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可算個の事象族の独立性(可算個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性)

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可算個の事象族の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\subset \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{A},\ \forall B\in \mathcal{B}:P\left( A\cap B\right)
=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。つまり、それぞれの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\)からどの事象を選んだ場合でもそれらが独立であることが保証される場合には、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)は事象族として独立です。以上の定義を拡張することにより、有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \forall A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。同じことを、事象族の族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。では、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が与えられているものとします。その中の有限個の事象族を任意に選んだとき、選ばれた事象族が独立であることが保証されるのであれば、もとの可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \)は独立である(independent)と言います。同じことを、事象族の族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であるということもできます。これは、任意の有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する事象族の有限族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立であることを意味します。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、これらは従属である(dependent)と言います。同じことを、事象族の族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。これは、少なくとも1つの有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する事象族の有限族\(\left\{ \mathcal{A}_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立ではないことを意味します。

 

可算個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性

有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が生成する\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \subset \mathcal{F}\)が独立であることとは、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\ \forall A_{2}\in
\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\ \forall A_{n}\in \sigma
\left( \mathcal{A}_{n}\right) ,\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義します。では、可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が生成する\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が与えられているものとします。これらの事象族が生成する\(\sigma \)-代数\(\sigma\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \subset \mathcal{F}\)の中から有限個の\(\sigma \)-代数を任意に選んだとき、選ばれた\(\sigma \)-代数が独立であることが保証されるのであれば、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \)は独立である(independent)と言います。同じことを、\(\sigma \)-代数の族\(\left\{ \sigma\left( \mathcal{A}_{i}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であるということもできます。これは、任意の有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する\(\sigma \)-代数の有限族\(\left\{ \sigma \left( \mathcal{A}_{i}\right) \right\}_{i\in I}\)が独立であることを意味します。

可算個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots \subset \mathcal{F}\)が生成する\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots \)は従属である(dependent)と言います。同じことを、\(\sigma \)-代数の族\(\left\{ \sigma \left( \mathcal{A}_{i}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。これは、少なくとも1つの有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する\(\sigma \)-代数の有限族\(\left\{ \sigma \left( \mathcal{A}_{i}\right) \right\}_{i\in I}\)が独立ではないことを意味します。

 

独立な部分事象空間族が生成するσ-代数は独立

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、事象空間\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような有限個の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\mathcal{F}_{1,1},\mathcal{F}_{1,2},\cdots \\
\mathcal{F}_{2,1},\mathcal{F}_{2,2},\cdots \\
\vdots \\
\mathcal{F}_{n,1},\mathcal{F}_{n,2},\cdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\right\} =\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\subset \mathcal{F}\ |\ 1\leq i\leq n\wedge 1\leq j<+\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、これらの\(\sigma \)-代数は独立であるものとします。\(\mathcal{F}_{i,j}\)はいずれも\(\sigma \)-代数であるため全体事象\(\Omega \)を要素として持つとともに積事象について閉じていることに注意してください。その上で、以下の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{1,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{1,1}\cup \mathcal{F}_{1,2}\cup \cdots \right) \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{2,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{2,1}\cup \mathcal{F}_{2,2}\cup \cdots \right) \\
\vdots \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{n,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{n,1}\cup \mathcal{F}_{n,2}\cup \cdots \right)
\end{gather*}を生成すると、これらが独立になることが保証されます。

命題(独立な部分事象空間族が生成するσ-代数は独立)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、事象空間\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような可算個の\(\sigma \)-代数\begin{equation*}\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\right\} =\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\subset \mathcal{F}\ |\ 1\leq i\leq n\wedge 1\leq j<+\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとする。これらの\(\sigma \)-代数は独立であるものとする。この場合、以下の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{1,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{1,1}\cup \mathcal{F}_{1,2}\cup \mathcal{\cdots }\right) \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{2,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{2,1}\cup \mathcal{F}_{2,2}\cup \mathcal{\cdots }\right) \\
\vdots \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{+\infty }\mathcal{F}_{n,j}\right)
=\sigma \left( \mathcal{F}_{n,1}\cup \mathcal{F}_{n,2}\cup \mathcal{\cdots }\right)
\end{gather*}は独立になる。

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