成分関数を用いた線形写像であることの判定
定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。
写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像は、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、写像\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の実数値写像\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、写像\(f_{i}\)は写像\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値写像です。この写像\(f_{i}\)をもとの写像\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。
写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像である場合には、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)もまた線形写像になることが保証されます。つまり、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:f_{i}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) +f_{i}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f_{i}\left( k\boldsymbol{x}\right) =kf_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。逆の主張も成り立つため以下を得ます。
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数を値としてとるため、\(f\)自身が\(f\)の成分関数です。\(f\)が線形写像であることと\(f\)自身が線形写像であることは明らかに必要十分です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の成分関数は1変数の実数値関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}であり、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることと\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも線形写像であることは必要十分です。
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実数を値としてとるため、\(f\)自身が\(f\)の成分関数です。\(f\)が線形写像であることと\(f\)自身が線形写像であることは明らかに必要十分です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の成分関数は多変数の実数値関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}であり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることと\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも線形写像であることは必要十分です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を線形変換と呼びます。線形変換の成分関数は多変数の実数値関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}であり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることと\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも線形写像であることは必要十分です。
線形写像であることの判定
先の命題より、写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを判定するためには、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数が線形写像であることを判定すればよいということになります。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =x+y
\end{equation*}に関しては、スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( k_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +k_{2}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \right) &=&f_{1}\left(
\begin{array}{c}
k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2} \\
k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) +\left( k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}\right)
\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&k_{1}\left( x_{1}+y_{1}\right) +k_{2}\left( x_{2}+y_{2}\right) \\
&=&k_{1}f_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +k_{2}f_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \quad \because f_{1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f_{1}\)は線形写像です。成分関数\begin{equation*}f_{2}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =x-y
\end{equation*}に関しては、スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f_{2}\left( k_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +k_{2}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \right) &=&f_{2}\left(
\begin{array}{c}
k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2} \\
k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) -\left( k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}\right)
\quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&k_{1}\left( x_{1}-y_{1}\right) +k_{2}\left( x_{2}-y_{2}\right) \\
&=&k_{1}f_{2}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +k_{2}f_{2}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \quad \because f_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f_{2}\)もまた線形写像です。したがって、先の命題より、もとの写像\(f\)もまた線形写像です。
写像が線形写像ではないことの証明
先の命題は写像が線形写像であるための必要十分条件を与えているため、写像が線形写像ではないことを判定する上でも有用です。つまり、写像\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数が線形写像ではない場合、もとの写像\(\boldsymbol{f}\)もまた線形写像ではありません。なぜなら、そのような成分関数が存在することは、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることと矛盾するからです。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x+y+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =x+y+1
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
f_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) &=&0+0+1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、これはゼロではないため、\(f_{2}\)は線形写像ではありません。したがって、先の命題より、もとの写像\(\boldsymbol{f}\)もまた線形写像ではありません。
演習問題
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x-y \\
x+y \\
y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを成分関数を用いて示してください。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x+1 \\
3y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像ではないことを成分関数を用いて示してください。
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