実ベクトル空間の定義

ベクトルの定義

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるベクトルを有限\(n\)個の実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の組として定義しました。特に、有限\(n\)個の実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を横に並べた\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を行ベクトル（row vector）と呼び、有限\(n\)個の実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を縦に並べた、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}を列ベクトル（column vector）と呼びます。行ベクトルと列ベクトルを総称してベクトル（vector）と呼びます。行ベクトルと列ベクトルは厳密には区別されるべき概念ですが、特に断りのない場合、両者は交換可能であるものとします。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を構成するそれぞれの実数\(x_{i}\)を\(\boldsymbol{x}\)の成分（component）や座標（coordinate）などと呼びます。

ベクトルは有限\(n\)個の実数からなる組であるため、すべてのベクトルからなる集合は\(n\)次元空間\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \ |\ \forall i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。\(n\)次元ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の点（point）と呼ぶこともできます。

ベクトル加法の定義とその性質

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のベクトル和（vector sum）や和（sum）などと呼びます。左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であり、右辺の\(+\)は\(\mathbb{R} \)上の加法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法\(+\)について閉じていることからベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)のそれぞれの成分\(x_{i}+y_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まります。したがって、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。このことを指して\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル加法\(+\)について閉じている（closed under vector additioin）と呼びます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはりベクトルであるベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算\begin{equation*}+:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。この演算をベクトル加法（vector addition）と呼びます。順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)に対してベクトル加法\(+\)を適用することを、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)を足す（add）と言います。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) +\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+\left( \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)
\end{equation*}を満たします。これをベクトル加法に関する結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)はベクトル加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) +\boldsymbol{z}\)は、はじめに\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)を足した上で、得られた結果と\(\boldsymbol{z}\)をさらに足して得られるベクトルです。右辺の\(\boldsymbol{x}+\left( \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) \)は、はじめに\(\boldsymbol{y}\)と\(\boldsymbol{z}\)を足した上で、\(\boldsymbol{x}\)と先の結果\(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\)を足して得られるベクトルです。結合律はこれらのベクトルが等しいことを保証します。つまり、3つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)に対してベクトル加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

ベクトルは有限\(n\)個の実数からなる組として定義されるため、すべての成分が\(\boldsymbol{0}\)であるようなベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}が存在します。これをゼロベクトル（zero vector）と呼びます。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\)が存在しますが、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対してゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\)を足してもその結果は\(\boldsymbol{x}\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロベクトルをベクトル加法単位元（identity element of vector addition）と呼ぶこともできます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの成分\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数ですが、任意の実数\(x_{i}\)は加法単位元\(-x_{i}\)を持つため、以下のようなベクトル\begin{equation*}-\boldsymbol{x}=\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。これをベクトル\(\boldsymbol{x}\)の逆ベクトル（inverse vector）や負ベクトル（negative vector）などと呼びます。ただし、左辺の\(-\boldsymbol{x}\)はベクトル\(\boldsymbol{x}\)の逆ベクトルを表す記号であるのに対し、右辺の\(-x_{i}\)は実数\(x_{i}\)の加法逆元を表す記号です。両者を同じ記号を用いて表記するため注意してください。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たします。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、先の理由によりその逆ベクトル\(-\boldsymbol{x}\)が存在することが保証されますが、\(\boldsymbol{x}\)と\(-\boldsymbol{x}\)の和はゼロベクトルと一致することが保証されるということです。このような事情を踏まえた上で、逆ベクトル\(-\boldsymbol{x}\)をベクトル\(\boldsymbol{x}\)のベクトル加法逆元（inverse element of vector addition）と呼ぶこともできます。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。以上の性質をベクトル加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を成分とする順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) ,\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)にベクトル加法を適用して得られるベクトル\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)と、\(\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \)にベクトル加法を適用して得られるベクトル\(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

ベクトルのスカラー乗法の定義とその性質

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)のそれぞれの成分を\(a\)倍することにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}a\boldsymbol{x}=\left( ax_{1},\cdots ,ax_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)による\(\boldsymbol{x}\)のスカラー倍（scalar product）と呼びます。スカラー倍\(a\boldsymbol{x}\)の\(a\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalarfield）や係数体（coefficient
field）などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍\(a\boldsymbol{x}\)のそれぞれの成分\(ax_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(a\boldsymbol{x}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の1つのベクトルとして定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、スカラーとベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、スカラー倍\(a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をスカラー乗法（scalar multiplication）と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

スカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を規定する記号です。つまり、左辺\(a\left( b\boldsymbol{x}\right) \)は、はじめに\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(b\)倍をとった上で、得られたベクトルのスカラー\(a\)倍をとって得られるベクトルです。右辺\(\left(ab\right) \boldsymbol{x}\)は、はじめにスカラーどうしの積\(ab\)をとった上で、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(ab\)倍をとることにより得られるベクトルです。互換性はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(\boldsymbol{x}\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

ベクトル加法とスカラー乗法の関係

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition）と呼びます。つまり、ベクトル和のスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。つまり、スカラーどうしの和に関するベクトルのスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

実ベクトル空間の定義

これまで明らかになったベクトル加法およびスカラー乗法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}となります。

ベクトル加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left(V_{6}\right) \)を満たし、さらにベクトル加法とスカラー乗法の間に\(\left(V_{7}\right) \)と\(\left( V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間（vector space with a scalar field \(\mathbb{R} \)）であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実ベクトル空間（real vector space）と呼びます。通常、実ベクトル空間を、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot \right)
\end{equation*}と表記しますが、実ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記できます。