無限集合
これまで、有限集合の濃度とその性質について考察してきました。有限集合では、真部分集合の濃度はもとの集合の濃度よりも必ず小さくなります。また、有限集合に含まれる要素の個数は非負の整数によって表すことができます。
しかし、無限個の要素を持つ集合では、これらの性質がそのまま成り立つとは限りません。たとえば、すべての正の偶数からなる集合は自然数集合の真部分集合ですが、自然数\(n\)に偶数\(2n\)を対応させることにより、両者の間に全単射を構成できます。したがって、無限集合では、集合全体とその真部分集合が等しい濃度を持つ状況が起こり得ます。
本節では、有限集合ではない集合として無限集合を定義した上で、集合が無限であることを判定する方法や、無限性を保存する基本的な性質について考察します。さらに、無限集合どうしであっても濃度が等しいとは限らないことを確認し、無限集合を濃度によって分類するための準備を行います。
有限集合ではない集合を無限集合（infinite set）と呼びます。有限集合は有限濃度を持つ集合として定義されるため、無限集合は有限濃度を持たない集合として定義されます。有限濃度は集合に含まれる要素の個数と実質的に等しい概念であり、なおかつ有限濃度は非負の整数として定まることを踏まえると、無限集合とは要素の個数が非負の整数ではない集合ということになります。さらに、集合\(A\)が有限濃度を持つこととは、何らかの非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)に関して全単射\(f:\mathbb{N} _{n}\rightarrow A\)が存在することを意味します。ただし、\begin{equation*}\mathbb{N} _{n}=\left\{ \begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ n=0\right) \\
\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} & \left( if\ n\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。したがって、集合\(A\)が無限集合であることとは、任意の非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)に対して全単射\(f:\mathbb{N} _{n}\rightarrow A\)が存在しないことを意味します。ただ、以上の定義にもとづいて無限集合であることを証明するのは面倒です。より扱いやすい無限集合の判定条件はないでしょうか。
無限集合であることの判定
空集合は有限集合であるため、集合\(A\)が空集合である場合、それは無限集合ではありません。集合\(A\)が空集合でない場合、その真部分集合\(B\)をとることができます。\(A\)が非空な有限集合である場合、その真部分集合\(B\)を任意に選ぶと、\(B\)もまた有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert <\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)と\(B\)の濃度は異なるため全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在しません。対偶より、非空な集合\(A\)が与えられたとき、何らかの真部分集合\(B\)に対して全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在するならば、\(A\)は有限集合ではありません。したがって\(A\)は無限集合です。
命題（無限集合であることの判定）
非空な集合\(A\)について、その何らかの真部分集合\(B\)に対して全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在するならば、\(A\)は無限集合である。
例（自然数集合は無限集合）
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合です。写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)はそれぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =2n\in E
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、異なる自然数\(n,n^{\prime }\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( n\right) &=&2n\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&2n^{\prime }\quad \because n\not=n^{\prime } \\
&=&f\left( n^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、正の偶数\(e\in E\)を任意に選ぶと、正の偶数の定義より、\begin{equation*}\frac{e}{2}\in \mathbb{N} \end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
f\left( \frac{e}{2}\right) &=&2\cdot \frac{e}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&e \\
&\in &E
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\mathbb{N} \)が無限集合であることが明らかになりました。
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合です。写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)はそれぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =2n\in E
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、異なる自然数\(n,n^{\prime }\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( n\right) &=&2n\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&2n^{\prime }\quad \because n\not=n^{\prime } \\
&=&f\left( n^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、正の偶数\(e\in E\)を任意に選ぶと、正の偶数の定義より、\begin{equation*}\frac{e}{2}\in \mathbb{N} \end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
f\left( \frac{e}{2}\right) &=&2\cdot \frac{e}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&e \\
&\in &E
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\mathbb{N} \)が無限集合であることが明らかになりました。
例（有界開区間は無限集合）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{eqnarray*}\left( 0,1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\} \\
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)は\(\left( 0,1\right) \)の真部分集合です。写像\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、\(x\not=x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{x}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&\frac{x^{\prime }}{2}\quad \because x\not=x^{\prime } \\
&=&f\left( x^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、終集合の要素\(y\in \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(2y\in \left(0,1\right) \)が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}f\left( 2y\right) &=&\frac{2y}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&y \\
&\in &\left( 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\left( 0,1\right) \)が無限集合であることが明らかになりました。
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)は\(\left( 0,1\right) \)の真部分集合です。写像\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、\(x\not=x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{x}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&\frac{x^{\prime }}{2}\quad \because x\not=x^{\prime } \\
&=&f\left( x^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、終集合の要素\(y\in \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(2y\in \left(0,1\right) \)が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}f\left( 2y\right) &=&\frac{2y}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&y \\
&\in &\left( 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\left( 0,1\right) \)が無限集合であることが明らかになりました。
無限集合が与えられたとき、それと等しい濃度を持つ集合もまた無限集合であることが保証されます。
命題（無限集合であることの判定）
無限集合\(A\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の集合\(B\)もまた無限集合である。
\end{equation*}を満たす任意の集合\(B\)もまた無限集合である。
例（偶数集合は無限集合）
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合です。先に全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)を構成することにより\(\mathbb{N} \)が無限集合であることを示しましたが、このような全単射\(f\)が存在することは\(\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert \)が成り立つことも意味するため、先の命題より\(E\)もまた無限集合です。
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合です。先に全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)を構成することにより\(\mathbb{N} \)が無限集合であることを示しましたが、このような全単射\(f\)が存在することは\(\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert \)が成り立つことも意味するため、先の命題より\(E\)もまた無限集合です。
例（有界開区間は無限集合）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{eqnarray*}\left( 0,1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\} \\
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)は\(\left( 0,1\right) \)の真部分集合です。先に全単射\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)を構成することにより\(\left( 0,1\right) \)が無限集合であることを示しましたが、このような全単射\(f\)が存在することは、\begin{equation*}\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert =\left\vert \left( 0,\frac{1}{2}\right) \right\vert
\end{equation*}を意味するため、先の命題より\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)もまた無限集合です。
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)は\(\left( 0,1\right) \)の真部分集合です。先に全単射\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)を構成することにより\(\left( 0,1\right) \)が無限集合であることを示しましたが、このような全単射\(f\)が存在することは、\begin{equation*}\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert =\left\vert \left( 0,\frac{1}{2}\right) \right\vert
\end{equation*}を意味するため、先の命題より\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)もまた無限集合です。
例（平方数全体は無限集合）
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}と、すべての平方数からなる集合\begin{equation*}
S=\left\{ n^{2}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように\(\mathbb{N} \)は無限集合です。そこで、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =n^{2}\in S
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{N} \rightarrow S
\end{equation*}に注目します。この写像は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert S\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(S\)もまた無限集合です。この例は、無限集合の要素間の間隔が次第に広くなっても、自然数集合と同じ濃度を持つことを示しています。
\end{equation*}と、すべての平方数からなる集合\begin{equation*}
S=\left\{ n^{2}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように\(\mathbb{N} \)は無限集合です。そこで、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =n^{2}\in S
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{N} \rightarrow S
\end{equation*}に注目します。この写像は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert S\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(S\)もまた無限集合です。この例は、無限集合の要素間の間隔が次第に広くなっても、自然数集合と同じ濃度を持つことを示しています。
無限集合が与えられたとき、それを部分集合として含む集合もまた無限集合であることが保証されます。
命題（無限集合であることの判定）
無限集合\(A\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}A\subset B
\end{equation*}を満たす任意の集合\(B\)もまた無限集合である。
\end{equation*}を満たす任意の集合\(B\)もまた無限集合である。
例（自然数集合は無限集合）
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)が無限集合であることは先に示した通りです。すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)やすべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)およびすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \end{equation*}を満たすため、先の命題より\(\mathbb{Z} ,\mathbb{Q} ,\mathbb{R} \)はいずれも無限集合です。
例（有界開区間は無限集合）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{equation*}\left( 0,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}が無限集合であることは先に示した通りです。以下の区間\begin{eqnarray*}
\left[ 0,1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\} \\
\lbrack 0,1) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x<1\right\} \\
(0,1] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\left( 0,1\right) \)を部分集合として持つため、先の命題よりこれらはいずれも無限集合です。また、以下の区間\begin{equation*}\left( -1,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1<x<1\right\}
\end{equation*}もまた\(\left( 0,1\right) \)を部分集合として持つため、先の命題よりこれもまた無限集合です。
\end{equation*}が無限集合であることは先に示した通りです。以下の区間\begin{eqnarray*}
\left[ 0,1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\} \\
\lbrack 0,1) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x<1\right\} \\
(0,1] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\left( 0,1\right) \)を部分集合として持つため、先の命題よりこれらはいずれも無限集合です。また、以下の区間\begin{equation*}\left( -1,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1<x<1\right\}
\end{equation*}もまた\(\left( 0,1\right) \)を部分集合として持つため、先の命題よりこれもまた無限集合です。
先の命題を写像を用いて表現すると以下が得られます。
命題（単射による無限性の移転）
無限集合\(A\)から集合\(B\)への単射\(f:A\rightarrow B\)が存在するならば、\(B\)は無限集合である。
無限集合から有限集合を除いた集合
無限集合から有限な部分集合を除いても無限集合のままです。
命題（無限集合から有限集合を除いた集合）
無限集合\(A\)と有限部分集合\(F\subset A\)について、\begin{equation*}A\backslash F
\end{equation*}は無限集合である。
\end{equation*}は無限集合である。
例（無限集合から有限集合を除いた集合）
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}と、\(\mathbb{N} \)から最初の\(100\)個の要素を除いた集合\begin{equation*}A=\left\{ 101,102,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように\(\mathbb{N} \)は無限集合です。そこで、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =n+100\in A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{N} \rightarrow A
\end{equation*}に注目します。この写像は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(A\)もまた無限集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と、\(\mathbb{N} \)から最初の\(100\)個の要素を除いた集合\begin{equation*}A=\left\{ 101,102,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように\(\mathbb{N} \)は無限集合です。そこで、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =n+100\in A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{N} \rightarrow A
\end{equation*}に注目します。この写像は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(A\)もまた無限集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限集合どうしの濃度の相等判定
有限集合に話を限定すると、集合の濃度はその集合に含まれる要素の個数と実質的に等しい概念です。また、有限集合に含まれる要素の個数をすべて数え上げることは原理上可能であるため、有限集合の濃度は必ず1つの非負の整数として定まります。
一方、無限集合には無限個の要素が含まれるため、無限集合の要素を有限回の操作ですべて数え終えることはできません。したがって、無限集合の濃度を1つの非負の整数として表すことはできません。とは言え、2つの無限集合\(A,B\)の間に全単射を構成できれば、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示せます。また、そのような全単射が存在しないことを証明できれば、両者の濃度が異なることを示せます。このように、無限集合についても、全単射の存在を通じて濃度を比較できます。
例（無限集合の濃度）
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}に対して、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)が存在することは先に示しました。したがって、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{N} \)と\(E\)は等しい濃度を持ちます。集合の濃度をその集合に含まれる要素の個数と解釈するのであれば、この事実は、\(\mathbb{N} \)に含まれる要素の個数が\(E\)に含まれる要素の個数と等しいことを示唆します。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合であるため、これらが同じ個数の要素を持つと言われると奇妙に感じますが、無限集合を対象にするとこのような結論になります。
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}に対して、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)が存在することは先に示しました。したがって、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{N} \)と\(E\)は等しい濃度を持ちます。集合の濃度をその集合に含まれる要素の個数と解釈するのであれば、この事実は、\(\mathbb{N} \)に含まれる要素の個数が\(E\)に含まれる要素の個数と等しいことを示唆します。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合であるため、これらが同じ個数の要素を持つと言われると奇妙に感じますが、無限集合を対象にするとこのような結論になります。
上の例では濃度が等しい2つの無限集合について考えましたが、一般には、無限集合どうしの濃度は等しいとは限りません。以下の例より明らかです。
例（無限集合の濃度）
実数集合\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{equation*}\left( 0,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}と、すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。先に例を通じて示したようにこれらはともに無限集合です。しかし、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left( 0,1\right) \)は存在しません。そのことを示すために、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left( 0,1\right) \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、任意の自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(f\left( n\right) \in \left( 0,1\right) \)は\(0\)より大きく\(1\)より小さい実数であるため、これは有限小数か無限小数のどちらか一方です。ただし、有限小数の後ろに\(0\)を無限に並べれば有限小数を無限小数と同一視できます。したがって、それぞれの自然数\(n\)に対して\(f\left(n\right) \)は\(0\)より大きく\(1\)より小さい無限小数になるため、それらを、\begin{align*}f(1)& =0.a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots \\
f(2)& =0.a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots \\
& \vdots \\
f(n)& =0.a_{n1}a_{n2}\cdots a_{nm}\cdots \\
& \vdots
\end{align*}と表現できます。ただし、\(a_{nm}\)は無限小数\(f\left( n\right) \)の小数第\(m\)位の数を表しており、これは\(0\)から\(9\)までの整数を値としてとり得ます。ただし、1つの実数が2通りの十進小数表示を持つ場合があることに注意が必要です。例えば、\begin{eqnarray*}&&0.5000\cdots \\
&&0.4999\cdots
\end{eqnarray*}は異なる小数表示ですが、同じ実数を表します。実際、\begin{equation*}
0.4999\cdots =0.4+\sum_{k=2}^{+\infty }\frac{9}{10^{k}}
\end{equation*}である一方で、\begin{eqnarray*}
0.4999\cdots &=&0.4+9\sum_{k=2}^{+\infty }\frac{1}{10^{k}} \\
&=&0.4+9\cdot \frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}} \\
&=&0.4+0.1 \\
&=&0.5 \\
&=&0.5000\cdots
\end{eqnarray*}だからです。一般に、有限小数として表される実数は、末尾に\(0\)を無限に並べる表示と、その有限小数の最後の0でない数字を\(1\)だけ減らし、その後に\(9\)を無限に並べる表示の2通りを持ちます。そこで、それぞれの\(n\)について、\(f\left( n\right) \)としては\(9\)が無限に続かない方の表示を採用します。以上を踏まえた上で、以下のような無限小数\begin{equation*}b=0.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}\cdots
\end{equation*}に注目します。ただし、\(b\)の小数点以下の数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \)を、\begin{equation*}b_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & (if\ a_{nn}\not=1) \\
2 & (if\ a_{nn}=1)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。定義より\(b_{1}\not=a_{11}\)であるため\(b\not=f\left( 1\right) \)です。また、\(b_{2}\not=a_{22}\)であるため\(b\not=f\left(2\right) \)です。一般に、\(b_{n}\not=a_{nn}\)であるため\(b\not=f\left(n\right) \)であり、したがって\(b=f\left( n\right) \)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)は存在しません。他方で、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(b_{n}\in \left\{ 1,2\right\} \)であるため\(0<b<1\)すなわち\(b\in\left( 0,1\right) \)が成り立ちます。ゆえに\(f\)は全射ではありませんが、これは\(f\)が全単射であることと矛盾です。したがって、\(\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert=\left\vert \mathbb{N} \right\vert \)が成り立たないことが示されました。ちなみに、ここで利用した証明方法をカントールの対角線論法（Cantor’s diagonal argument）と呼びます。
\end{equation*}と、すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。先に例を通じて示したようにこれらはともに無限集合です。しかし、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left( 0,1\right) \)は存在しません。そのことを示すために、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left( 0,1\right) \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、任意の自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(f\left( n\right) \in \left( 0,1\right) \)は\(0\)より大きく\(1\)より小さい実数であるため、これは有限小数か無限小数のどちらか一方です。ただし、有限小数の後ろに\(0\)を無限に並べれば有限小数を無限小数と同一視できます。したがって、それぞれの自然数\(n\)に対して\(f\left(n\right) \)は\(0\)より大きく\(1\)より小さい無限小数になるため、それらを、\begin{align*}f(1)& =0.a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots \\
f(2)& =0.a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots \\
& \vdots \\
f(n)& =0.a_{n1}a_{n2}\cdots a_{nm}\cdots \\
& \vdots
\end{align*}と表現できます。ただし、\(a_{nm}\)は無限小数\(f\left( n\right) \)の小数第\(m\)位の数を表しており、これは\(0\)から\(9\)までの整数を値としてとり得ます。ただし、1つの実数が2通りの十進小数表示を持つ場合があることに注意が必要です。例えば、\begin{eqnarray*}&&0.5000\cdots \\
&&0.4999\cdots
\end{eqnarray*}は異なる小数表示ですが、同じ実数を表します。実際、\begin{equation*}
0.4999\cdots =0.4+\sum_{k=2}^{+\infty }\frac{9}{10^{k}}
\end{equation*}である一方で、\begin{eqnarray*}
0.4999\cdots &=&0.4+9\sum_{k=2}^{+\infty }\frac{1}{10^{k}} \\
&=&0.4+9\cdot \frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}} \\
&=&0.4+0.1 \\
&=&0.5 \\
&=&0.5000\cdots
\end{eqnarray*}だからです。一般に、有限小数として表される実数は、末尾に\(0\)を無限に並べる表示と、その有限小数の最後の0でない数字を\(1\)だけ減らし、その後に\(9\)を無限に並べる表示の2通りを持ちます。そこで、それぞれの\(n\)について、\(f\left( n\right) \)としては\(9\)が無限に続かない方の表示を採用します。以上を踏まえた上で、以下のような無限小数\begin{equation*}b=0.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}\cdots
\end{equation*}に注目します。ただし、\(b\)の小数点以下の数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \)を、\begin{equation*}b_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & (if\ a_{nn}\not=1) \\
2 & (if\ a_{nn}=1)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。定義より\(b_{1}\not=a_{11}\)であるため\(b\not=f\left( 1\right) \)です。また、\(b_{2}\not=a_{22}\)であるため\(b\not=f\left(2\right) \)です。一般に、\(b_{n}\not=a_{nn}\)であるため\(b\not=f\left(n\right) \)であり、したがって\(b=f\left( n\right) \)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)は存在しません。他方で、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(b_{n}\in \left\{ 1,2\right\} \)であるため\(0<b<1\)すなわち\(b\in\left( 0,1\right) \)が成り立ちます。ゆえに\(f\)は全射ではありませんが、これは\(f\)が全単射であることと矛盾です。したがって、\(\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert=\left\vert \mathbb{N} \right\vert \)が成り立たないことが示されました。ちなみに、ここで利用した証明方法をカントールの対角線論法（Cantor’s diagonal argument）と呼びます。
演習問題
問題（倍数全体の濃度）
自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}n\mathbb{N} =\left\{ n,2n,3n,\cdots \right\}
\end{equation*}と定義します。このとき、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert n\mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}と定義します。このとき、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert n\mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（ベキ集合の無限性）
無限集合\(A\)について、そのベキ集合\begin{equation*}2^{A}
\end{equation*}が無限集合であることを証明してください。
\end{equation*}が無限集合であることを証明してください。
問題（有限個の集合の和集合）
集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)について、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}が無限集合であるならば、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中の少なくとも1つは無限集合であることを証明してください。
\end{equation*}が無限集合であるならば、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中の少なくとも1つは無限集合であることを証明してください。
問題（無限集合）
本文中で明らかになったように、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)はともに無限集合です。さらに、これらの濃度が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert \mathbb{Z} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（無限集合の濃度）
本文中で明らかになったように、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{R} \)上の開区間\(\left( -1,1\right) \)はともに無限集合です。さらに、これらの濃度が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert =\left\vert \left( -1,1\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
