平面のベクトル方程式が与えられている場合
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの点の位置ベクトルが\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)である場合、それらの点の間の距離は、\begin{equation*}\left\Vert x-y\right\Vert =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots
+\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義されます。では、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面と点の間の距離をどのように特定できるでしょうか。平面は様々な形で表現されるため、それぞれの場合について、平面と点の間の距離を特定する方法を解説します。
まずは、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面がベクトル方程式によって表現されている場合について考えます。具体的には、平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と線型独立な2つの方向ベクトル\begin{equation*}
v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、この平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されるため、この平面は、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。
以上の状況において、平面\(P\left( p,v,w\right) \)と点\(Q\)の間の最短距離を以下の要領で特定できます。
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(s,t\in \mathbb{R} \)であるとともに、\(v\)と\(w\)は線型独立である。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとする。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}s^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left\Vert w\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
t^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left\Vert v\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}のもとで、\begin{equation*}
\left\Vert \left( q-p\right) -s^{\ast }v-t^{\ast }w\right\Vert
\end{equation*}として定まる。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられており、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}s^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left\Vert w\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\sum\limits_{i=1}^{3}\left( p_{i}-q_{i}\right)
w_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}w_{i}-\sum\limits_{i=1}^{3}\left(
p_{i}-q_{i}\right) v_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}w_{i}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}w_{i}-\left(
\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}w_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}および、\begin{eqnarray*}
t^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left\Vert v\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\sum\limits_{i=1}^{3}\left( p_{i}-q_{i}\right)
v_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}w_{i}-\sum\limits_{i=1}^{3}\left(
p_{i}-q_{i}\right) w_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}\sum\limits_{i=1}^{3}w_{i}-\left(
\sum\limits_{i=1}^{3}v_{i}w_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
\left\Vert \left( q-p\right) -s^{\ast }v-t^{\ast }w\right\Vert =\left\Vert
\left(
\begin{array}{c}
q_{1}-p_{1} \\
q_{2}-p_{2} \\
q_{3}-p_{3}\end{array}\right) -s^{\ast }\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) -t^{\ast }\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}となります。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3} \\
p_{4}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3} \\
v_{4}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3} \\
w_{4}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられており、空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3} \\
q_{4}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}s^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left\Vert w\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}\left( p_{i}-q_{i}\right)
w_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}w_{i}-\sum\limits_{i=1}^{4}\left(
p_{i}-q_{i}\right) v_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}w_{i}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}w_{i}-\left(
\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}w_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}および、\begin{eqnarray*}
t^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left\Vert v\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}\left( p_{i}-q_{i}\right)
v_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}w_{i}-\sum\limits_{i=1}^{4}\left(
p_{i}-q_{i}\right) w_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}\sum\limits_{i=1}^{4}w_{i}-\left(
\sum\limits_{i=1}^{4}v_{i}w_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
\left\Vert \left( q-p\right) -sv-tw\right\Vert =\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1}-p_{1} \\
q_{2}-p_{2} \\
q_{3}-p_{3} \\
q_{4}-p_{4}\end{array}\right) -s^{\ast }\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3} \\
v_{4}\end{array}\right) -t^{\ast }\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3} \\
w_{4}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
v &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
w &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ採用できます。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(xy\)平面に相当する平面と点\(Q\)の間の最短距離は明らかに、\begin{equation*}\left\vert q_{3}\right\vert
\end{equation*}です。一方、先の命題を用いて計算すると、\begin{eqnarray*}
s^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left\Vert w\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{0-\left( -q_{1}\right) }{1-0}\quad \because v\cdot w=0 \\
&=&q_{1}
\end{eqnarray*}および、\begin{eqnarray*}
t^{\ast } &=&\frac{\left[ \left( p-q\right) \cdot v\right] \left( v\cdot
w\right) -\left[ \left( p-q\right) \cdot w\right] \left\Vert v\right\Vert
^{2}}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left( v\cdot
w\right) ^{2}} \\
&=&\frac{0-\left( -q_{2}\right) }{1-0}\quad \because v\cdot w=0 \\
&=&q_{2}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( q-p\right) -s^{\ast }v-t^{\ast }w\right\Vert
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) -q_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) -q_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
q_{3}\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{q_{3}^{2}} \\
&=&\left\vert q_{3}\right\vert
\end{eqnarray*}となり、同一の結果が導かれました。
平面の媒介変数表示が与えられている場合
続いて、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面の媒介変数表示が与えられている場合について考えます。具体的には、平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と線型独立な2つの方向ベクトル\begin{equation*}
v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、この平面の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+sv_{1}+tw_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+sv_{n}+tw_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}と表現されます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、平面と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。
平面の媒介変数表示\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+sv_{1}+tw_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+sv_{n}+tw_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられれば、平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトルを、\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として、平面の方向ベクトルを、\begin{eqnarray*}
v &=&\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \\
w &=&\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
\vdots \\
w_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ特定できるため、先の命題を用いることにより、点\(Q\)と平面の間の最短距離を特定できます。
平面上の3つの異なる点が与えられている場合
続いて、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面上に存在する3つの異なる点の位置ベクトルが与えられている場合について考えます。具体的には、平面上に存在する2つの異なる点\(P,Q,R\)の位置ベクトルが、\begin{eqnarray*}p &\in &\mathbb{R} ^{n} \\
q &\in &\mathbb{R} ^{n} \\
r &\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}であるものとします。空間上に存在する点\(S\)の位置ベクトルが\begin{equation*}s\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線と点\(S\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。
平面上に存在する3つの異なる点\(P,Q,R\)が同一直線上に並んでいない場合、位置ベクトル\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)からは平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と線型独立な方向ベクトル\begin{eqnarray*}
q-p &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \\
r-p &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を特定できるため、先の命題を用いることにより、点\(S\)と平面の間の最短距離を特定できます。
空間上に存在する点と平面の間の距離
これまでは一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点と平面について考えてきましたが、ここでは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点と平面に話の対象を限定します。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、その平面上の点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)と平面の法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その平面を方程式の法線標準形\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0
\end{equation*}を用いて表現できます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面を、\begin{eqnarray*}P\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、平面\(P\left( p,n\right) \)と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。
点\(Q\)と平面\(P\left( p,n\right) \)の間の最短距離を求めるためには、点\(Q\)から平面\(P\left( p,n\right) \)に対して下ろした垂線の長さを求めればよいのですが、上図から明らかであるように、それはベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)の法線ベクトル\(n\)へのベクトル射影\(\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{PQ}\)の大きさと一致します。つまり、点\(Q\)と平面\(P\left( p,n\right) \)の間の最短距離は、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{n}\left( q-p\right) \right\Vert
\end{equation*}と一致するということです。以上の事実とベクトル射影の定義を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)かつ\(n\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)である。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとする。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert n\cdot \left( q-p\right) \right\vert }{\left\Vert
n\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left\vert n_{1}\left( q_{1}-p_{1}\right) +n_{2}\left(
q_{2}-p_{2}\right) +n_{3}\left( q_{3}-p_{3}\right) \right\vert }{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}
\end{equation*}として定まる。
平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、それを平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、この方程式の係数は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} ,\quad b\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たします。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面を、\begin{equation*}P\left( a_{1},a_{2},a_{3},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、平面と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。
平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}が与えられたとき、係数ベクトル\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}はこの平面の法線ベクトルです。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(a\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)である。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとする。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert a\cdot q+b\right\vert }{\left\Vert a\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left\vert a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+a_{3}q_{3}+b\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}
\end{equation*}として定まる。
平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面がベクトル方程式によって表現されている場合、方向ベクトルどうしの外積は平面の法線ベクトルと一致するため、先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(a\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(v,w\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(v\)と\(w\)は線型独立である。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとする。このとき、平面と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert \left( v\times w\right) \cdot \left( q-p\right) \right\vert
}{\left\Vert v\times w\right\Vert }
\end{equation*}として定まる。ただし、\begin{equation*}
v\times w=\left(
\begin{vmatrix}
v_{2} & v_{3} \\
w_{2} & w_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
v_{1} & v_{3} \\
w_{1} & w_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
v_{1} & v_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{vmatrix}\right)
\end{equation*}である。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。この平面と点\(\left( -2,-7,-12\right) \)の間の距離を求めてください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) \\
v &=&\left(
\begin{array}{c}
4 \\
5 \\
6\end{array}\right) \\
w &=&\left(
\begin{array}{c}
7 \\
8 \\
9\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この平面と点\(\left( 2,3,3\right) \)の間の距離を求めてください。
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