有限集合ではない集合、つまり無限個の要素を持つ集合を無限集合と呼びます。無限集合のすべての要素を数え上げることはできないため、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合が与えられたとき、それらが等しい濃度を持つかどうかを調べることはできます。

無限集合

有限集合ではない集合を無限集合(infinite set)と呼びます。すべての自然数からなる集合\( \mathbb{N}\)、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)など、無限個の要素を持つ集合はいずれも無限集合です。

有限集合に話を限定すると、集合の濃度はその集合に含まれる要素の個数と実質的に等しい概念です。また、有限集合に含まれる要素の個数をすべて数え上げることは原理上可能であるため、有限集合の濃度は必ず 1 つの自然数として定まります。したがって、有限集合の濃度は、自然数の大小として比較可能です。では、無限集合についても同様の議論は成り立つでしょうか。

無限集合には無限個の要素が含まれるため、すべてを数え上げることはできません。したがって、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合\(X,Y\)が与えられたとき、\(X\)と\(Y\)の間に全単射が存在するかどうかを調べることはできます。言い換えると、\(\#X=\#Y\)が成り立つかどうかを調べることはできます。無限集合を含めた任意の集合を対象に、濃度が同じであるかどうかを判定することはできるというわけです。

例(無限集合の濃度)
すべての自然数からなる集合\( \mathbb{N}=\{1,2,\cdots \}\)と、すべての正の偶数からなる集合\(E=\{2,4,\cdots \}\)について考えます。これらはともに無限集合であるため、要素をすべて数え上げることはできず、それぞれの濃度\(\# \mathbb{N},\ \#E\)を数として表現することはできません。一方、以前示したように、それぞれの\(n\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( n\right) =2n\in E
\end{equation*}を定める写像\(f: \mathbb{N}\rightarrow E\)は全単射であるため、\(\# \mathbb{N}=\#E\)が成り立ちます。つまり、\( \mathbb{N}\)と\(E\)は等しい濃度を持ちます。集合の濃度をその集合に含まれる要素の個数と解釈するのであれば、この事実は、\( \mathbb{N}\)に含まれる要素の個数が\(E\)に含まれる要素の個数と等しいことを示唆します。\(E\)は\( \mathbb{N}\)の真部分集合であるため、これらが同じ個数の要素を持つと言われると奇妙に感じますが、無限集合を対象にするとこのような結論になります。
例(無限集合の濃度)
上の例では濃度が等しい 2 つの無限集合について考えましたが、一般には、無限集合どうしの濃度は等しくなるとは限りません。具体例として、実数の開区間\(\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R}\)と、すべての自然数からなる集合\( \mathbb{N}=\{1,2,\cdots \}\)について考えます。これらはともに無限集合です。しかし、全単射\(f: \mathbb{N}\rightarrow (0,1)\)は存在しません。このことを示すために、全単射\(f: \mathbb{N}\rightarrow (0,1)\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、任意の自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して\(f\left( n\right) \in \mathbb{R}\)は実数ですので、これは有限小数か無限小数のどちらか一方です。ただし、有限小数の後ろに\(0\)を無限に並べれば有限小数を無限小数と同一視できます。したがって、それぞれの自然数\(n\)に対して\(f\left( n\right) \)は無限小数になるため、それらを、\begin{align*}
f(1)& =0.a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots \\
f(2)& =0.a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots \\
& \vdots \\
f(n)& =0.a_{n1}a_{n2}\cdots a_{nm}\cdots \\
& \vdots
\end{align*}と表現します。ただし、\(a_{nm}\)は無限小数\(f\left( n\right)\)の小数第\(m\)位の数を表しており、これは\(0\)から\(9\)までの整数を値としてとり得ます。以上を踏まえた上で、以下のような無限小数\begin{equation*}
b=0.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}\cdots
\end{equation*}を考えます。ただし、\(b\)の小数点以下の数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \)を、\begin{equation*}
b_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & (if\ a_{nn}=0) \\
0 & (if\ a_{nn}\not=0)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。定義より\(b_{1}\not=a_{11}\)であるため\(b\not=f\left( 1\right) \)です。また、\(b_{2}\not=a_{22}\)であるため\(b\not=f\left( 2\right) \)です。一般に、\(b_{n}\not=a_{nn}\)であるため\(b\not=f\left( n\right) \)であるため、\(b=f\left( n\right) \)を満たす\(n\in \mathbb{N}\)は存在しません。一方、定義より\(b\in \left( 0,1\right) \)であるため、\(f\)は全射ではありません。これは\(f\)が全単射であることと矛盾します。したがって、\(\#\left( 0,1\right) =\# \mathbb{N}\)が成り立たないことが示されました。ちなみに、ここで利用した証明方法をカントールの対角線論法(Cantor’s diagonal argument)と呼びます。

次回は可算集合について学びます。
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