拡大変換行列・縮小変換行列・相似変換行列

平面における拡大変換・縮小変換・相似変換

2次の対角行列\begin{equation*}
\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) =\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(a_{1}\not=0\)かつ\(a_{2}\not=0\)です。すると、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x_{1} \\
a_{2}x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、これは入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍する写像です。行列から定義される写像は線形写像であるため、対角行列から定義される\(f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }\)は線形写像です。

線形写像\(f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }\)が定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }\left( \boldsymbol{e}_{1}\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
0\end{array}\right) \\
f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2}\right) }\left( \boldsymbol{e}_{2}\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
a_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。

空間における拡大変換・縮小変換・相似変換

3次の対角行列\begin{equation*}
\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 & 0 \\
0 & a_{2} & 0 \\
0 & 0 & a_{3}\end{pmatrix}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(a_{1}\not=0\)かつ\(a_{2}\not=0\)かつ\(a_{3}\not=0\)です。すると、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 & 0 \\
0 & a_{2} & 0 \\
0 & 0 & a_{3}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x_{1} \\
a_{2}x_{2} \\
a_{3}x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、これは入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍し、\(z\)座標を\(a_{3}\)倍する写像です。行列から定義される写像は線形写像であるため、対角行列から定義される\(f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\)は線形写像です。

線形写像\(f_{\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\)が定義域\(\mathbb{R} ^{3}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
a_{2} \\
0\end{array}\right) \\
f_{\mathrm{diag}\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) }\left( \boldsymbol{e}_{3}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
a_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。

演習問題