\frac{19}{100}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\frac{9}{47} \\
&\approx &0.19
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、陽性と判定された人が実際には非感染者である確率や、陰性と判定された人が実際には感染者である確率、また、陰性と判定された人が実際に非感染者である確率なども、上と同様に条件付き確率として求めることができます。

 

標本空間が一般の集合である場合の条件付き確率

これまでは標本空間\(\Omega \)が有限集合もしくは可算集合である場合について考えてきましたが、標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合にも、条件付き確率を同様に定義することができます。

命題(条件付き確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、\(P\left( B\right) >0\)を満たす事象\(B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶ。その上で、それぞれの\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}を定める関数\(P\left( \cdot |B\right) :\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\left( \cdot |B\right) \right) \)は確率空間となる。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A|B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ P\left( \Omega |B\right) =1
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\(\mathcal{F}\)の任意の排反な可算部分集合族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}\left( c\right) \ P\left( \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}|B\right) =\sum\limits_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}|B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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条件付き確率関数\(P\left(\cdot |B\right) \)は確率論の公理を満たすことが明らかになりました。したがって、確率論の公理を用いて導かれた確率関数\(P\)に関する性質は、条件付き確率関数\(P\left( \cdot |B\right) \)にも引き継がれます。例えば、空事象の条件付き確率が\(P\left( \phi |B\right) =0\)であること、余事象の条件付き確率が\(P\left( A^{c}|B\right)=1-P\left( A|B\right) \)を満たすこと、条件付き確率の値がとり得る範囲が\(0\leq P\left( A|B\right) \leq 1\)であること、他にも単調性や減法性、加法定理など、諸々の性質が条件付き確率に関してもそのまま成り立ちます。

 

演習問題

問題(条件付き確率)
歪みのない正六面体のサイコロのそれぞれの面に\(1\)から\(6\)までの数字が1つずつ記されています。「サイコロを2回振り出た目を記録する」という試行を行ったところ、出た目の合計が奇数であることが観察されました。以上を踏まえたとき、出た目の合計が\(7\)以下である確率を求めてください。
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問題(条件付き確率)
ある家族に双子が産まれました。男女は等しい確率で産まれるものとします。このとき、以下の問いに答えてください。

  1. 上の子が男であることが分かっている場合、二人が男女である確率を求めてください。
  2. 少なくとも一方が女であることが分かっている場合、二人とも女である確率を求めてください。
  3. 上の子が女であることが分かっている場合、二人とも女である確率を求めてください。
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