可算個の事象族の独立性（可算個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）

可算個の事象族の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\cdots ,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。同じことを、有限集合族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。では、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が与えられているものとします。その中から有限個の事象族を任意に選んだとき、選ばれた事象族が独立であることが保証されるのであれば、もとの可算個の事象\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)は独立である（independent）とか相互独立である（mutual independent）であるなどと言います。同じことを、可算集合族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であると言うこともできます。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定式化できるでしょうか。まず、選ばれる事象の個数\(n\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。個数\(n\)を決定したら、続いて、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)の中から\(n\)個を任意に選んだ上で、それらを\(\mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left( n\right) }\)で表記します。その上で、選ばれた事象族\(\mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left( n\right) }\)が独立であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left(
n\right) }\in \left\{ \mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \right\} ,\
\forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{\left( i\right) }\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{\left( i\right)
}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)は独立です。つまり、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)が独立であることとは、任意の有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限集合族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立であることを意味します。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、これらは従属である（dependent）と言います。同じことを、可算集合族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。これは、少なくとも1つの有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限集合族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立ではないことを意味します。

全体事象を要素として持つ事象族どうしの独立性

繰り返しになりますが、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left(
n\right) }\in \left\{ \mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \right\} ,\
\forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{\left( i\right) }\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{\left( i\right)
}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、番号\(n\)および事象族\(\mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left(n\right) }\)を選んだとき、\(\left\{1,\cdots ,n\right\} \)のすべての部分集合\(I\)について上の条件が成り立つことをすべて確認するのは面倒です。一方、事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)がいずれも全体事象\(\Omega \)を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} :\Omega \in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left( n\right)}\)が独立であることを確認する際に\(\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)のすべての部分集合\(I\)に条件が成り立つこと確認する必要はなく、\begin{equation*}I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}の場合についてのみ条件が成り立つことを確認すれば、すなわち、以下の命題\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left(
n\right) }\in \left\{ \mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \right\}
:P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{\left( i\right) }\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( A_{\left( i\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)が独立であることを示したことになります。

可算個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が与えられれば、それぞれから\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right),\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \subset \mathcal{F}\)を作ることができます。これらは事象族であるため、独立であるか検討できます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \sigma \left( \mathcal{A}_{\left( 1\right) }\right) ,\cdots
,\sigma \left( \mathcal{A}_{\left( n\right) }\right) \in \left\{ \sigma
\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right)
,\cdots \right\} ,\ \forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\bigcap_{i\in I}\sigma \left( A_{\left( i\right) }\right) \right)
=\prod_{i\in I}P\left( \sigma \left( A_{\left( i\right) }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つか検討できます。ただし、\(\sigma \)-代数は全体集合\(\Omega \)を要素として持つため、上の命題が成り立つことと、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \sigma \left( \mathcal{A}_{\left( 1\right) }\right) ,\cdots
,\sigma \left( \mathcal{A}_{\left( n\right) }\right) \in \left\{ \sigma
\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right)
,\cdots \right\} :P\left( \bigcap_{i=1}^{n}\sigma \left( A_{\left( i\right)
}\right) \right) =\prod_{i=1}^{n}P\left( \sigma \left( A_{\left( i\right)
}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。以上の命題が成り立つ場合、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \)は独立である（independent）と言います。同じことを、\(\sigma \)-代数の族\(\left\{ \sigma \left( \mathcal{A}_{i}\right)\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であるということもできます。

逆に、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \)が独立ではない場合には、すなわち、先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \sigma \left( \mathcal{A}_{\left( 1\right) }\right) ,\cdots
,\sigma \left( \mathcal{A}_{\left( n\right) }\right) \in \left\{ \sigma
\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right)
,\cdots \right\} :P\left( \bigcap_{i=1}^{n}\sigma \left( A_{\left( i\right)
}\right) \right) \not=\prod_{i=1}^{n}P\left( \sigma \left( A_{\left(
i\right) }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \)は従属である（dependent）と言います。同じことを、\(\sigma \)-代数の族\(\left\{ \sigma \left( \mathcal{A}_{i}\right) \right\}_{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。

可算個の独立な事象族が生成するσ-代数どうしが独立であるための条件

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)が独立であるということです。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \mathcal{A}_{\left( 1\right) },\cdots ,\mathcal{A}_{\left(
n\right) }\in \left\{ \mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \right\} ,\
\forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{\left( i\right) }\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{\left( i\right)
}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)がいずれも乗法族（\(\pi \)-族）であるということ、すなわち積事象について閉じているということです。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall A_{i},A_{i}^{\prime }\in \mathcal{A}_{i}:A_{i}\cap A_{i}^{\prime
}\in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)から生成される\(\sigma \)-代数である\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \subset \mathcal{F}\)もまた独立になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \sigma \left( \mathcal{A}_{\left( 1\right) }\right) ,\cdots
,\sigma \left( \mathcal{A}_{\left( n\right) }\right) \in \left\{ \sigma
\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right)
,\cdots \right\} ,\ \forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\bigcap_{i\in I}\sigma \left( A_{\left( i\right) }\right) \right)
=\prod_{i\in I}P\left( \sigma \left( A_{\left( i\right) }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

独立な事象列が生成するσ-代数は独立

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、高々可算個の事象\begin{gather*}A_{1,1},A_{1,2},\cdots ,A_{1,m\left( 1\right) } \\
\vdots \\
A_{n,1},A_{n,2},\cdots ,A_{n,m\left( n\right) }
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ A_{i,j}\right\} =\left\{ A_{i,j}\in \mathcal{F}\ |\ 1\leq i\leq
n\wedge 1\leq j\leq m\left( j\right) \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、行の数\(n\)は、\begin{equation*}1\leq n\leq +\infty
\end{equation*}を満たし、それぞれの行\(j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)の列の数\(m\left( j\right) \)は、\begin{equation*}1\leq m\left( j\right) \leq +\infty
\end{equation*}を満たすものとします。加えて、これらの事象は独立であるものとします。その上で、それぞれの行に属する事象から高々可算個の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\mathcal{F}_{1}=\sigma \left( \left\{ A_{1,1},A_{1,2},\cdots ,A_{1,m\left(
1\right) }\right\} \right) \\
\\
\mathcal{F}_{n}=\sigma \left( \left\{ A_{n,1},A_{n,2},\cdots ,A_{n,m\left(
n\right) }\right\} \right)
\end{gather*}を生成すると、これらが独立になることが保証されます。