線形写像のスカラー乗法（線形写像のスカラー倍）

線形写像のスカラー乗法

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

実数と写像\begin{eqnarray*}
k &\in &\mathbb{R} \\
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)のスカラー\(k\)倍（scalar product）と呼びます。スカラー倍\(kf\)の\(k\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーがとり得る値からなる集合である実数集合\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalar field）や係数体（coefficient field）などと呼びます。

線形写像のスカラー倍は線形写像になることが保証されます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より\(kf\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathbb{R} ^{m}\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(kf\)が\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :kf\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、スカラーと線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,f\right) \in \mathbb{R} \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)に対して、スカラー倍\(kf\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像のスカラー乗法（scalar multiplication of lineaer map）と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

線形写像のスカラー乗法と行列のスカラー乗法の関係

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。先の命題より、この場合には写像\begin{equation*}kf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は線形写像になりますが、この写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、先の行列\(A\)のスカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =\left( kA\right) x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(kA\)が\(kf\)の標準行列であるということです。

以上の命題より、線形写像のスカラー乗法は、行列のスカラー乗法と実質的に等しいことが明らかになりました。したがって、行列のスカラー乗法に関して成り立つ性質はそのまま線形写像のスカラー乗法に関する性質として引き継がれます。以下では代表的な性質を提示します。

スカラー乗法の互換性

2つのスカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\left( k_{2}f\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これを乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を指定しています。つまり、左辺\(k_{1}\left( k_{2}f\right) \)は、はじめに線形写像\(f\)のスカラー\(k_{2}\)倍をとった上で、得られた線形写像をさらにスカラー\(k_{1}\)倍することで得られる線形写像です。右辺\(\left( k_{1}k_{2}\right) f\)は、はじめにスカラーどうしの積\(k_{1}k_{2}\)をとった上で、線形写像\(f\)のスカラー\(k_{1}k_{2}\)倍することで得られる線形写像です。互換性はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、線形写像が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍（左辺）は、スカラーどうしの積とのスカラー倍（右辺）と一致するということです。

恒等写像（線形写像のスカラー乗法に関する単位元）

線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1f=f
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の線形写像\(f\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(f\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

線形写像の加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( f+g\right) =kf+kg
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、線形写像の和のスカラー倍はスカラー倍の和と一致します。これを線形写像の加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition of linear maps）と呼びます。

加法に関する線形写像のスカラー乗法の分配律

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) f=k_{1}f+k_{2}f
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する線形写像のスカラー倍は線形写像のスカラー倍どうしの和と一致します。これを加法に関する線形写像のスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。

ゼロ写像のスカラー倍

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロ写像\(0\in \hom\left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)のスカラー倍は、\begin{equation*}k0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロ写像のスカラー倍はゼロ写像になります。

線形写像のスカラーゼロ倍

線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0f=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロであり、右辺の\(0\)はゼロ写像です。つまり、任意の線形写像のスカラー\(0\)倍はゼロ行列になります。

線形写像のスカラー倍がゼロ写像になるための必要条件

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}kf=0\Rightarrow \left( k=0\vee f=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、線形写像のスカラー倍がゼロ写像と一致する場合、スカラーがゼロであるか、線形写像がゼロ写像であるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( k\not=0\wedge f\not=0\right) \Rightarrow kf\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロであるようなスカラーと非ゼロ写像のスカラー倍は非ゼロ写像になります。

線形写像の加法に関する逆元の生成

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -k\right) f=k\left( -f\right) =-\left( kf\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、線形写像の負のスカラー倍、線形写像の加法逆元のスカラー倍、線形写像のスカラー倍の加法逆元はいずれも一致するということです。特に、\(k=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) f=1\left( -f\right) =-\left( 1f\right)
\end{equation*}となります。