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CARDINALITY OF SET

無限集合

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無限集合

有限集合ではない集合を無限集合(infinite set)と呼びます。有限集合は有限濃度を持つ集合として定義されるため、無限集合は有限濃度を持たない集合として定義されます。有限濃度は集合に含まれる要素の個数と実質的に等しい概念であり、なおかつ有限濃度は有限な自然数として定まることを踏まえると、無限集合とは要素の個数が有限な自然数ではない集合ということになります。さらに、集合\(A\)が有限濃度を持つこととは、何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に関して全単射\(f:\mathbb{N} _{n}\rightarrow A\)が存在することを意味します。ただし、\begin{equation*}\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \end{equation*}です。したがって、集合\(A\)が無限集合であることとは、任意の自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して全単射\(f:\mathbb{N} _{n}\rightarrow A\)が存在しないことを意味します。ただ、以上のことを証明するのは面倒です。より扱いやすい無限集合の判定条件はないでしょうか。

 

無限集合であることの判定

空集合は有限集合であるため、集合\(A\)が空集合である場合には\(A\)は無限集合ではありません。集合\(A\)が空集合でない場合、その真部分集合\(B\)をとることができます。\(A\)が非空な有限集合である場合、その真部分集合\(B\)を任意に選ぶと、\(B\)もまた有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert <\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)と\(B\)の濃度は異なるため全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在しません。対偶より、非空な集合\(A\)が与えられたとき、何らかの真部分集合\(B\)に対して全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在するならば、\(A\)は有限集合ではありません。したがって\(A\)は無限集合です。

命題(無限集合であることの判定)
非空な集合\(A\)について、その何らかの真部分集合\(B\)に対して全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在するならば、\(A\)は無限集合である。
例(自然数集合は無限集合)
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合です。写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)はそれぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =2n\in E
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、異なる自然数\(n,n^{\prime }\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( n\right) &=&2n\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&2n^{\prime }\quad \because n\not=n^{\prime } \\
&=&f\left( n^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、正の偶数\(e\in E\)を任意に選ぶと、正の偶数の定義より\(\frac{e}{2}\in \mathbb{N} \)であるとともに、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{e}{2}\right) &=&2\cdot \frac{e}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&e \\
&\in &E
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\mathbb{N} \)が無限集合であることが明らかになりました。
例(有界開区間は無限集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{eqnarray*}\left( 0,1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\} \\
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(\left( 0,\frac{1}{2}\right) \)は\(\left( 0,1\right) \)の真部分集合です。写像\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、\(x\not=x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{x}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&\frac{x^{\prime }}{2}\quad \because x\not=x^{\prime } \\
&=&f\left( x^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、終集合の要素\(y\in \left( 0,\frac{1}{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(2y\in \left(0,1\right) \)が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}f\left( 2y\right) &=&\frac{2y}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&y \\
&\in &\left( 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって先の命題より、\(\left( 0,1\right) \)が無限集合であることが明らかになりました。

 

無限集合の濃度が等しいことの意味

有限集合に話を限定すると、集合の濃度はその集合に含まれる要素の個数と実質的に等しい概念です。また、有限集合に含まれる要素の個数をすべて数え上げることは原理上可能であるため、有限集合の濃度は必ず1つの自然数として定まります。無限集合についても同様の議論は成り立つでしょうか。

無限集合には無限個の要素が含まれるため、要素をすべてを数え上げることはできません。したがって、無限集合の濃度を1つの自然数として表すことはできません。ただ、2つの無限集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の間に全単射が存在するかどうかを調べることはできます。言い換えると、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つか検証することはできます。複数の無限集合が与えられたとき、それらの濃度が同じであるかどうかを判定することはできるというわけです。

例(無限集合の濃度)
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}に対して、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)が存在することは先に示しました。したがって、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{N} \)と\(E\)は等しい濃度を持ちます。集合の濃度をその集合に含まれる要素の個数と解釈するのであれば、この事実は、\(\mathbb{N} \)に含まれる要素の個数が\(E\)に含まれる要素の個数と等しいことを示唆します。\(E\)は\(\mathbb{N} \)の真部分集合であるため、これらが同じ個数の要素を持つと言われると奇妙に感じますが、無限集合を対象にするとこのような結論になります。
例(無限集合の濃度)
上の例では濃度が等しい2つの無限集合について考えましたが、一般には、無限集合どうしの濃度は等しくなるとは限りません。具体例として、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\begin{equation*}\left( 0,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}と、すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。先に例を通じて示したように、これらはともに無限集合です。しかし、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow (0,1)\)は存在しません。このことを示すために、全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow (0,1)\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、任意の自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(f\left( n\right) \in \mathbb{R} \)は実数であるため、これは有限小数か無限小数のどちらか一方です。ただし、有限小数の後ろに\(0\)を無限に並べれば有限小数を無限小数と同一視できます。したがって、それぞれの自然数\(n\)に対して\(f\left( n\right) \)は無限小数になるため、それらを、\begin{align*}f(1)& =0.a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots \\
f(2)& =0.a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots \\
& \vdots \\
f(n)& =0.a_{n1}a_{n2}\cdots a_{nm}\cdots \\
& \vdots
\end{align*}と表現します。ただし、\(a_{nm}\)は無限小数\(f\left(n\right) \)の小数第\(m\)位の数を表しており、これは\(0\)から\(9\)までの整数を値としてとり得ます。以上を踏まえた上で、以下のような無限小数\begin{equation*}b=0.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}\cdots
\end{equation*}を考えます。ただし、\(b\)の小数点以下の数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \)を、\begin{equation*}b_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & (if\ a_{nn}=0) \\
0 & (if\ a_{nn}\not=0)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。定義より\(b_{1}\not=a_{11}\)であるため\(b\not=f\left( 1\right) \)です。また、\(b_{2}\not=a_{22}\)であるため\(b\not=f\left(2\right) \)です。一般に、\(b_{n}\not=a_{nn}\)であるため\(b\not=f\left(n\right) \)であるため、\(b=f\left(n\right) \)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)は存在しません。一方、定義より\(b\in \left( 0,1\right) \)であるため、\(f\)は全射ではありません。これは\(f\)が全単射であることと矛盾します。したがって、\(\#\left( 0,1\right) =\#\mathbb{N} \)が成り立たないことが示されました。ちなみに、ここで利用した証明方法をカントールの対角線論法(Cantor’s diagonal argument)と呼びます。

 

演習問題

問題(無限集合)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が無限集合であることを証明してください。
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問題(無限集合の濃度)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{R} \)上の開区間\(\left( -1,1\right) \)について、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert =\left\vert \left( -1,1\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回は可算集合について学びます。

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2 つの集合の間に全単射が存在する場合には、それらの集合の濃度は等しいと言います。集合の濃度が等しいことを二項関係と解釈したとき、これは反射律・対称律・推移律を満たす同値関係です。