集合の濃度の積（乗法）

濃度の乗法の定義

本節では濃度の乗法を定義し、その定義が集合の選び方に依存しないことを示します。その上で、結合律、交換律、単位元、零元、分配律、大小関係との関係など、濃度の乗法がもつ基本的な性質を明らかにします。

2つの自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた状況を想定します。有限集合の濃度と要素の個数は一致するため、濃度が\(m\)であるような有限集合を、\begin{equation*} A=\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\}
\end{equation*}で表記し、濃度が\(n\)であるような有限集合を、\begin{equation*} B=\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
m &=&\left\vert A\right\vert \\
n &=&\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つということです。数え上げに関する積の法則より、直積集合\begin{eqnarray*}
A\times B &=&\left\{ \left( a_{i},b_{j}\right) \ |\ i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} \wedge j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\cdots ,\left( a_{m},b_{n}\right)
\right\}
\end{eqnarray*}には\(m\cdot n\)個の要素が存在するため、以下の関係\begin{equation*} m\cdot n=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(\cdot \)は自然数を対象とする通常の乗法です。
結論をまとめると、有限濃度\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた場合には、それらに対して以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した場合、濃度の積\(m\cdot n\)は直積集合\(A\times B\)の濃度と一致すること、すなわち、\begin{equation*} m\cdot n=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

以上の議論を踏まえた上で、有限濃度とは限らない一般の濃度\(m,n\)についても、それらの積を同様に定義します。つまり、濃度\(m,n\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、濃度の積\(m\cdot n\)を直積集合\(A\times B\)の濃度として定義するということです。つまり、\begin{equation*} m\cdot n=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして濃度の乗法\(\cdot \)を定義します。ここでの\(m,n\)は有限濃度であるとは限らず、したがって自然数であるとは限りません。また、左辺の\(\cdot \)は自然数を対象とする乗法ではなく、新たに定義された濃度の乗法を表す演算子であることに注意してください。
以上の定義が有効であることを担保するためには、濃度\(m,n\)に対して先の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす集合\(A,B\)がそれぞれ複数存在する場合、その中からどのような集合\(A,B\)を選んだ場合においても、直積集合の濃度\(\left\vert A\times B\right\vert \)が一意的に定まることを確認する必要があります。

濃度の積の定義および以上の命題より、2つの濃度\(m,n\)が任意に与えられたとき、それらの積\begin{equation*} m\cdot n
\end{equation*}が必ず一意的に定まることが明らかになりました。つまり、濃度\(m,n\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)を適当に選んだ上で、それらの直積集合\(A\times B\)の濃度をとることにより、濃度の積を、\begin{equation*} m\cdot n=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}として特定できます。

以上を踏まえた上で、濃度を対象とする演算子\(\cdot \)を濃度の乗法（multiplication）と呼び、濃度\(m,n\)に対して乗法\(\cdot \)を適用することにより得られる濃度\(m\cdot n\)を\(m\)と\(n\)の積（product）と呼びます。多くの場合、濃度の乗法を表す記号\(\cdot \)は省略されます。つまり、濃度\(m,n\)の積を、\begin{equation*} mn
\end{equation*}と表記するということです。以降ではこの慣例にしたがいます。

濃度の乗法に関する結合律

濃度の乗法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m,n,k:\left( mn\right) k=m\left( nk\right)
\end{equation*}を満たします。これを濃度の乗法に関する結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は濃度の乗法\(\cdot \)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( mn\right) k\)は、はじめに\(m\)と\(n\)を掛けた上で、得られた結果と\(k\)をさらに掛けることにより得られる濃度です。右辺の\(m\left( nk\right) \)は、はじめに\(n\)と\(k\)を掛けた上で、\(m\)と先の結果を掛けることにより得られる濃度です。結合律はこれらの濃度が等しいことを保証します。つまり、3つの濃度\(m,n,k\)に対して乗法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に掛けても得られる結果は変わらないということです。

濃度の乗法に関する単位元

濃度の乗法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m1=m
\end{equation*}を満たします。つまり、任意の濃度\(m\)に対して有限濃度である\(1\)を掛けてもその結果は\(m\)のままであるということです。

濃度に関する加法単位元との積

濃度の乗法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、任意の濃度\(m\)に対して有限濃度であるゼロ\(0\)を掛けるとその結果は必ず\(0\)になります。

濃度の積がゼロであるための必要十分条件

濃度の乗法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m,n:\left( mn=0\Leftrightarrow m=0\vee n=0\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、濃度の積がゼロであることと、少なくとも一方の濃度がゼロであることは必要十分です。

濃度の乗法に関する交換律

濃度の乗法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m,n:mn=nm
\end{equation*}を満たします。これを濃度の乗法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの濃度\(m,n\)を成分とする順序対\(\left( m,n\right) ,\left( n,m\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( m,n\right) \)に乗法を適用することにより得られる濃度\(mn\)と、\(\left( n,m\right) \)に乗法を適用することにより得られる濃度\(nm\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい濃度であることを保証します。

濃度の乗法に関する分配律

濃度の加法と乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\forall m,n,k:m\left( n+k\right) =mn+mk
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、濃度の加法と乗法の間にも分配律（distributive law）が成り立つということです。

濃度の大小関係と乗法の関係

濃度の大小関係と濃度の乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\forall m,m^{\prime },n,n^{\prime }:\left( m\leq m^{\prime }\wedge n\leq
n^{\prime }\Rightarrow mn\leq m^{\prime }n^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、濃度どうしの大小関係は乗法のもとで保存されます。

上の例において明らかになったように、濃度の乗法は、\begin{equation*}
\forall m,m^{\prime },n:\left( m\leq m^{\prime }\Rightarrow mn\leq m^{\prime
}n\right)
\end{equation*}を満たします。では、\begin{equation*}
\forall m,m^{\prime },n:\left( m<m^{\prime }\Rightarrow mn<m^{\prime
}n\right)
\end{equation*}もまた常に成り立つのでしょうか。成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

集合の濃度の積

2つの集合\(A,B\)を任意に選びます。これらの集合の濃度を、\begin{eqnarray} \left\vert A\right\vert &=&m \quad \cdots (1) \\
\left\vert B\right\vert &=&n \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}とそれぞれ表記すると、濃度の積の定義より、\begin{equation*}
mn=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}となります。これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*} \left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert =\left\vert A\times
B\right\vert
\end{equation*}を得ます。以上の議論より、2つの集合\(A,B\)の濃度の積は、直積集合\(A\times B\)の濃度と一致することが明らかになりました。

無限濃度では除法を一般的に定義できない理由

有限濃度は集合の要素の個数と一致し、有限濃度の乗法は自然数の乗法と一致するため、有限濃度\(m,n,k\)については、\begin{equation*} nm=nk\Rightarrow m=k
\end{equation*}が成り立ちます。これを乗法に関する簡約法則と呼びます。

\(n\not=0\)を満たす有限濃度\(m,n \)を任意に選んだ上で、有限濃度を値としてとる変数\(k\)に関する方程式\begin{equation} m=nk \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。この方程式が異なる2つの解\(k,k^{\prime }\)を持つものと仮定すると、\begin{eqnarray*} m &=&nk \\
m &=&nk^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
nk=nk^{\prime }
\end{equation*}を得ます。すると簡約法則より、\begin{equation*}
k=k^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため矛盾です。したがって背理法より方程式\(\left( 1\right) \)の解\(k\)は一意的です。そこで、その値を、\begin{equation*} k=\frac{m}{n}
\end{equation*}と定義します。つまり、有限濃度\(m,n\)の商\(\frac{m}{n}\)は方程式\(\left( 1\right) \)の一意的な解に相当する有限濃度として定義されるということです。
\(B\not=\phi \)を満たす有限集合\(A,B\)については、\begin{equation*} \left\vert A\times B\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert
B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、\(B\not=\phi \)ゆえに\(\left\vert B\right\vert \not=0\)であるため、このとき、\begin{equation*} \left\vert A\right\vert =\frac{\left\vert A\times B\right\vert }{\left\vert
B\right\vert }
\end{equation*}が成り立ちます。右辺は有限濃度どうしの商ですが、これは自然数どうしの商と一致します。先の議論から明らかになったように、有限濃度どうしの商が定義可能であることの根拠は、有限濃度の加法に関しては簡約法則が成り立つことにあります。

有限集合であるとは限らない\(B\not=\phi \)を満たす一般の集合\(A,B\)については、\begin{equation*} \left\vert A\right\vert =\frac{\left\vert A\times B\right\vert }{\left\vert
B\right\vert }
\end{equation*}とすることはできません。なぜなら、一般の集合に対して濃度の除法は定義されていないからです。一般の集合に関して濃度の除法を定義するためには、一般の濃度に関する乗法に関して簡約法則が成り立つことを保証する必要があります。しかし実際には、一般の濃度の乗法に関しては簡約法則は成り立ちません（演習問題）。

有限個の濃度の積

2つの濃度\(m,n\)の積を、それぞれの濃度を持つ集合\(A,B\)を用いて、\begin{equation*} mn=\left\vert A\times B\right\vert
\end{equation*}と定義しました。この定義は、3個以上の有限個の濃度についても拡張できます。

3つの濃度\(m_{1},m_{2},m_{3}\)が与えられているものとします。それぞれについて、\begin{eqnarray*} m_{1} &=&\left\vert A_{1}\right\vert \\
m_{2} &=&\left\vert A_{2}\right\vert \\
m_{3} &=&\left\vert A_{3}\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A_{1},A_{2},A_{3}\)を選びます。濃度の積の定義より、\begin{equation*} m_{1}m_{2}=\left\vert A_{1}\times A_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left( m_{1}m_{2}\right) m_{3} &=&\left\vert A_{1}\times A_{2}\right\vert
\left\vert A_{3}\right\vert \\
&=&\left\vert \left( A_{1}\times A_{2}\right) \times A_{3}\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。先に\(m_{2}\)と\(m_{3} \)を掛ける場合にも同様に考えることにより、\begin{equation*} m_{1}\left( m_{2}m_{3}\right) =\left\vert A_{1}\times \left( A_{2}\times
A_{3}\right) \right\vert
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\left\vert \left( A_{1}\times A_{2}\right) \times A_{3}\right\vert
=\left\vert A_{1}\times \left( A_{2}\times A_{3}\right) \right\vert
=\left\vert A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( m_{1}m_{2}\right) m_{3}=m_{1}\left( m_{2}m_{3}\right) =\left\vert
A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\right\vert
\end{equation*}を得ます。これは濃度の乗法に関する結合律と整合的です。そこで、両者を区別せず、\begin{equation*}
m_{1}m_{2}m_{3}
\end{equation*}と表記できます。以上より、\begin{equation*}
m_{1}m_{2}m_{3}=\left\vert A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の議論を一般化します。自然数\(n\in \mathbb{N} \)と、\(n\)個の濃度\(m_{1},\cdots ,m_{n}\)が与えられているものとします。これらの濃度に対して、\begin{equation*} m_{i}=\left\vert A_{i}\right\vert \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を選びます。このとき、濃度\(m_{1},\cdots ,m_{n}\)の積を、\begin{equation*} m_{1}\times \cdots \times m_{n}=\left\vert A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}m_{i}=\left\vert \prod_{i=1}^{n}A_{i}\right\vert
\end{equation*}と定義します。

有限個の集合の濃度の積

有限個の濃度の積の定義を踏まえると、以下の命題が得られます。

演習問題