乗法族（π-族）
集合\(\Omega \)が与えられたとき、その部分集合族\begin{equation*}\mathcal{A}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が以下の2つの性質\begin{eqnarray*}
&&\left( P_{1}\right) \ \mathcal{A}\not=\phi \\
&&\left( P_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathcal{A}:A\cap B\in \mathcal{A}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、これを集合\(\Omega \)上の乗法族（\(\pi \)-system）や\(\pi \)-族などと呼びます。
条件\(\left( P_{1}\right) \)は、乗法族が非空集合であることを意味し、条件\(\left( P_{2}\right) \)は、乗法族が共通部分について閉じていることを意味します。
\end{equation*}に注目します。\(\Omega \subset\Omega \)ゆえに\(\Omega \in 2^{\Omega }\)であるため、\begin{equation*}2^{\Omega }\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。また、ベキ集合の定義より、\begin{equation*}
\forall A,B\in 2^{\Omega }:A\cap B\in 2^{\Omega }
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。以上より、\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)上の乗法族であることが明らかになりました。
\end{equation*}に注目すると、\begin{equation*}
\mathcal{A}\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A,B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、\(A\cap B\)は\(\phi \)または\(\Omega \)のいずれかであるため、\begin{equation*}A\cap B\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上の乗法族です。
\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{
1,3\right\} \right\}
\end{equation*}に注目すると、\begin{equation*}
\mathcal{A}\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A,B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、\(A\cap B\)は\(\phi \)または\(\left\{1\right\} \)のいずれかであるため、\begin{equation*}A\cap B\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上の乗法族です。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。事象空間\(\mathcal{F}\)は乗法族です（演習問題）。
以下は乗法族ではない集合族の例です。
\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\Omega
\right\}
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
\left\{ 1,2\right\} \cap \left\{ 1,3\right\} &=&\left\{ 1\right\} \\
&\not\in &\mathcal{A}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathcal{A}\)は乗法族ではないことが明らかになりました。
ディンキン族（λ-族）
集合\(\Omega \)が与えられたとき、その部分集合族\begin{equation*}\mathcal{D}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が以下の3つの性質\begin{eqnarray*}
&&\left( D_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{D} \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathcal{D}:\left( A\subset
B\Rightarrow B\backslash A\in \mathcal{D}\right) \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{D}:\left( A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots
\Rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{D}\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(\mathcal{D}\)を\(\Omega \)上のディンキン族（Dynkin’s system）や\(\lambda \)-族（\(\lambda \)-system）などと呼びます。
条件\(\left( M_{1}\right) \)は、集合\(\Omega \)自身がディンキン族の要素であることを意味します。これは同時に、ディンキン族が空集合ではないことも意味します。条件\(\left( M_{2}\right) \)は、単調増加する集合に関してディンキン族が差集合について閉じていることを意味します。条件\(\left( M_{3}\right) \)は、単調増加する集合列に関してディンキン族が可算合併について閉じていることを意味します。
\end{equation*}に注目します。\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)のすべての部分集合を要素として持つため、\begin{eqnarray*}&&\left( D_{1}\right) \ \Omega \in 2^{\Omega } \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall A,B\in 2^{\Omega }:\left( A\subset
B\Rightarrow B\backslash A\in 2^{\Omega }\right) \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset 2^{\Omega }:\left( A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots
\Rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in 2^{\Omega }\right)
\end{eqnarray*}が明らかに成り立ちます。以上より、\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)上のディンキン族であることが明らかになりました。
\end{equation*}に注目すると、\begin{equation*}
\Omega \in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(A\subset B\)を満たす\(A,B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、差集合\(B\backslash A\)は\(\phi \)または\(\Omega \)のどちらか一方であるため、\begin{equation*}B\backslash A\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots \)を満たす\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、和集合\(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\)は\(\phi \)または\(\Omega \)のどちらか一方であるため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上のディンキン族であることが明らかになりました。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。事象空間\(\mathcal{F}\)はディンキン族です（演習問題）。
以下はディンキン族ではない集合族の例です。
\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\Omega
\right\}
\end{equation*}に注目すると、\begin{equation*}
\left\{ 1\right\} \subset \Omega
\end{equation*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\Omega \backslash \left\{ 1\right\} &=&\left\{ 2,3\right\} \\
&\not\in &\mathcal{A}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathcal{A}\)はディンキン族ではないことが明らかになりました。
ディンキン族どうしの共通部分はディンキン族
集合\(\Omega \)上のディンキン族を要素として持つ集合族\begin{equation*}\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*}\mathcal{D}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( D_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{D}_{\lambda } \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathcal{D}_{\lambda }:\left(
A\subset B\Rightarrow B\backslash A\in \mathcal{D}_{\lambda }\right) \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{D}_{\lambda }:\left( A_{1}\subset A_{2}\subset
A_{3}\subset \cdots \Rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{D}_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }=\left\{ A\subset \Omega
\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathcal{D}_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた集合\(\Omega \)上のディンキン族になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( D_{1}\right) \ \Omega \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda } \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall A,B\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }:\left( A\subset B\Rightarrow B\backslash A\in
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }\right) \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }:\left(
A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots \Rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。
\end{equation*}もまた集合\(\Omega \)上のディンキン族になる。
先の命題において集合族\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を添字集合\(\Lambda \)は任意の集合族であることに注意してください。\(\Lambda \)として有限集合を採用すれば、先の命題は「有限個のディンキン族どうしの共通部分はディンキン族になる」という主張になり、\(\Lambda \)として可算集合を採用すれば、先の命題は「可算個のディンキン族どうしの共通部分はディンキン族になる」という主張になります。他についても同様です。
集合族が生成するディンキン族
集合\(\Omega \)およびその部分集合族\begin{equation*}\mathcal{E}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、集合族\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つような\(\Omega \)上のディンキン族をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( D_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{D}_{\lambda } \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathcal{D}_{\lambda }:\left(
A\subset B\Rightarrow B\backslash A\in \mathcal{D}_{\lambda }\right) \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{D}_{\lambda }:\left( A_{1}\subset A_{2}\subset
A_{3}\subset \cdots \Rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{D}_{\lambda }\right) \\
&&\left( D_{4}\right) \ \mathcal{E}\subset \mathcal{D}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。先に例を通じて確認したように、ベキ集合\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)上のディンキン族です。さらに\(\mathcal{E}\subset 2^{\Omega }\)であるため、\begin{equation*}2^{\Omega }\in \left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}を得ます。したがって\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は非空です。そこで、この集合族の共通部分を、\begin{equation*}\delta \left( \mathcal{E}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを集合族\(\mathcal{E}\)から生成されるディンキン族（dynkin system generated by \(\mathcal{E}\)）と呼びます。
先に示したように、集合\(\Omega \)上のディンキン族どうしの共通部分は\(\Omega \)上のディンキン族であるため、\(\delta\left( \mathcal{E}\right) \)もまた\(\Omega \)上のディンキン族です。また、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{D}_{\lambda }\subset \mathcal{D}_{\lambda }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :\delta \left( \mathcal{E}\right) \subset
\mathcal{D}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)は自身を定義するもととなったすべてのディンキン族\(\mathcal{D}_{\lambda }\)の部分集合です。さらに、\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)自身もまた\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\delta \left( \mathcal{E}\right) =\mathcal{D}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)自身もまた\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つディンキン族です。
以上の事実は、\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)が集合族\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合族の中でも最小の集合族であることを意味します。\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)は\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つ最小のディンキン族であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)を集合族\(\mathcal{E}\)から生成される最小のディンキン族（minimal dynkin system generated by \(\mathcal{E}\)）と呼ぶこともできます。
\end{equation*}と定める。\(\delta \left( \mathcal{E}\right) \)は\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathcal{D}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\delta \left( \mathcal{E}\right) =\mathcal{D}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\delta \left( \mathcal{E}\right) \subset \mathcal{D}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
ディンキン族から生成されるディンキン族はもとのディンキン族と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
より大きい集合族から生成されるディンキン族はより大きくなります。
\end{equation*}が成り立つ。
σ-代数
集合\(\Omega \)が与えられたとき、その部分集合族\begin{equation*}\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が以下の3つの性質\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(\mathcal{F}\)を\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra）や\(\sigma \)-集合体（\(\sigma \)-集合体）、完全加法族（completely additiveclass of sets）などと呼びます。
条件\(\left( M_{1}\right) \)は、集合\(\Omega \)自身が\(\sigma \)-代数の要素であることを意味します。これは同時に、\(\sigma \)-代数が空集合ではないことも意味します。条件\(\left( M_{2}\right) \)は、\(\sigma \)-代数が補集合について閉じていることを意味します。条件\(\left( M_{3}\right) \)は、\(\sigma \)-代数が可算合併について閉じていることを意味します。以上の3つの性質を総称して可測空間の公理（axiom of measurable space）と呼びます。
集合族\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が集合\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数である場合には、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F}\right)
\end{equation*}を可測空間（measurable space）と呼びます。この場合、\(\mathcal{F}\)の要素である個々の集合を可測集合（measurable set）と呼びます。
\end{equation*}に注目します。\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)のすべての部分集合を要素として持つため、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \Omega \in 2^{\Omega } \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:A^{c}\in 2^{\Omega } \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset 2^{\Omega }:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in 2^{\Omega }
\end{eqnarray*}が明らかに成り立ちます。以上より、\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。
\end{equation*}に注目すると、\begin{equation*}
\Omega \in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(A\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、補集合\(A^{c}\)は\(\phi \)または\(\Omega \)のどちらか一方であるため、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、和集合\(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\)は\(\phi \)または\(\Omega \)のどちらか一方であるため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{A}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数です（演習問題）。
以下は\(\sigma \)-代数ではない集合族の例です。
\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{
1,3\right\} \right\}
\end{equation*}に注目すると、\(\left\{ 1,3\right\}\in \mathcal{A}\)について、\begin{eqnarray*}\left\{ 1,3\right\} ^{c} &=&\left\{ 2\right\} \\
&\not\in &\mathcal{A}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathcal{A}\)は\(\sigma \)-代数ではないことが明らかになりました。
σ-代数どうしの共通部分はσ-代数
集合\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数を要素として持つ\begin{equation*}\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*}\mathcal{F}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}_{\lambda }:A^{c}\in
\mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}_{\lambda }:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }=\left\{ A\subset \Omega
\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathcal{F}_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた集合\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \Omega \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }:A^{c}\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。つまり、\(\sigma \)-代数どうしの共通部分もまた\(\sigma \)-代数になります。
\end{equation*}もまた集合\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数になる。
先の命題において集合族\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を添字集合\(\Lambda \)は任意の集合族であることに注意してください。\(\Lambda \)として有限集合を採用すれば、先の命題は「有限個の\(\sigma \)-代数どうしの共通部分は\(\sigma \)-代数になる」という主張になり、\(\Lambda \)として可算集合を採用すれば、先の命題は「可算個の\(\sigma \)-代数どうしの共通部分は\(\sigma \)-代数になる」という主張になります。他についても同様です。
集合族が生成するσ-代数
集合\(\Omega \)およびその部分集合族\begin{equation*}\mathcal{E}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、集合族\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つような\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \Omega \in \mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}_{\lambda }:A^{c}\in
\mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}_{\lambda }:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( M_{4}\right) \ \mathcal{E}\subset \mathcal{F}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。先に例を通じて確認したようにベキ集合\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数です。さらに\(\mathcal{E}\subset 2^{\Omega }\)であるため、\begin{equation*}2^{\Omega }\in \left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}を得ます。したがって\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は非空です。そこで、この集合族の共通部分を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{E}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを集合族\(\mathcal{E}\)から生成される\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{E}\)）と呼びます。
先に示したように、集合\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数どうしの共通部分は\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数であるため、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)もまた\(\Omega \)上の\(\sigma \)-代数です。また、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathcal{F}_{\lambda }\subset \mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{E}\right) \subset
\mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)は自身を定義するもととなったすべての\(\sigma \)-代数\(\mathcal{F}_{\lambda }\)の部分集合です。さらに、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)自身もまた\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{E}\right) =\mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)自身もまた\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数です。
以上の事実は、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)が集合族\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合族の中でも最小の集合族であることを意味します。\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)は\(\mathcal{E}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)を集合族\(\mathcal{E}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{E}\)）と呼ぶこともできます。
\end{equation*}と定める。\(\sigma \left( \mathcal{E}\right) \)は\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathcal{F}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{E}\right) =\mathcal{F}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{E}\right) \subset \mathcal{F}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\(\sigma \)-代数から生成される\(\sigma \)-代数はもとの\(\sigma \)-代数と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
より大きい集合族から生成される\(\sigma \)-代数はより大きくなります。
\end{equation*}が成り立つ。
πλ定理
乗法族は\(\sigma \)-代数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{
1,3\right\} \right\}
\end{equation*}に注目します。先に示したように、\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上の乗法族である一方で\(\sigma \)-代数ではありません。
ディンキン族は\(\sigma \)-代数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,4\right\} ,\left\{
2,3\right\} ,\left\{ 3,4\right\} ,\left\{ 1,2,3,4\right\} \right\}
\end{equation*}に注目します。\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上のディンキン族である一方で\(\sigma \)-代数ではありません（演習問題）。
乗法族やディンキン族は\(\sigma \)-代数であるとは限らないことが明らかになりました。ただし、集合族が乗法族かつディンキン族である場合、その集合族は必ず\(\sigma \)-代数になります。逆の主張も成り立つため以下を得ます。これを\(\pi\lambda \)定理（\(\pi \lambda \) theorem）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
ディンキン族の定理（ディンキンのπλ定理）
集合\(\Omega \)の部分集合族\(\mathcal{E}\)が乗法族である場合には、\(\mathcal{E}\)が生成する最小の\(\sigma \)-代数と、\(\mathcal{E}\)が生成する最小のディンキン族は一致します。つまり、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{E}\right) =\delta \left( \mathcal{E}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これをディンキン族の定理（Dynkin’s \(\pi \lambda \) theorem）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題を踏まえると以下が導かれます。
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}もまた\(\Omega \)上のディンキン族になることが保証されるでしょうか。議論してください。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,4\right\} ,\left\{
2,3\right\} ,\left\{ 3,4\right\} ,\Omega \right\}
\end{equation*}に注目します。\(\mathcal{A}\)は\(\Omega \)上のディンキン族である一方で\(\sigma \)-代数ではないことを示してください。
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